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【摘要】研究一类中立型差分方程Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) = 0的解的振动性,其中 d为奇数,qi(n) > 0 (i = 1,2,3,…),σi是非负整数(i = 1,2,3,… ),本文中给出了其振动的充要条件.
【关键词】 高阶时滞差分方程 振动 最终正解
众所周知,差分方程理论在现代科技中是强有力的数学工具之一,特别是生物种群动力学等前沿学科的迅速发展,更促进了差分方程理论的再发展. 尤其在离散系统方面,描述突变现象等要比连续系统更高一筹. 例如,简单的模型对连续型其解是单调的,而对差分方程其解就显得较复杂,即随着参数的取值可能产生混沌和分支,Logistic模型就是如此. 文献[3]研究差分方程的一般理论和工作,文[5~6]研究了高阶差分方程解的振动性和渐近性.由于问题有较强的应用性,相应的工作量和难度较大,引起学者们的极大重视.
1. 振动性问题
考虑中立型差分方程:
Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) = 0. (1.1)其中d是奇数,τ > 0,qi(n) > 0(i = 1,2,3…) ,σi是整数(i = 1,2,3…).
向前差分Δ定义为Δxk = xk+1 - xk且Δm = Δ(Δm-1),(1.1)的特殊情况已在泛函微分方程的数值分析中出现,最近,已有不少工作研究该方程的正解的存在的充要条件,但对于该方程的解的振动性,只是做了零星的工作.
本文将证明(1.1)的每个解都振动的充要条件是方程Δd+1yn-1 + qi(n)y(n) = 0(1.2)
的每个解都振动,我们也得到了方程(1.1)和(1.2)的一些比较定理和新的振动准则.
下面,若没有特别申明,一个差分不等式是指对一切充分大的整数成立.
2. 方程(1.1)与方程(1.2)振动的等价性
设f(x)和以下的f(x)均是非减函数,且xf(x) ≥ 0,f(x) = f(-x),则有以下的几条:
引理2.1 方程Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) = 0的每个解振动的充要条件是差分不等式Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) ≤ 0没有最终正解.
引理2.2方程Δmyn-1 + pnf(yn) = 0(m为偶数)振动的充要条件是不等式Δmyn-1 + pnf(yn) > 0没有正解
证明参见文献[5].
定理1 方程Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) = 0振动的充要条件是Δd+1(Zn-1) +Zn = 0振动.
证明不失一般性, 以d = 3的情况给出证明.
(充分性)设不然,让{xn}为方程Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) = 0的最终正解,设yn = xn - xn-τ,则Δ3yn ≤ 0可以证明,最终地有yn > 0,因此ynΔ3yn ≤ 0. 由文献[1] 定理1.7.11,有两种情况:
(1) yn > 0, Δyn < 0,Δ2yn > 0;
(2) yn > 0, Δyn > 0,Δ2yn > 0.
首先考虑{xn}是(1)种情况的类型.
在这种情况下, yn = k ≥ 0,设N是充分大的整数,使当n ≥ N - τ时,有xn ≥ 0,yn ≥ 0,Δyn ≤ 0,Δ2yn ≤ 0.
设 m = min{xn ∶ n∈[N - τ,…,N]},则m ≥0 ,对n∈[N,…,N + τ - 1],有xn = yn + xn-τ ≥ yi + m.
由数学归纳法,当n∈[N + l;τ,…,N +(l + 1)τ - 1]时,xn ≥ yi + m ,因此xn ≥ yi + m ,n≥N+τ,容易证明,对任意的σi,存在Ni* ≥N + τ使得xn-τ ≥ yi + m ,n≥Ni*.
取N* = max{Ni*}(i = 1,2,3,…,l ),
则有xn-τ ≥ yi + m .
设Zn = yi ,则 Δ 4Zn = Δ 3yn+1且xn-σ ≥ Zn , 因此Δ4Zn -1 + qi(n)Zn ≤ Δd[x(n) - x(n - 1)]+ qi(n)x(n - σi) = 0.
