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摘 要：格点问题是中考中常见的题型，其中以方格为背景的几何作图、证明与计算对学生更具挑战性。这类题主要考查学生直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养。研究格点问题，提炼思想方法，对平常教学中落实核心素养具有积极意义。
关键词：格点问题;推理作图;核心素养
一、格点问题中数学核心素养的体现
类型一：以方格为背景的几何作图
例1.原题呈现（湖北武汉2019中考试题第20题）
如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点.请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由。
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF=DC;
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD=∠BGC;
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM=AB.
试题解析：
本题的第一小问和第三小问均可利用构造平行四边形得到结果，而难点在于第二小问，在边AB上寻找一个点G，使∠AGD=∠BGC。如何由方格问题转化成角相等的问题，这是学生思维转换的一个关键点，那么学生可能会先猜想点G为AB边上的两个格点，由两角的锐角三角函数值得出角度关系，或者利用构造两角所在的三角形相似或全等来判断，可以很容易发现AB边上的两个格点均不能满足条件，那么点G将不在格点上，必须寻找另外的思路。解决此题有以下两种方法。
方法一：利用对顶角相等及等腰三角形的性质来解决，先大致想象一个点G的位置，延长DG构造∠BGM，则∠BGM=∠AGD（对顶角相等），要使∠AGD=∠BGC，则需M∠BGM=∠BGC，结合AB⊥BC，这就出现了等腰三角形三线合一的基本图形，于是利用等腰三角形的性质即可找到格点M，连接DM交AB于点G（如图3）。
方法二：此题可以转化成寻求∠ADG=∠BCG，利用两直线平行，内错角相等，再结合等腰三角形三线合一的基本性质得以解决。
无论是哪一种方法，首先需要学生通过直观识图进行猜想，再通过逻辑推理验证，从而发现AB边上的格点不符合条件，再充分结合方格中的平行、垂直建立等腰三角形三线合一的基本图形来解决问题，其中也出现M型的相似图形，考查了学生数学建模的核心素养。
类型二：以方格为背景的证明与计算
例2.原题呈现（2019年广东省中考题第22题）
在如图4所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F.
（1）求△ABC三边的长;
（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积.
试题解析：
本题第一小问难度不大，学生均可通过勾股定理来计算△ABC三边的长，第二小问用割补法求解阴影部分面积的方法也是常见的一种方法，但如何求△ABC的面积及扇形AEF的面积是本小题的易错点。易错点一：未辨别△ABC的形状，即直接将AB和AC的长度当作底和高来求解;易错点二：在求扇形的半径时，连接AD，把点D默认为方格中的一个格点，用勾股定理进行求解。部分学生算出的答案虽然是正确的，但缺少了几何证明过程的严谨性，这就反映了一个学生是否具备逻辑推理的核心素养。而逻辑推理是数学教学活动的核心，也是教师培养学生学科素养的重要途径。
二、格点问题对课堂教学的启示
1.课堂教学中鼓励学生大胆猜想，创新学习
格点问题的解决要求学生能从一个实际背景中，用数学的眼光去观察图形的结构特征，结合基本经验去建立基本图形，并能运用严密的逻辑推理来表述数学特征，得出数学结论。对格点问题的分析使我们明确，在课堂教学中要培养学生的基本核心素養，必须注重知识的形成过程，数学抽象、直观想象与数学建模三大核心素养的类似之处便是从一个实际的情景或者图形中用数学的眼光去发现—形成—猜想—论证，从而结合“特殊与一般”思想、“数形结合”思想来促进学生核心素养的提升，而这一过程正是我们课堂教学中的必备过程。
2.关注学生学习的过程
现在的数学课堂，老师成了学生学习的辅助，不再是学生学习的主体。地位的改变使学生对学习更加感兴趣，我把动手实践、自主探究与合作交流作为学生学习数学的重要方式，让学生在合作交流、与人分享和独立思考的氛围中倾听、质疑、发展、提高，使学生有充分的从事数学活动的时间和空间[1]。
总之，数学核心素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略[2]。
参考文献：
[1]李良川.如何在课堂中培养学生的数学核心素养[J].教师，2019（21）.
