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数学的学科特点决定了数学教学需要适量的训练。现实中，不少教师目前还把提高教学质量寄托在多上几节课、多布置一点课外作业上，导致“违规”现象屡禁不止，“减负”措施形同虚设。随着新课程实验走向深入，作为数学课堂教学中重要的一环——组织学生进行有效训练已经成为我们每一位数学教师需要研究的问题。
一、抓住要点，把握训练的实质性
训练是为达成教学目标服务，是为学生的可持续发展奠定基础，因此，训练的内容必须符合课程标准的要求，切合学生年龄特征、思维特点以及认知发展规律，让学生在“最近发展区”获得最佳的发展。教师要精心研究教材，深入了解学生，准确把握教学关键，紧扣知识要点，让训练有形有质。
例如，教学“平均数”时，在学生初步认识“平均分”后——
师（多媒体出示10颗糖）：给你10颗糖，不告诉你分的份数，你会平均分吗？请大家在纸上画一画、分一分。
（这里有两个提升：一是从“实物分”到“画图分”;二是从知道平均分的份数到自由分。教师抓住“平均分”这一知识要点设置实质性训练，取得了良好的效果，也为课堂的精彩生成提供可能）
生1：我把10颗糖平均分成2份，每份有5颗糖。
生2：我把10颗糖平均分成5份，每份有2颗糖。
生3：我把10颗糖平均分成10份，每份有1颗糖。
生4（拿起练习纸比划着）：我想把10颗糖平均分成3份，先每份一颗，再每份一颗，接着还是每份一颗，这样下去每份都是3颗，还剩下1颗，再平均分成3份，每份就是3颗糖多一些。
教师没有直接评价，而是把问题抛给学生，组织学生讨论。在激烈的思维交锋中，教师不动声色，“坐山观虎斗”，引导学生最终达成共识：虽然每一份不是整数颗，但因为每份一样多，所以也是平均分。最后教师指出：这样平均分得到的结果是一个分数，有待今后去探究。
事实上，课堂上出现“把10颗糖平均分成3份，每份3颗糖多一些”这样的“插曲”纯属偶然，更多时候是可遇不可求的，但教师匠心独运的训练设计，既抓住要点，又兼具开放，达到一石二鸟之功效。
二、循序渐进，注重训练的层次性
千篇一律的训练让人厌烦，次序颠倒的训练让人啼笑皆非，没有难度的训练让人提不起精神，过于求难的训练让多数学生成为旁观者。可见，关注科学性、层次性是训练设计的最基本要求。从选题的角度看，要兼顾全体，注意差异，符合班级实际情况，做到“重基础、有梯度”，确保课堂训练的层次性。从内容的编排看，应该由易到难、由简到繁、由基本到变式、由低级到高级循序渐进，让学生在解决问题中体验到思维的挑战性，增强学生学习数学的成就感与积极性。
例如，在引导学生探究并掌握了长方形、正方形的面积公式后，可以分层次进行巩固训练。
第一层次：基础性训练
学生掌握新知后，知识技能需要有一个沉淀、固化的过程，这时适用基础性训练。例如直接呈现图形的长与宽（或边长）的数据，让学生运用公式进行简单计算，主要考查公式的正确运用、单位的正确书写、计算的准确程度。
第二层次：动手性训练
为让学生不感到重复、单调，接下来可以让学生在动手中训练：
1.直接出示画好的长、正方形，让学生通过简单的测量直接运用公式计算。
2.从长方形纸上（长是10厘米，宽是7厘米）剪下一个最大正方形，剩下的部分是什么图形？画一画，算出它的面积。
第三层次：提升性训练
以生活事例为题材，让学生灵活运用知识解决实际问题，加深对公式的理解与认识：
1.一个正方形的菜园一面靠墙，用长36米的篱笆围起来，这块菜地面积最多有多少平方米？（图略）
2.一个长方形的菜园一面靠墙，长是15厘米，宽是6厘米，把菜园围起来至少需要多长的篱笆？（图略）
第四层次：开放性训练
开放性训练答案不唯一，有一定的难度，对学生的思维挑战性较高，但要避免陷入偏、难、怪的圈子，让不同层次的学生在“掂一掂”、“跳一跳”、“扶一扶”中均能“摘到果子”：
一块菜地的周长是18分米，它的面积可能是多少平方分米？
总之，讲究课堂训练的科学性、层次性可让教学环节条理清晰、脉络分明，教学过程自然流畅、扎实高效，课堂气氛轻松有趣、活而不乱，师生之间和谐融洽、同生共长。
三、发展思维，加强训练的开放性
法国哲学家孔德说过：“只有通过数学，我们才能透彻地理解什么是真正的科学。只有在数学中，我们才能以高度的简明性、严格性来认识科学规律以及人类思维所能达到的抽象境界。”所以人们常说，数学是“思维的体操”。开放性的训练，能给学生更多参与机会与成功机会，有利于对学生求异思维、直觉思维的培养，有利于促进学生从模仿走向创新。
