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《数学课程标准》指出：“在数学教学活动中，‘错误’往往是教师在教学中和学生在学习过程中，反映在各方面，出现违反教学结论或数学方法的现象。”课堂是学生出错的地方，出错是学生的权利。心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”教学中我们要善待学生出现的“错误”，抓住这种数学教育契机，让“错误”变成宝贵的教学资源。
一、利用“错误”激发学生的学习兴趣
课堂是动态生成的，再高明的教师也无法预料课堂中会发生什么，只能是更充分的预设。课堂上有些错误是教师通过钻研教材，凭借教学经验，可以预测学生学习某知识时可能发生哪些错误。它来自于学生，存在于学生的学习活动中，教学时可以有效利用这些“错误”资源。只要合理利用，能较好地促进学生情感的发展，对激发学生的探究兴趣、唤起学生的求知欲具有特殊的作用。
例如，工程应用题：“一段公路长30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天完成？”出示例题后，我先让学生根据一般应用题的解题思路列出算式 30÷（30÷10 30÷15）=6（天），并说明算理。然后我引导学生：“如果这段公路长60千米，那么两队合修几天能完成呢？”“12天。”学生不假思索地回答起来。“是吗？请同学们算了再回答行吗？”“这还用算？”学生们嘴上这么说，但还是认真地算了起来，计算结果出乎他们的意料：“6天。路程扩大一倍，时间竟然不变！”“如果路程分别是15千米、45千米、120千米，时间又分别是多少呢？”此时学生不再显得胸有成竹而是满脸疑惑，片刻，答案又出来了：“都是6天！”“为什么公路的长度不管变成多少千米，时间总是不变呢？”“是不是工程应用题中的工作总量和工作时间无关呢？”“能不能不用知道具体的工作总量也能求出工作时间呢？”……“错误”引发了学生们对以上问题主动的、积极的思考，极大地调动了思维热情，学生们在“欲罢不能”的探究氛围中开始了对新课的学习。
二、利用“错误”激活学生的数学思维
学生会在新授课上把数学学习简单化，这种简单化的学习一旦进入综合练习，学习障碍就凸现出来，成为影响学生思维发展的主要原因。所以，教师在教学活动中，要通过主动的引导，充分暴露学生的思维过程，特别是要暴露错误的思维过程。
例如，在学习相遇问题时出示：“ A、B两地相距260米，两辆汽车同时从A、B两地相向开出，一辆汽车每小时行60千米，另一辆汽车每小时行70千米，几小时后两车相遇？”
生1：260÷（70＋60）。
生2：260÷70＋260÷60。
师：这两种解法哪种正确呢？
生：都正确。
师：请同学们把这两种解法的答案算出来。（学生通过计算发现得数不一样）
师：得数怎么会不一样，请找找原因。是不是计算错了？
生：没错。
师:问题出在哪儿？自己找找原因，然后小组内交流意见。（持两种不同观点的学生展开了争论）
生3：260÷70＋260÷60是错的。
生4：它是利用了分配律，由260÷（70＋60）得来的。
生5：除法没有分配律的。
师：260÷70＋260÷60的每一步算式的意义是什么？
生6：260÷70、260÷60分别表示每辆车行完全程所用的时间，相加后是两辆车行完全程共用的时间和，也就是它们相遇的时间。
生7：相遇时间是求两辆车相对而行共同行完全程所需要的时间，相遇时间应比每辆车行完全程的时间还要少，260÷70＋260÷60表示两辆车分别行完全程的时间总和，而不是它们的相遇时间。
……
这里，教师并没有立即评价，而是顺势诱导让学生得出答案不一致的矛盾，将学生潜在的错误及时呈现，然后又让学生通过争论自己去探索产生错误的原因。这样既可以帮助学生从对错误的反思中更为深刻地理解所学知识，给学生留下非常深刻的印象，又能帮助学生纠正错误，促进学生思维能力的发展，提高学生自主学习和解决问题的能力。
三、利用“错误”促进学生的创新能力
数学学习是一个再创造的过程，对待错误教师应留给学生充分“讲理”的机会，顺应学生的思维，挖掘错误背后的创新因素，细心呵护学生创新的萌芽，适时、适度地给予点拨和鼓励，使其茁壮成长，为课堂教学增添生命的活力。