[2]张健.“核心素养”如何在数学学科教学中落地生根[J].数学教学通讯，2017（25）.
编辑 常超波
关键词：格点问题;推理作图;核心素养
一、格点问题中数学核心素养的体现
类型一：以方格为背景的几何作图
例1.原题呈现（湖北武汉2019中考试题第20题）
如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点.请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由。
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF=DC;
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD=∠BGC;
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM=AB.
试题解析：
本题的第一小问和第三小问均可利用构造平行四边形得到结果，而难点在于第二小问，在边AB上寻找一个点G，使∠AGD=∠BGC。如何由方格问题转化成角相等的问题，这是学生思维转换的一个关键点，那么学生可能会先猜想点G为AB边上的两个格点，由两角的锐角三角函数值得出角度关系，或者利用构造两角所在的三角形相似或全等来判断，可以很容易发现AB边上的两个格点均不能满足条件，那么点G将不在格点上，必须寻找另外的思路。解决此题有以下两种方法。
方法一：利用对顶角相等及等腰三角形的性质来解决，先大致想象一个点G的位置，延长DG构造∠BGM，则∠BGM=∠AGD（对顶角相等），要使∠AGD=∠BGC，则需M∠BGM=∠BGC，结合AB⊥BC，这就出现了等腰三角形三线合一的基本图形，于是利用等腰三角形的性质即可找到格点M，连接DM交AB于点G（如图3）。
方法二：此题可以转化成寻求∠ADG=∠BCG，利用两直线平行，内错角相等，再结合等腰三角形三线合一的基本性质得以解决。
无论是哪一种方法，首先需要学生通过直观识图进行猜想，再通过逻辑推理验证，从而发现AB边上的格点不符合条件，再充分结合方格中的平行、垂直建立等腰三角形三线合一的基本图形来解决问题，其中也出现M型的相似图形，考查了学生数学建模的核心素养。
类型二：以方格为背景的证明与计算
例2.原题呈现（2019年广东省中考题第22题）
在如图4所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F.
（1）求△ABC三边的长;
（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积.
试题解析：
本题第一小问难度不大，学生均可通过勾股定理来计算△ABC三边的长，第二小问用割补法求解阴影部分面积的方法也是常见的一种方法，但如何求△ABC的面积及扇形AEF的面积是本小题的易错点。易错点一：未辨别△ABC的形状，即直接将AB和AC的长度当作底和高来求解;易错点二：在求扇形的半径时，连接AD，把点D默认为方格中的一个格点，用勾股定理进行求解。部分学生算出的答案虽然是正确的，但缺少了几何证明过程的严谨性，这就反映了一个学生是否具备逻辑推理的核心素养。而逻辑推理是数学教学活动的核心，也是教师培养学生学科素养的重要途径。
二、格点问题对课堂教学的启示
1.课堂教学中鼓励学生大胆猜想，创新学习
格点问题的解决要求学生能从一个实际背景中，用数学的眼光去观察图形的结构特征，结合基本经验去建立基本图形，并能运用严密的逻辑推理来表述数学特征，得出数学结论。对格点问题的分析使我们明确，在课堂教学中要培养学生的基本核心素養，必须注重知识的形成过程，数学抽象、直观想象与数学建模三大核心素养的类似之处便是从一个实际的情景或者图形中用数学的眼光去发现—形成—猜想—论证，从而结合“特殊与一般”思想、“数形结合”思想来促进学生核心素养的提升，而这一过程正是我们课堂教学中的必备过程。
2.关注学生学习的过程
现在的数学课堂，老师成了学生学习的辅助，不再是学生学习的主体。地位的改变使学生对学习更加感兴趣，我把动手实践、自主探究与合作交流作为学生学习数学的重要方式，让学生在合作交流、与人分享和独立思考的氛围中倾听、质疑、发展、提高，使学生有充分的从事数学活动的时间和空间[1]。
总之，数学核心素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略[2]。
参考文献：
[1]李良川.如何在课堂中培养学生的数学核心素养[J].教师，2019（21）.
[2]张健.“核心素养”如何在数学学科教学中落地生根[J].数学教学通讯，2017（25）.
编辑 常超波