由于可令x = f(x),因此满足引理2.2,方程Δ4Zn - 1 + qi(n)Zn = 0 有一正解,这是一个矛盾.
当{xn}是第二种情况时,可类推证明.
(必要性)令Zn =yi,则Δ4Zn = Δ3yn+1 .
Δ4Zn - 1 +qi(n)Zn ≤ Δ3(xn - xn-1) +pi(n)x(n - σi) = 0.
方程Δ4Zn - 1 +pi(n)Zn = 0.
设{yn}为的Δ4Zn - 1 +pi(n)Zn = 0最终正解,则 Δ4yn ≤ 0.由[4]定理1.7.11有两种可能.
Δyn > 0,Δ2yn < 0,Δ3yn < 0,(1)
Δyn > 0,Δ2yn > 0,Δ3yn< 0. (2)
现就情形<1>来讨论
Δyn = k ≥ 0和 Δyn = l,若l有限,则k为常数,于是存在正常数N,M,当n ≥ N - 2 - min{σi}(i = 1,2,3,…)时有yn > M > 0和Δyn< M[2(2 + max{σi}(i = 1,2,3,…))].
令Yn = Δyn-1,n ≥ N,0,n ≤ N - 1,则对于任意的n,有Yn≥0, Zn =Yn - i ≥0.
很明显Zn - Zn-1 = Yn,当n≥N时有Zn - Zn-1 = Δyn-1; 当n = N时有Zn = Δyn-1 + Zn-1 ≤ Δyn-1;
用归纳法当n = N + l时,则Zn = Δyn-1 + Zn-1 ≤Δyn-1, 所以Zn ≤Δyi,n≥n任意σi ,max{Z } ≤Δyi + max{|σi| + 2}.{|Δyi| i∈(n,…,n - τ - 1)∩}≤yn - yN + max{|σi| + 2}•≤ yn - m + s-1m ≤ yn - M + s-1M ≤ yn - (1 - s-1)M ≤ yn,n ≥ N.
由Zn - Zn-1 = Δyn-1和上面不等式得Δ3(Zn - Zn-1) +pi(n)Z≤ Δ4yn-1 + pnyn = 0.
由引理2.1 说明(1.1)有最终正解,这是矛盾的,利用文献[4]的方法容易证明(2)的情形. 定理1证毕.
推论1 设d = 1,则方程Δ1[x(n)-x(n-τ)] + qi(n)•x(n-σi) = 0振动的充要条件是方程Δ2yn-1+ qi(n)•
y(n) = 0振动.
推论2 若方程Δ2yn-1+ qi(n)y(n) = 0振动, 则n qi(n) >.
3. 应用举例
考虑如下中立型差分方程解的振动性:
Δ1(yn-yn-3) + (n + 2)-αyn-3 + (n + 3)-βyn-5 = 0.
其中α,β∈(1,2)直接利用定理1和推论2就可以证明该方程的每一个解振动.
【参考文献】
[1] BRAYTON R K, WILLOUGHBY R A. On the numerical integration of a symmetric system ofdifference differential equation ofneutral type[J].JMathAnalApp,l,1998(18): 182-189.
[2] ZHANG Guang, CHENG Sui-sun.Oscillation criteria for a neutral difference equation delay[J].ApplMath Lett, 1995, 8(3): 13-17.
[3]KELLEYW G, PETERSON A C. Difference equations: an introduction with applications[M].New York: Academic Press, 1991:1-288.
[4] AGARWAL R P. Difference equation and inequalities[M]. New York: MarcelDekker, 1990.
[5] 张炳根,杨博.非线性高阶差分方程的振动性[J].数学年刊, 1999, 20A (1): 71-80.