如，教学“加法交换律”时，当学生通过猜想、验证得出规律后，教师可以加以拓展：“从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如，在加法中，交换两个加数的位置，和不变。”从而激发学生思考，引出“减法中，交换两个减数的位置，差不变吗？”“乘法中，交换两个数的位置，积不变吗？”“除法中，交换两个数的位置，商不变吗？”甚至可以进一步猜想：“加法中，交换几个加数的位置，和不变吗？”“乘法中，交换几个乘数的位置，积不变吗？”等等，然后让学生选择喜欢的问题举例求证。
在学生运用“猜想—验证”的学习方法总结出加法交换律后，趁热打铁引导学生继续探讨减法、乘法、除法中是否也存在交换律，让本堂课深、厚兼具，立体丰满。
再如，在教学“买票中的学问”后，同样可以设计相关的开放题，例如“设计租船方案”：五⑴班组织60名同学去春游，每条大船可以坐8人，租金20元;每条小船可以坐6人，租金18元。请你们帮班主任李教师出出主意，怎样租船合算？ 这是一道常见的开放性练习，学生一般都明白两个注意点：一是尽量不留空位;二是尽可能多租大船。学生解决问题常有三种思路：一是随机想出大船的条数，再算出剩下的人需要几条小船，如果没留空位，算出的钱数便是最佳方案;二是先算出都租大船需要几条，如果有空位，把大船数量依次减少，直到剩下的人数租小船恰好坐满为止，再算出钱数;三是列表计算，把所有的可能性一一罗列，分别算出钱数，再对比选择。单纯从解题速度上看，第一、二种方法可能更快捷些。但需要注意的是，并不是所有问题情境都适合“不留空位”就是最划算租船方案的情形，教师有必要在肯定前两种思路的同时，重视认知策略的教学，指出列表有序计算的好处，引导学生养成缜密、有条理思考问题的方法。
四、驾控自如，重视训练的反馈性
苏霍姆林斯基说过：“教师的语言修养在很大程度上决定着课堂上学生的脑力劳动效率。”的确，“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”（叶澜）再全面的预设，课堂也可能会有“节外生枝”;再简单的训练，课堂也可能会“走样变形”。关注训练细节，捕捉有用信息，及时准确应对，都将为训练学生的数学思维得到完美执行“保驾护航”。
教学“用字母表示数”时，当学生结合具体情境，感受用字母表示数的意义，并掌握用字母表示数的方法后，出示习题：“1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿;2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿;3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿;…;（ ）只青蛙（ ）张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。”
先让学生齐读儿歌，感受到永远读不完，初步感受用字母表示数量关系的必要性后，继而引导学生观察、分析、发现不同数量之间的倍数关系。
生1：a只青蛙b嘴，c只眼睛d条腿。
师：你的想法不错，已经学会用字母表示数了，但青蛙的只数与它的腿、眼睛、嘴巴的数量是有一定倍数关系的，“a只青蛙b嘴，c只眼睛d条腿”能让人很快知道它们之间的数量关系吗？
生2：a只青蛙a张嘴，a只眼睛a条腿。
师：大家觉得呢？
生3：我觉得不对。这里的a是表示自然数的，如果a是1的话，不就是1只青蛙1张嘴，1只眼睛1条腿。
师：如果a是2时，你们觉得这样的青蛙正常吗？
生：不正常。
生4：我觉得应该是“a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿”。
生5：我用x表示青蛙的腿，眼睛就是x÷2，嘴就是x÷4，青蛙的只数也是x÷4。
本题看似简单，却暗藏玄机，有着三个层面的要求：一是要用字母表示数;二是要用同一个字母（含有字母的式子）表示数（数量关系）;三是清晰传递出数量之间蕴藏的倍数关系。事实上，字母既可以表示固定的数，也可以表示变化的数，“a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿”、“a只青蛙a张嘴，a只眼睛a条腿”的回答也许不那么准确，但教师不能简单地否定。于是，我把学习的主动权抛给学生，他们通过独立思考，合作交流，在举例中明白错误，于互动中明晰算理。