如：“ 3名工人2小时加工120个零件，某车间12名工人8小时加工多少个零件？”大多数学生都根据归一应用题的解题思路列式解答，算式为120÷3÷2×12×8＝1920（个），有一位学生却列式为120÷3×8×（12÷3）＝1280（个）。我发现该学生的解法有创意，于是板书于黑板上，其他学生异口同声说“不对”。我笑了笑，请该学生大胆地说出自己的想法。他说：“这个车间的人数是条件中人数的（12÷3）倍，前两步表示3名工人8小时加工的零件。”说到这里，该学生说：“‘120÷3’不正确，应改为120÷2×8×（12÷3）。”我表扬了这个学生善于思考，敢于创新。在该学生的启发和影响下，其他学生也不再局限于常规思路，分别从不同的角度进行了重新思考，列出了120÷3×12×（8÷2）、120×（12÷3）×（8÷2）等算式，课堂气氛一下子活跃起来。
这里利用将错就错的方法，既不会使学生由于思维偏差而产生自卑感，又可以使学生从简便方法中看到自己思维的价值，增强了学习的信心。更为重要的是，让全体学生感悟“出错”是很正常的，并不可怕，更不可耻，将学生从对错误的恐惧中解放出来，化消极情感为积极情感，使学生“敢”出错，从而达到激发学生创新热情的目的。
四、利用“错误”提高学生的辨析能力
英国心理学家贝恩布里奇说过：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”我们的课堂教学是一个动态的过程，是师生、生生之间交流互动的过程。在这个过程中，每天都有学生在出错，如果教师对学生的错误视而不见，或因时间关系故意回避，那才是教师最大的错误。因此，教师要好好利用课堂上出现的各类错误，化弊为利，或将错就错，既拓宽学生的思维空间，又训练了学生思维的灵活性和创造性。
如应用题：“五年级同学参加数学小组的有20人，比参加美术小组人数的2倍少4人。参加美术小组的有多少人？”学生有用方程解的，也有用算术方法解的，答案五花八门。我把学生的所有做法都展示出来：（1）2x－4=20；（2）20－2x=4 ；（3）2x＋4=20 ；（4）2x－20=4；（5）（20－4）÷2；（6）（20＋4）÷2。 然后我组织学生讨论：“这么多种解法，哪种是对的，哪种是错误的？”学生有的用画线段图来分析，有的写出数量关系式，有的从每一步求出来的表示什么来验证……通过分析、验证，大家一致认为答案（1）、（4）、（6）是正确的，并且通过比较学生还发现：方程（1）和（4）可以根据加减法各部分间的关系相互转化而得，而解这两个方程的过程与算术解法的思路是一致的，从而沟通了方程解和算术方法解之间的关系。至此，我并没有满足，继续追问：“答案（2）、（3）、（5）为什么不对？如果是这样列式解答，题目应怎样改？你能改变原题中的条件，改编出应用题吗？”学生的思维打开了，针对其他算式改编出应用题。
这样的“将错就错”，举一反三，既丰富了知识，又拓展了思路，学生的求异思维能力得到了提高。在数学教学过程中，教师如果从学生出现的错误做法出发，进行引导点拨，不仅能引出正确的想法，还可以“将错就错”，利用学生的错误资源，激活课堂教学。由此，学生获得的不仅仅是解答这道题的方法，而是这类题的知识，从而开阔了学生的解题思路，提高学生的思辨能力。
五、利用“错误”培养学生的自我评价能力
为了充分发挥错误的积极作用，教师要及时对学生在学习中出现的典型错误、错误产生的原因及矫正对策进行搜集、整理、记录，可以通过多种形式进行对比练习，使学生的自我评价能力得到提高。而教师更应该做的工作是指导学生记录个人学习错误的方法，养成写错误日记的习惯。我在教学中通过部分学生的尝试有了切身的体会。如一位学生在作业中出现了“2.85千克=285克”这一错误后，他的错误日记是这样记录的：“今天，我把2.85千克算成了285克，老师说我进率搞错了。其实我知道千克与克之间的进率是1000，我只不过习惯性地看到2.85有两位小数，就把它写成了285。其实，我只要把1000写出来，就会将小数点移动三位了，下回做作业一定要多列算式。”还有一位学生在做判断“68%米”是否正确时，打了“√”而错误，她的错误日记是这样写的：“我以为68%和0.68相等，68%米和0.68米是一样的，所以对的。其实，百分数只能用来表示一个数是另一个数的百分之几，不能表示一个具体量。我没有理解百分数的含义……”
通过这样的日记，学生在纠错的同时也对自己的错误有了一个更为深刻的反思过程，既总结了自己在学习方法、学习态度等方面的问题，又正确地评价了自己。通过这种形式，学生对自己的错误认识更加透彻，有效实现了防错的目的，提高了学生独立学习的能力。
综上所述，教学中不是缺乏教育资源，而是缺乏善于发现的眼睛。错误是正确的先导，成功的开始。没有错误就没有正确，二者是对立统一的，而数学错误随着数学学习的开始产生。对于错误，我们要站在数学价值的角度上重新审视，发掘内在的闪光点，引导学生从正、反不同的角度修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性，利用学生学习中出现的错误给学生创造良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，深化知识。只要我们能够发现和有效利用生成性错误这一资源，那么，错误就能成为发展学生学习能力的一剂良药。
