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在数学教学中,如何培养学生的创新精神,提高学生的解题能力,是数学教师需要探讨解决的问题。下面从发展学生的思维角度和学生的解题实际方面,谈谈如何培养学生的解题能力。
一、多角度说清思路,养成解题的思维习惯
在教学实践中,不少老师只强调怎样解题,而忽视了如何说题(说题意、说思路、说解法、说检验等),这看似是重视解题,实则这是忽略解题能力的培养。笔者认为,应加强课堂教学中的“说题训练”,即采用“正反说”、“转换说”和“辩论说”等几种训练形式,养成学生解题的思维习惯,从而培养学生的解题能力。
(一)正反说
做数学题时,不必急于去求答案,要让学生对该题进行正向思考和反向思考,把解题思路和计划说出来。
例:如图1,在四边形ABCD中,点E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF,若四边形AECF是平行四边形,求证:四边形ABCD是平行四边形。
先让学生正向思考,采用综合法从条件到问题依次说出思路。由平行四边形AECF得知AC和EF互相平分,从而得OE=OF,然后,再由已知BE=DF,得OB=OD;又根据已知条件,四边形AECF是平行四边形,得到OA=OC,从而得到对角线AC和BD互相平分,得四边形ABCD是平行四边形。再让学生反向思考,采用分析法从问题到条件说出思路。根据题意,要证四边形ABCD是平行四边形,就要证对角线AC和BD互相平分,要证对角线互相平分,根据已知条件,证出OB=OD,就可以了。而由已知条件得知:平行四边形AECF的对角线互相平分,BE=DF,从而得到OB=OD,问题得到了解决。学生正向和反向分别说出思路后,脑子里就有了证明这道题的清晰思路,使问题顺利得到解决,同时也深刻理解了平行四边形判定和性质的区别。
(二)转换说
对于题中某一条件或问题,要引导学生善于运用转换的思想,把内容转化为与其等价的另一种表达形式,使学生从而使问题迎刃而解。又如:梯形ABCD,AB//CD,AE⊥CD,AE=12,BD=15,AC=20,求:梯形ABCD的面积。可以利用转换说将梯形面积转换成三角形面积。
(三)辩论说
鼓励学生有理有据的自由争辩,有利于培养学生的独立思考和勇于发表不同见解的思维品质,寻找正确独特的解题方法。
解:去分母,化分式方程为整式方程得 x+1=1+x-1,方程无解。
让同学们根据解分式方程的步骤及注意事项自由争辩,总结出解分式方程在去分母时,特别注意不要漏掉没有分母的项。从而寻找和掌握正确的解题方法。
二、多方位拓展思维,培养解题灵活性
为了排除学生消极思维定势的干扰,在解题中要努力创造条件,设法引导学生敢于突破常规。从不同角度,不同侧面去思考问题,提出合理、新颖、独特的解题方法,发展学生的求异思维,使其创造性地解决问题,寻求多种解决问题的策略。通常运用的方法有“一题多问”、“一题多解”、“一题多变”等。
(一)一题多问,设置阶梯
根据题目的条件提出多种问题,加深理解已知条件之间,已知与所求之间的相依关系。同一道题,同样的条件,从不同的角度出发,可以提出不同的问题。例:如图2,在正方形ABCD中,G为CD上任意一点,以CG为一边画正方形CEFG,学生可以得出如下几个问题:
(1)△BCG≌△DCE
(2)BG=DE
(3)∠GBC=∠EDC
(4)BG⊥DE
这样可以起到“以一当十”的效果。同一道题,老师还可以从分析上多提问,从解法上多提问,从检验上多提问,进行多问启思训练,培养学生思维的灵活性。
(二)一题多解,揭示规律
引导学生进行一题多解,促使学生从不同角度,不同思路寻求正确解法。在解题时要经常注意引导学生从不同方面探求解题途径,以求最佳解法。例:求证三角形三个内角的和等于180 度 。经过讨论,学生可以得到三种解法,他们的图形分别是:
(三)一题多变,拓展思维
通常,教学中的变条件、变问题、条件和问题的互换等都是一题多变的好形式,但是,变题训练要掌握一个原则,就是要在学生较牢固地掌握法则、公式的基础上,进行变题训练,否则,将淡化思维定势的积极作用,不利于学生牢固地掌握知识。例如:如图6,已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,求证:BD+EC=DE。