有效的训练是学生掌握系统的基础知识，形成熟练的基本技巧的重要手段，也是优化数学方法，沉淀数学思想的基本途径。训练存在于数学教学的每一个环节中，作为教学不可或缺的一部分，让课堂训练更精准、有序、高效是教师课前预设、课中执行、课后反思必须直面的课题。我呼吁：让有效训练成为新课程有效教学一道亮丽的风景吧！
（责编 金 铃）
一、抓住要点，把握训练的实质性
训练是为达成教学目标服务，是为学生的可持续发展奠定基础，因此，训练的内容必须符合课程标准的要求，切合学生年龄特征、思维特点以及认知发展规律，让学生在“最近发展区”获得最佳的发展。教师要精心研究教材，深入了解学生，准确把握教学关键，紧扣知识要点，让训练有形有质。
例如，教学“平均数”时，在学生初步认识“平均分”后——
师（多媒体出示10颗糖）：给你10颗糖，不告诉你分的份数，你会平均分吗？请大家在纸上画一画、分一分。
（这里有两个提升：一是从“实物分”到“画图分”;二是从知道平均分的份数到自由分。教师抓住“平均分”这一知识要点设置实质性训练，取得了良好的效果，也为课堂的精彩生成提供可能）
生1：我把10颗糖平均分成2份，每份有5颗糖。
生2：我把10颗糖平均分成5份，每份有2颗糖。
生3：我把10颗糖平均分成10份，每份有1颗糖。
生4（拿起练习纸比划着）：我想把10颗糖平均分成3份，先每份一颗，再每份一颗，接着还是每份一颗，这样下去每份都是3颗，还剩下1颗，再平均分成3份，每份就是3颗糖多一些。
教师没有直接评价，而是把问题抛给学生，组织学生讨论。在激烈的思维交锋中，教师不动声色，“坐山观虎斗”，引导学生最终达成共识：虽然每一份不是整数颗，但因为每份一样多，所以也是平均分。最后教师指出：这样平均分得到的结果是一个分数，有待今后去探究。
事实上，课堂上出现“把10颗糖平均分成3份，每份3颗糖多一些”这样的“插曲”纯属偶然，更多时候是可遇不可求的，但教师匠心独运的训练设计，既抓住要点，又兼具开放，达到一石二鸟之功效。
二、循序渐进，注重训练的层次性
千篇一律的训练让人厌烦，次序颠倒的训练让人啼笑皆非，没有难度的训练让人提不起精神，过于求难的训练让多数学生成为旁观者。可见，关注科学性、层次性是训练设计的最基本要求。从选题的角度看，要兼顾全体，注意差异，符合班级实际情况，做到“重基础、有梯度”，确保课堂训练的层次性。从内容的编排看，应该由易到难、由简到繁、由基本到变式、由低级到高级循序渐进，让学生在解决问题中体验到思维的挑战性，增强学生学习数学的成就感与积极性。
例如，在引导学生探究并掌握了长方形、正方形的面积公式后，可以分层次进行巩固训练。
第一层次：基础性训练
学生掌握新知后，知识技能需要有一个沉淀、固化的过程，这时适用基础性训练。例如直接呈现图形的长与宽（或边长）的数据，让学生运用公式进行简单计算，主要考查公式的正确运用、单位的正确书写、计算的准确程度。
第二层次：动手性训练
为让学生不感到重复、单调，接下来可以让学生在动手中训练：
1.直接出示画好的长、正方形，让学生通过简单的测量直接运用公式计算。
2.从长方形纸上（长是10厘米，宽是7厘米）剪下一个最大正方形，剩下的部分是什么图形？画一画，算出它的面积。
第三层次：提升性训练
以生活事例为题材，让学生灵活运用知识解决实际问题，加深对公式的理解与认识：
1.一个正方形的菜园一面靠墙，用长36米的篱笆围起来，这块菜地面积最多有多少平方米？（图略）
2.一个长方形的菜园一面靠墙，长是15厘米，宽是6厘米，把菜园围起来至少需要多长的篱笆？（图略）
第四层次：开放性训练
开放性训练答案不唯一，有一定的难度，对学生的思维挑战性较高，但要避免陷入偏、难、怪的圈子，让不同层次的学生在“掂一掂”、“跳一跳”、“扶一扶”中均能“摘到果子”：
一块菜地的周长是18分米，它的面积可能是多少平方分米？
总之，讲究课堂训练的科学性、层次性可让教学环节条理清晰、脉络分明，教学过程自然流畅、扎实高效，课堂气氛轻松有趣、活而不乱，师生之间和谐融洽、同生共长。
三、发展思维，加强训练的开放性
法国哲学家孔德说过：“只有通过数学，我们才能透彻地理解什么是真正的科学。只有在数学中，我们才能以高度的简明性、严格性来认识科学规律以及人类思维所能达到的抽象境界。”所以人们常说，数学是“思维的体操”。开放性的训练，能给学生更多参与机会与成功机会，有利于对学生求异思维、直觉思维的培养，有利于促进学生从模仿走向创新。