（责编杜华）
一、利用“错误”激发学生的学习兴趣
课堂是动态生成的，再高明的教师也无法预料课堂中会发生什么，只能是更充分的预设。课堂上有些错误是教师通过钻研教材，凭借教学经验，可以预测学生学习某知识时可能发生哪些错误。它来自于学生，存在于学生的学习活动中，教学时可以有效利用这些“错误”资源。只要合理利用，能较好地促进学生情感的发展，对激发学生的探究兴趣、唤起学生的求知欲具有特殊的作用。
例如，工程应用题：“一段公路长30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天完成？”出示例题后，我先让学生根据一般应用题的解题思路列出算式 30÷（30÷10 30÷15）=6（天），并说明算理。然后我引导学生：“如果这段公路长60千米，那么两队合修几天能完成呢？”“12天。”学生不假思索地回答起来。“是吗？请同学们算了再回答行吗？”“这还用算？”学生们嘴上这么说，但还是认真地算了起来，计算结果出乎他们的意料：“6天。路程扩大一倍，时间竟然不变！”“如果路程分别是15千米、45千米、120千米，时间又分别是多少呢？”此时学生不再显得胸有成竹而是满脸疑惑，片刻，答案又出来了：“都是6天！”“为什么公路的长度不管变成多少千米，时间总是不变呢？”“是不是工程应用题中的工作总量和工作时间无关呢？”“能不能不用知道具体的工作总量也能求出工作时间呢？”……“错误”引发了学生们对以上问题主动的、积极的思考，极大地调动了思维热情，学生们在“欲罢不能”的探究氛围中开始了对新课的学习。
二、利用“错误”激活学生的数学思维
学生会在新授课上把数学学习简单化，这种简单化的学习一旦进入综合练习，学习障碍就凸现出来，成为影响学生思维发展的主要原因。所以，教师在教学活动中，要通过主动的引导，充分暴露学生的思维过程，特别是要暴露错误的思维过程。
例如，在学习相遇问题时出示：“ A、B两地相距260米，两辆汽车同时从A、B两地相向开出，一辆汽车每小时行60千米，另一辆汽车每小时行70千米，几小时后两车相遇？”
生1：260÷（70＋60）。
生2：260÷70＋260÷60。
师：这两种解法哪种正确呢？
生：都正确。
师：请同学们把这两种解法的答案算出来。（学生通过计算发现得数不一样）
师：得数怎么会不一样，请找找原因。是不是计算错了？
生：没错。
师:问题出在哪儿？自己找找原因，然后小组内交流意见。（持两种不同观点的学生展开了争论）
生3：260÷70＋260÷60是错的。
生4：它是利用了分配律，由260÷（70＋60）得来的。
生5：除法没有分配律的。
师：260÷70＋260÷60的每一步算式的意义是什么？
生6：260÷70、260÷60分别表示每辆车行完全程所用的时间，相加后是两辆车行完全程共用的时间和，也就是它们相遇的时间。
生7：相遇时间是求两辆车相对而行共同行完全程所需要的时间，相遇时间应比每辆车行完全程的时间还要少，260÷70＋260÷60表示两辆车分别行完全程的时间总和，而不是它们的相遇时间。
……
这里，教师并没有立即评价，而是顺势诱导让学生得出答案不一致的矛盾，将学生潜在的错误及时呈现，然后又让学生通过争论自己去探索产生错误的原因。这样既可以帮助学生从对错误的反思中更为深刻地理解所学知识，给学生留下非常深刻的印象，又能帮助学生纠正错误，促进学生思维能力的发展，提高学生自主学习和解决问题的能力。
三、利用“错误”促进学生的创新能力
数学学习是一个再创造的过程，对待错误教师应留给学生充分“讲理”的机会，顺应学生的思维，挖掘错误背后的创新因素，细心呵护学生创新的萌芽，适时、适度地给予点拨和鼓励，使其茁壮成长，为课堂教学增添生命的活力。
如：“ 3名工人2小时加工120个零件，某车间12名工人8小时加工多少个零件？”大多数学生都根据归一应用题的解题思路列式解答，算式为120÷3÷2×12×8＝1920（个），有一位学生却列式为120÷3×8×（12÷3）＝1280（个）。我发现该学生的解法有创意，于是板书于黑板上，其他学生异口同声说“不对”。我笑了笑，请该学生大胆地说出自己的想法。他说：“这个车间的人数是条件中人数的（12÷3）倍，前两步表示3名工人8小时加工的零件。”说到这里，该学生说：“‘120÷3’不正确，应改为120÷2×8×（12÷3）。”我表扬了这个学生善于思考，敢于创新。在该学生的启发和影响下，其他学生也不再局限于常规思路，分别从不同的角度进行了重新思考，列出了120÷3×12×（8÷2）、120×（12÷3）×（8÷2）等算式，课堂气氛一下子活跃起来。