可得上题转变为:
1.已知:如图7,△ABC的三边长分别记为a、b、c,且∠1=∠2,∠3=∠4,FD∥AB交BC于D,FE∥AC交BC于E, 求△FDE的周长。
2.已知:如图8,∠1=∠2,∠3=∠4,DE∥BC,交AB于E,交AC于F,求证:EF=BE-CF。
3.已知:如图9,∠1=∠2,∠3=∠4,DF∥BC,交AC于E,求证:DE=EF。
三、联系对比,提高解题的准确率
除加强估算和检验外,通常较有效的办法是要善于联系对比,让学生在比较中认识,在比较中区别,在比较中理解,在比较中提高。常用的联系比较方法有:联系生活实际对比、联系正误对比、联系题型对比。
(一)联系生活实际对比
对于一些农业生产上的面积、体积以及株距、行距,工业上的产值、功效,商业上的成本、利率等学生缺乏生活经验,难以产生共鸣。加之,有些教师讲到函数题、证明题时,便说函数题、证明题如何重要,如何难学,上课要认真听讲等;说到计算题时,又说计算题怎样容易出错,计算时要怎样细心,否则,就怎么怎么样,看似老师提醒学生重视,实则给学生增加了心理壓力,背上了思想包袱,其实只要把数学题与学生的生活实际联系起来进行对比,解题并不是一件很难的事情。
(二)联系正误对比
有比较才有鉴别,学生解题的错误,往往错在认识不清,感知模糊,理解肤浅上。用给出正确答案和错误答案的对比,如正误分析对比,正误解法对比等都有利于加强学生辩证思想训练,有利于提高解题能力。选择题就是很好的训练形式。
(三)联系题型对比
在初中数学题型中,归纳起来不外乎概念题、计算题、函数题、证明题等几大类,根据这些知识的内在联系的特点,在数学教学中要善于把各种描述的形式联系起来,进行训练,达到由此及彼,由里及外,融会贯通和举一反三的效果。
总之,培养学生的解题能力的途径和方法很多,但无论哪种方式,都离不开思维能力的培养。多年教学实践证明,在数学教学中只有充分发挥学生的主动性和创造性,使全班学生积极地参与到全部教学过程中,才能提高学生的思维能力,培养学生的求新求异意识和创新精神。
一、多角度说清思路,养成解题的思维习惯
在教学实践中,不少老师只强调怎样解题,而忽视了如何说题(说题意、说思路、说解法、说检验等),这看似是重视解题,实则这是忽略解题能力的培养。笔者认为,应加强课堂教学中的“说题训练”,即采用“正反说”、“转换说”和“辩论说”等几种训练形式,养成学生解题的思维习惯,从而培养学生的解题能力。
(一)正反说
做数学题时,不必急于去求答案,要让学生对该题进行正向思考和反向思考,把解题思路和计划说出来。
例:如图1,在四边形ABCD中,点E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF,若四边形AECF是平行四边形,求证:四边形ABCD是平行四边形。
先让学生正向思考,采用综合法从条件到问题依次说出思路。由平行四边形AECF得知AC和EF互相平分,从而得OE=OF,然后,再由已知BE=DF,得OB=OD;又根据已知条件,四边形AECF是平行四边形,得到OA=OC,从而得到对角线AC和BD互相平分,得四边形ABCD是平行四边形。再让学生反向思考,采用分析法从问题到条件说出思路。根据题意,要证四边形ABCD是平行四边形,就要证对角线AC和BD互相平分,要证对角线互相平分,根据已知条件,证出OB=OD,就可以了。而由已知条件得知:平行四边形AECF的对角线互相平分,BE=DF,从而得到OB=OD,问题得到了解决。学生正向和反向分别说出思路后,脑子里就有了证明这道题的清晰思路,使问题顺利得到解决,同时也深刻理解了平行四边形判定和性质的区别。
(二)转换说
对于题中某一条件或问题,要引导学生善于运用转换的思想,把内容转化为与其等价的另一种表达形式,使学生从而使问题迎刃而解。又如:梯形ABCD,AB//CD,AE⊥CD,AE=12,BD=15,AC=20,求:梯形ABCD的面积。可以利用转换说将梯形面积转换成三角形面积。