[6]CAIXiao-chun.Two-pointboundary value problem for a class of second-order difference equation[J].Ann of DiffEqs, 2006, 22(1): 1- Oscillation of Order Neutral Delay Diference Equation.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
【关键词】 高阶时滞差分方程 振动 最终正解
众所周知,差分方程理论在现代科技中是强有力的数学工具之一,特别是生物种群动力学等前沿学科的迅速发展,更促进了差分方程理论的再发展. 尤其在离散系统方面,描述突变现象等要比连续系统更高一筹. 例如,简单的模型对连续型其解是单调的,而对差分方程其解就显得较复杂,即随着参数的取值可能产生混沌和分支,Logistic模型就是如此. 文献[3]研究差分方程的一般理论和工作,文[5~6]研究了高阶差分方程解的振动性和渐近性.由于问题有较强的应用性,相应的工作量和难度较大,引起学者们的极大重视.
1. 振动性问题
考虑中立型差分方程:
Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) = 0. (1.1)其中d是奇数,τ > 0,qi(n) > 0(i = 1,2,3…) ,σi是整数(i = 1,2,3…).
向前差分Δ定义为Δxk = xk+1 - xk且Δm = Δ(Δm-1),(1.1)的特殊情况已在泛函微分方程的数值分析中出现,最近,已有不少工作研究该方程的正解的存在的充要条件,但对于该方程的解的振动性,只是做了零星的工作.
本文将证明(1.1)的每个解都振动的充要条件是方程Δd+1yn-1 + qi(n)y(n) = 0(1.2)
的每个解都振动,我们也得到了方程(1.1)和(1.2)的一些比较定理和新的振动准则.
下面,若没有特别申明,一个差分不等式是指对一切充分大的整数成立.
2. 方程(1.1)与方程(1.2)振动的等价性
设f(x)和以下的f(x)均是非减函数,且xf(x) ≥ 0,f(x) = f(-x),则有以下的几条:
引理2.1 方程Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) = 0的每个解振动的充要条件是差分不等式Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) ≤ 0没有最终正解.
引理2.2方程Δmyn-1 + pnf(yn) = 0(m为偶数)振动的充要条件是不等式Δmyn-1 + pnf(yn) > 0没有正解
证明参见文献[5].
定理1 方程Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) = 0振动的充要条件是Δd+1(Zn-1) +Zn = 0振动.
证明不失一般性, 以d = 3的情况给出证明.
(充分性)设不然,让{xn}为方程Δd[x(n) - x(n - τ)] +qi(n)x(n - σi) = 0的最终正解,设yn = xn - xn-τ,则Δ3yn ≤ 0可以证明,最终地有yn > 0,因此ynΔ3yn ≤ 0. 由文献[1] 定理1.7.11,有两种情况:
(1) yn > 0, Δyn < 0,Δ2yn > 0;
(2) yn > 0, Δyn > 0,Δ2yn > 0.
首先考虑{xn}是(1)种情况的类型.
在这种情况下, yn = k ≥ 0,设N是充分大的整数,使当n ≥ N - τ时,有xn ≥ 0,yn ≥ 0,Δyn ≤ 0,Δ2yn ≤ 0.
设 m = min{xn ∶ n∈[N - τ,…,N]},则m ≥0 ,对n∈[N,…,N + τ - 1],有xn = yn + xn-τ ≥ yi + m.
由数学归纳法,当n∈[N + l;τ,…,N +(l + 1)τ - 1]时,xn ≥ yi + m ,因此xn ≥ yi + m ,n≥N+τ,容易证明,对任意的σi,存在Ni* ≥N + τ使得xn-τ ≥ yi + m ,n≥Ni*.
取N* = max{Ni*}(i = 1,2,3,…,l ),
则有xn-τ ≥ yi + m .
设Zn = yi ,则 Δ 4Zn = Δ 3yn+1且xn-σ ≥ Zn , 因此Δ4Zn -1 + qi(n)Zn ≤ Δd[x(n) - x(n - 1)]+ qi(n)x(n - σi) = 0.