这里利用将错就错的方法，既不会使学生由于思维偏差而产生自卑感，又可以使学生从简便方法中看到自己思维的价值，增强了学习的信心。更为重要的是，让全体学生感悟“出错”是很正常的，并不可怕，更不可耻，将学生从对错误的恐惧中解放出来，化消极情感为积极情感，使学生“敢”出错，从而达到激发学生创新热情的目的。
四、利用“错误”提高学生的辨析能力
英国心理学家贝恩布里奇说过：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”我们的课堂教学是一个动态的过程，是师生、生生之间交流互动的过程。在这个过程中，每天都有学生在出错，如果教师对学生的错误视而不见，或因时间关系故意回避，那才是教师最大的错误。因此，教师要好好利用课堂上出现的各类错误，化弊为利，或将错就错，既拓宽学生的思维空间，又训练了学生思维的灵活性和创造性。
如应用题：“五年级同学参加数学小组的有20人，比参加美术小组人数的2倍少4人。参加美术小组的有多少人？”学生有用方程解的，也有用算术方法解的，答案五花八门。我把学生的所有做法都展示出来：（1）2x－4=20；（2）20－2x=4 ；（3）2x＋4=20 ；（4）2x－20=4；（5）（20－4）÷2；（6）（20＋4）÷2。 然后我组织学生讨论：“这么多种解法，哪种是对的，哪种是错误的？”学生有的用画线段图来分析，有的写出数量关系式，有的从每一步求出来的表示什么来验证……通过分析、验证，大家一致认为答案（1）、（4）、（6）是正确的，并且通过比较学生还发现：方程（1）和（4）可以根据加减法各部分间的关系相互转化而得，而解这两个方程的过程与算术解法的思路是一致的，从而沟通了方程解和算术方法解之间的关系。至此，我并没有满足，继续追问：“答案（2）、（3）、（5）为什么不对？如果是这样列式解答，题目应怎样改？你能改变原题中的条件，改编出应用题吗？”学生的思维打开了，针对其他算式改编出应用题。
这样的“将错就错”，举一反三，既丰富了知识，又拓展了思路，学生的求异思维能力得到了提高。在数学教学过程中，教师如果从学生出现的错误做法出发，进行引导点拨，不仅能引出正确的想法，还可以“将错就错”，利用学生的错误资源，激活课堂教学。由此，学生获得的不仅仅是解答这道题的方法，而是这类题的知识，从而开阔了学生的解题思路，提高学生的思辨能力。
五、利用“错误”培养学生的自我评价能力
为了充分发挥错误的积极作用，教师要及时对学生在学习中出现的典型错误、错误产生的原因及矫正对策进行搜集、整理、记录，可以通过多种形式进行对比练习，使学生的自我评价能力得到提高。而教师更应该做的工作是指导学生记录个人学习错误的方法，养成写错误日记的习惯。我在教学中通过部分学生的尝试有了切身的体会。如一位学生在作业中出现了“2.85千克=285克”这一错误后，他的错误日记是这样记录的：“今天，我把2.85千克算成了285克，老师说我进率搞错了。其实我知道千克与克之间的进率是1000，我只不过习惯性地看到2.85有两位小数，就把它写成了285。其实，我只要把1000写出来，就会将小数点移动三位了，下回做作业一定要多列算式。”还有一位学生在做判断“68%米”是否正确时，打了“√”而错误，她的错误日记是这样写的：“我以为68%和0.68相等，68%米和0.68米是一样的，所以对的。其实，百分数只能用来表示一个数是另一个数的百分之几，不能表示一个具体量。我没有理解百分数的含义……”
通过这样的日记，学生在纠错的同时也对自己的错误有了一个更为深刻的反思过程，既总结了自己在学习方法、学习态度等方面的问题，又正确地评价了自己。通过这种形式，学生对自己的错误认识更加透彻，有效实现了防错的目的，提高了学生独立学习的能力。
综上所述，教学中不是缺乏教育资源，而是缺乏善于发现的眼睛。错误是正确的先导，成功的开始。没有错误就没有正确，二者是对立统一的，而数学错误随着数学学习的开始产生。对于错误，我们要站在数学价值的角度上重新审视，发掘内在的闪光点，引导学生从正、反不同的角度修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性，利用学生学习中出现的错误给学生创造良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，深化知识。只要我们能够发现和有效利用生成性错误这一资源，那么，错误就能成为发展学生学习能力的一剂良药。
（责编杜华）