(三)辩论说
鼓励学生有理有据的自由争辩,有利于培养学生的独立思考和勇于发表不同见解的思维品质,寻找正确独特的解题方法。
解:去分母,化分式方程为整式方程得 x+1=1+x-1,方程无解。
让同学们根据解分式方程的步骤及注意事项自由争辩,总结出解分式方程在去分母时,特别注意不要漏掉没有分母的项。从而寻找和掌握正确的解题方法。
二、多方位拓展思维,培养解题灵活性
为了排除学生消极思维定势的干扰,在解题中要努力创造条件,设法引导学生敢于突破常规。从不同角度,不同侧面去思考问题,提出合理、新颖、独特的解题方法,发展学生的求异思维,使其创造性地解决问题,寻求多种解决问题的策略。通常运用的方法有“一题多问”、“一题多解”、“一题多变”等。
(一)一题多问,设置阶梯
根据题目的条件提出多种问题,加深理解已知条件之间,已知与所求之间的相依关系。同一道题,同样的条件,从不同的角度出发,可以提出不同的问题。例:如图2,在正方形ABCD中,G为CD上任意一点,以CG为一边画正方形CEFG,学生可以得出如下几个问题:
(1)△BCG≌△DCE
(2)BG=DE
(3)∠GBC=∠EDC
(4)BG⊥DE
这样可以起到“以一当十”的效果。同一道题,老师还可以从分析上多提问,从解法上多提问,从检验上多提问,进行多问启思训练,培养学生思维的灵活性。
(二)一题多解,揭示规律
引导学生进行一题多解,促使学生从不同角度,不同思路寻求正确解法。在解题时要经常注意引导学生从不同方面探求解题途径,以求最佳解法。例:求证三角形三个内角的和等于180 度 。经过讨论,学生可以得到三种解法,他们的图形分别是:
(三)一题多变,拓展思维
通常,教学中的变条件、变问题、条件和问题的互换等都是一题多变的好形式,但是,变题训练要掌握一个原则,就是要在学生较牢固地掌握法则、公式的基础上,进行变题训练,否则,将淡化思维定势的积极作用,不利于学生牢固地掌握知识。例如:如图6,已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,求证:BD+EC=DE。
可得上题转变为:
1.已知:如图7,△ABC的三边长分别记为a、b、c,且∠1=∠2,∠3=∠4,FD∥AB交BC于D,FE∥AC交BC于E, 求△FDE的周长。
2.已知:如图8,∠1=∠2,∠3=∠4,DE∥BC,交AB于E,交AC于F,求证:EF=BE-CF。
3.已知:如图9,∠1=∠2,∠3=∠4,DF∥BC,交AC于E,求证:DE=EF。
三、联系对比,提高解题的准确率
除加强估算和检验外,通常较有效的办法是要善于联系对比,让学生在比较中认识,在比较中区别,在比较中理解,在比较中提高。常用的联系比较方法有:联系生活实际对比、联系正误对比、联系题型对比。
(一)联系生活实际对比
对于一些农业生产上的面积、体积以及株距、行距,工业上的产值、功效,商业上的成本、利率等学生缺乏生活经验,难以产生共鸣。加之,有些教师讲到函数题、证明题时,便说函数题、证明题如何重要,如何难学,上课要认真听讲等;说到计算题时,又说计算题怎样容易出错,计算时要怎样细心,否则,就怎么怎么样,看似老师提醒学生重视,实则给学生增加了心理壓力,背上了思想包袱,其实只要把数学题与学生的生活实际联系起来进行对比,解题并不是一件很难的事情。
(二)联系正误对比
有比较才有鉴别,学生解题的错误,往往错在认识不清,感知模糊,理解肤浅上。用给出正确答案和错误答案的对比,如正误分析对比,正误解法对比等都有利于加强学生辩证思想训练,有利于提高解题能力。选择题就是很好的训练形式。
(三)联系题型对比
在初中数学题型中,归纳起来不外乎概念题、计算题、函数题、证明题等几大类,根据这些知识的内在联系的特点,在数学教学中要善于把各种描述的形式联系起来,进行训练,达到由此及彼,由里及外,融会贯通和举一反三的效果。
总之,培养学生的解题能力的途径和方法很多,但无论哪种方式,都离不开思维能力的培养。多年教学实践证明,在数学教学中只有充分发挥学生的主动性和创造性,使全班学生积极地参与到全部教学过程中,才能提高学生的思维能力,培养学生的求新求异意识和创新精神。