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【摘要】数学教学的核心是培养和发展学生的思维能力，习题教学能有效地提炼和推广课本知识，特别是“一题多解”，能极大地拓展学生数学思维，达到对学生进行思维训练的目的.
【关键词】数学教学；三角函数线；数学思维
我省于2010年开始新课程改革，使用的教材是人教A版，在使用新教材进行教学工作的近一年里，我深切地体会到数学教学既是数学知识的教学，又是数学思维的教学.其中，知识是基础，地位不可动摇，但不能单单只强调知识而忽视数学思维的教学.因此在数学教学中，不仅需要传授有用的数学知识，还应重视调动学生思维的积极性，培养学生良好的思维习惯，使学生的思维能力得到有效地提高.
在必修A学习完“三角函数的诱导公式”后，有这样一道题目：
已知sinx+cosx=15,且x∈(0,π),则tanx等于多少？
在教学过程中，学生与我共同探讨，从不同的角度出发，得到了以下三种解法：
解法一 ∵sinx+cosx=15，sin2x+cos2x=1，x∈(0,π)，
∴1-cos2x+cosx=15，解得cosx=－35.
当cosx=－35时，sinx=45，则tanx=sinxcosx=－43.
解法二 ∵sinx+cosx=15，
∴（sinx+cosx）2=125，解得2sinxcosx=－2425.
又 ∵x∈(0,π)，∴sinx＞0，cosx＜0，
∴sinx－cosx＞0，
∴sinx－cosx=(sinx+cosx)2-4sinxcosx=75.
联立sinx+cosx=15与sinx－cosx=75，
解得sinx=45，cosx=-35，∴tanx=－43.
解法三 ∵sinx+cosx=15，
∴（sinx+cosx）2=125，
∴sin2x+2sinxcosx+cos2xsin2x+cos2x=125，
即tan2x+2tanx+1tan2x+1=125.
解得tanx=－43或－34.
∵tanx＜0，∴x∈π2,π，
∴sinx＞0,cosx＜0.
又∵sinx+cosx=15＞0，∴|sinx|＞|cosx|.
设x的终边与单位圆的交点为P，MP，OM，AT分别为其正弦线、余弦线和正切线（见图示）.P′为3π4的终边与单位圆的交点，AT′为其正切线.
∵|sinx|＞|cosx|，∴π2＜x＜3π4，则有|AT|＞|AT′|，
即tanx＞tan3π4=－1，∴tanx=－43.
解法一直接从题设出发，由“同角三角函数的基本关系”很容易得到其解法，其注重对课本基础知识的考查.解法二技巧性较强，但若能得到“sinx－cosx=75”,则通过联立方程就很容易得到sinx与cosx进而解得tanx.解法三的灵感来源于《普通高中课程标准实验教科书数学A（必修1）》（人教A版）第22页的第三题：已知tanx=2,求sinx+cosxsinx-cosx的值.该解法巧妙地将分母“1”转化为sin2x+cos2x，既体现了一种逆向思维，又为学生提供了一种灵活的转换技巧，可谓是“一石二鸟”.解答的关键在于通过三角函数线对解得的tanx进行验证.新教材中对任意角的三角函数是通过单位圆来定义的，这就使得学生对三角函数线的认识更为全面和深刻，因此上述验证过程不但没有成为学生解题的障碍，还打开了学生的解题思维，并进一步加深了学生对三角函数线的认识.
《普通高中数学课程标准（实验）》中，在“数学思考”目标中强调数学认识过程的重要性，指出学生要经历观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎和类比与证明等数学活动过程，并且在这种过程中发展数学思维，形成良好的思维品质，提高思维水平，这就要求作为数学教师的我们在日常教学中对于课本呈现的知识体系不能拘泥于形式，要进行必要的提炼和推广，达到对学生进行思维训练的目的.
【关键词】数学教学；三角函数线；数学思维
我省于2010年开始新课程改革，使用的教材是人教A版，在使用新教材进行教学工作的近一年里，我深切地体会到数学教学既是数学知识的教学，又是数学思维的教学.其中，知识是基础，地位不可动摇，但不能单单只强调知识而忽视数学思维的教学.因此在数学教学中，不仅需要传授有用的数学知识，还应重视调动学生思维的积极性，培养学生良好的思维习惯，使学生的思维能力得到有效地提高.
在必修A学习完“三角函数的诱导公式”后，有这样一道题目：
已知sinx+cosx=15,且x∈(0,π),则tanx等于多少？
在教学过程中，学生与我共同探讨，从不同的角度出发，得到了以下三种解法：
解法一 ∵sinx+cosx=15，sin2x+cos2x=1，x∈(0,π)，
∴1-cos2x+cosx=15，解得cosx=－35.
当cosx=－35时，sinx=45，则tanx=sinxcosx=－43.
解法二 ∵sinx+cosx=15，
∴（sinx+cosx）2=125，解得2sinxcosx=－2425.
又 ∵x∈(0,π)，∴sinx＞0，cosx＜0，
∴sinx－cosx＞0，
∴sinx－cosx=(sinx+cosx)2-4sinxcosx=75.
联立sinx+cosx=15与sinx－cosx=75，
解得sinx=45，cosx=-35，∴tanx=－43.
解法三 ∵sinx+cosx=15，
∴（sinx+cosx）2=125，
∴sin2x+2sinxcosx+cos2xsin2x+cos2x=125，
即tan2x+2tanx+1tan2x+1=125.
解得tanx=－43或－34.
∵tanx＜0，∴x∈π2,π，
∴sinx＞0,cosx＜0.
又∵sinx+cosx=15＞0，∴|sinx|＞|cosx|.
设x的终边与单位圆的交点为P，MP，OM，AT分别为其正弦线、余弦线和正切线（见图示）.P′为3π4的终边与单位圆的交点，AT′为其正切线.
∵|sinx|＞|cosx|，∴π2＜x＜3π4，则有|AT|＞|AT′|，
即tanx＞tan3π4=－1，∴tanx=－43.
解法一直接从题设出发，由“同角三角函数的基本关系”很容易得到其解法，其注重对课本基础知识的考查.解法二技巧性较强，但若能得到“sinx－cosx=75”,则通过联立方程就很容易得到sinx与cosx进而解得tanx.解法三的灵感来源于《普通高中课程标准实验教科书数学A（必修1）》（人教A版）第22页的第三题：已知tanx=2,求sinx+cosxsinx-cosx的值.该解法巧妙地将分母“1”转化为sin2x+cos2x，既体现了一种逆向思维，又为学生提供了一种灵活的转换技巧，可谓是“一石二鸟”.解答的关键在于通过三角函数线对解得的tanx进行验证.新教材中对任意角的三角函数是通过单位圆来定义的，这就使得学生对三角函数线的认识更为全面和深刻，因此上述验证过程不但没有成为学生解题的障碍，还打开了学生的解题思维，并进一步加深了学生对三角函数线的认识.
《普通高中数学课程标准（实验）》中，在“数学思考”目标中强调数学认识过程的重要性，指出学生要经历观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎和类比与证明等数学活动过程，并且在这种过程中发展数学思维，形成良好的思维品质，提高思维水平，这就要求作为数学教师的我们在日常教学中对于课本呈现的知识体系不能拘泥于形式，要进行必要的提炼和推广，达到对学生进行思维训练的目的.