由于可令x = f(x),因此满足引理2.2,方程Δ4Zn - 1 + qi(n)Zn = 0 有一正解,这是一个矛盾.
当{xn}是第二种情况时,可类推证明.
(必要性)令Zn =yi,则Δ4Zn = Δ3yn+1 .
Δ4Zn - 1 +qi(n)Zn ≤ Δ3(xn - xn-1) +pi(n)x(n - σi) = 0.
方程Δ4Zn - 1 +pi(n)Zn = 0.
设{yn}为的Δ4Zn - 1 +pi(n)Zn = 0最终正解,则 Δ4yn ≤ 0.由[4]定理1.7.11有两种可能.
Δyn > 0,Δ2yn < 0,Δ3yn < 0,(1)
Δyn > 0,Δ2yn > 0,Δ3yn< 0. (2)
现就情形<1>来讨论
Δyn = k ≥ 0和 Δyn = l,若l有限,则k为常数,于是存在正常数N,M,当n ≥ N - 2 - min{σi}(i = 1,2,3,…)时有yn > M > 0和Δyn< M[2(2 + max{σi}(i = 1,2,3,…))].
令Yn = Δyn-1,n ≥ N,0,n ≤ N - 1,则对于任意的n,有Yn≥0, Zn =Yn - i ≥0.
很明显Zn - Zn-1 = Yn,当n≥N时有Zn - Zn-1 = Δyn-1; 当n = N时有Zn = Δyn-1 + Zn-1 ≤ Δyn-1;
用归纳法当n = N + l时,则Zn = Δyn-1 + Zn-1 ≤Δyn-1, 所以Zn ≤Δyi,n≥n任意σi ,max{Z } ≤Δyi + max{|σi| + 2}.{|Δyi| i∈(n,…,n - τ - 1)∩}≤yn - yN + max{|σi| + 2}•≤ yn - m + s-1m ≤ yn - M + s-1M ≤ yn - (1 - s-1)M ≤ yn,n ≥ N.
由Zn - Zn-1 = Δyn-1和上面不等式得Δ3(Zn - Zn-1) +pi(n)Z≤ Δ4yn-1 + pnyn = 0.
由引理2.1 说明(1.1)有最终正解,这是矛盾的,利用文献[4]的方法容易证明(2)的情形. 定理1证毕.
推论1 设d = 1,则方程Δ1[x(n)-x(n-τ)] + qi(n)•x(n-σi) = 0振动的充要条件是方程Δ2yn-1+ qi(n)•
y(n) = 0振动.
推论2 若方程Δ2yn-1+ qi(n)y(n) = 0振动, 则n qi(n) >.
3. 应用举例
考虑如下中立型差分方程解的振动性:
Δ1(yn-yn-3) + (n + 2)-αyn-3 + (n + 3)-βyn-5 = 0.
其中α,β∈(1,2)直接利用定理1和推论2就可以证明该方程的每一个解振动.
【参考文献】
[1] BRAYTON R K, WILLOUGHBY R A. On the numerical integration of a symmetric system ofdifference differential equation ofneutral type[J].JMathAnalApp,l,1998(18): 182-189.
[2] ZHANG Guang, CHENG Sui-sun.Oscillation criteria for a neutral difference equation delay[J].ApplMath Lett, 1995, 8(3): 13-17.
[3]KELLEYW G, PETERSON A C. Difference equations: an introduction with applications[M].New York: Academic Press, 1991:1-288.
[4] AGARWAL R P. Difference equation and inequalities[M]. New York: MarcelDekker, 1990.
[5] 张炳根,杨博.非线性高阶差分方程的振动性[J].数学年刊, 1999, 20A (1): 71-80.
[6]CAIXiao-chun.Two-pointboundary value problem for a class of second-order difference equation[J].Ann of DiffEqs, 2006, 22(1): 1- Oscillation of Order Neutral Delay Diference Equation.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”