如，教学“加法交换律”时，当学生通过猜想、验证得出规律后，教师可以加以拓展：“从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如，在加法中，交换两个加数的位置，和不变。”从而激发学生思考，引出“减法中，交换两个减数的位置，差不变吗？”“乘法中，交换两个数的位置，积不变吗？”“除法中，交换两个数的位置，商不变吗？”甚至可以进一步猜想：“加法中，交换几个加数的位置，和不变吗？”“乘法中，交换几个乘数的位置，积不变吗？”等等，然后让学生选择喜欢的问题举例求证。
在学生运用“猜想—验证”的学习方法总结出加法交换律后，趁热打铁引导学生继续探讨减法、乘法、除法中是否也存在交换律，让本堂课深、厚兼具，立体丰满。
再如，在教学“买票中的学问”后，同样可以设计相关的开放题，例如“设计租船方案”：五⑴班组织60名同学去春游，每条大船可以坐8人，租金20元;每条小船可以坐6人，租金18元。请你们帮班主任李教师出出主意，怎样租船合算？ 这是一道常见的开放性练习，学生一般都明白两个注意点：一是尽量不留空位;二是尽可能多租大船。学生解决问题常有三种思路：一是随机想出大船的条数，再算出剩下的人需要几条小船，如果没留空位，算出的钱数便是最佳方案;二是先算出都租大船需要几条，如果有空位，把大船数量依次减少，直到剩下的人数租小船恰好坐满为止，再算出钱数;三是列表计算，把所有的可能性一一罗列，分别算出钱数，再对比选择。单纯从解题速度上看，第一、二种方法可能更快捷些。但需要注意的是，并不是所有问题情境都适合“不留空位”就是最划算租船方案的情形，教师有必要在肯定前两种思路的同时，重视认知策略的教学，指出列表有序计算的好处，引导学生养成缜密、有条理思考问题的方法。
四、驾控自如，重视训练的反馈性
苏霍姆林斯基说过：“教师的语言修养在很大程度上决定着课堂上学生的脑力劳动效率。”的确，“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”（叶澜）再全面的预设，课堂也可能会有“节外生枝”;再简单的训练，课堂也可能会“走样变形”。关注训练细节，捕捉有用信息，及时准确应对，都将为训练学生的数学思维得到完美执行“保驾护航”。
教学“用字母表示数”时，当学生结合具体情境，感受用字母表示数的意义，并掌握用字母表示数的方法后，出示习题：“1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿;2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿;3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿;…;（ ）只青蛙（ ）张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。”
先让学生齐读儿歌，感受到永远读不完，初步感受用字母表示数量关系的必要性后，继而引导学生观察、分析、发现不同数量之间的倍数关系。
生1：a只青蛙b嘴，c只眼睛d条腿。
师：你的想法不错，已经学会用字母表示数了，但青蛙的只数与它的腿、眼睛、嘴巴的数量是有一定倍数关系的，“a只青蛙b嘴，c只眼睛d条腿”能让人很快知道它们之间的数量关系吗？
生2：a只青蛙a张嘴，a只眼睛a条腿。
师：大家觉得呢？
生3：我觉得不对。这里的a是表示自然数的，如果a是1的话，不就是1只青蛙1张嘴，1只眼睛1条腿。
师：如果a是2时，你们觉得这样的青蛙正常吗？
生：不正常。
生4：我觉得应该是“a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿”。
生5：我用x表示青蛙的腿，眼睛就是x÷2，嘴就是x÷4，青蛙的只数也是x÷4。
本题看似简单，却暗藏玄机，有着三个层面的要求：一是要用字母表示数;二是要用同一个字母（含有字母的式子）表示数（数量关系）;三是清晰传递出数量之间蕴藏的倍数关系。事实上，字母既可以表示固定的数，也可以表示变化的数，“a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿”、“a只青蛙a张嘴，a只眼睛a条腿”的回答也许不那么准确，但教师不能简单地否定。于是，我把学习的主动权抛给学生，他们通过独立思考，合作交流，在举例中明白错误，于互动中明晰算理。
有效的训练是学生掌握系统的基础知识，形成熟练的基本技巧的重要手段，也是优化数学方法，沉淀数学思想的基本途径。训练存在于数学教学的每一个环节中，作为教学不可或缺的一部分，让课堂训练更精准、有序、高效是教师课前预设、课中执行、课后反思必须直面的课题。我呼吁：让有效训练成为新课程有效教学一道亮丽的风景吧！
（责编 金 铃）