论文部分内容阅读
《数学课程标准》（2011年版）不仅把获得数学的“基本思想”“基本活动经验”（以下简称“新增两基”）列为数学教学的重要目标，而且明确指出了达成这些目标的途径，如“通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想”，“在参与数学活动的过程中积累基本活动经验”，等等。在此，笔者以人教版教材为例，谈谈对具体落实这方面目标的几点思考。
一、着眼数学素养，挖掘数学内涵
1.依托教材，挖掘教学内容的数学内涵与教育价值
数学思想无形地隐含于数学知识体系里，因此，数学思想的渗透需要依附于有“形”的数学知识技能的教学。数学活动也同样离不开知识技能这个载体，学生的数学活动经验需要在积极参与学习数学知识技能的过程中，经过独立思考、探索实践和合作交流而积累形成。
基于以上观点，我们数学教师不仅要深入学习和领会新课标精神，从培养学生数学素养的高度，充分认识在教学中关注数学思想、数学活动经验的重要性，增强“渗透”的自觉意识，还要努力提升自身的数学专业素养，善于挖掘并准确把握教学内容的数学内涵与教育价值。要坚持依托教材，基于正常的教学秩序，把具体的知识技能教学放在“培养学生的数学素养”这样更高的目标和更广泛的视角下进行，避免“另起炉灶”和“两张皮”现象。这是落实“新增两基”的重要前提。
2.深入分析，准确把握教学内容所蕴含的数学思想
数学基本思想包括数学抽象的思想、数学推理的思想和数学建模的思想，它们在数学知识的发生、发展过程几乎无所不在。在小学数学教学中具体接触到的有以上基本思想演变、派生、发展而来的分类思想、数形结合思想、符号化思想、集合思想、对应思想、归纳思想、转换化归思想、类比思想以及简化思想、量化思想、函数思想、优化思想、方程思想、统计思想等。
数学思想不像数学概念、法则、性质等知识那样明显地写在教材中，但是教材编者通过情境设置、内容呈现顺序和图中人物的语言等，把数学思想无形地体现于其中。通常，在概念的教学中渗透着分类思想、归纳思想；在性质、规律、法则、公式的教学中渗透着类比思想、归纳思想；在解决问题的教学中渗透着数形结合思想、转换化归思想、方程思想等。而各册教材中的“数学广角”和数学实践活动，更是相对系统地引导学生获得数学思想的好素材，也是积累数学活动经验的重要载体。教师要通过深入分析教材去领悟这方面的编写意图，在教学中准确把握并恰当渗透。
例如，五年级上册《简易方程》的教学意义在于引导学生经历从“算术”到“代数”的过渡，这是学生认识上的一个飞跃，其数学内涵更突出地体现于符号化思想、函数思想、方程思想的渗透，以及抽象概括能力、解决问题能力的培养上。因此，其中《用字母表示数》和《方程的意义》的教学就不能只满足于外在形式上“会用字母表示”“会判断是不是方程”，而更要关注让学生经历从具体实例到一般意义的抽象概括过程，感受用字母表示数的优越性、变量间的对应依存关系和数量间的等量关系等，领悟相关的数学思想，为学生在后续学习中摆脱算术思维的局限性打下良好的基础。
二、根据内容特点，设计有效活动
“新增两基”的获得都离不开数学活动。不仅数学活动经验需要学生在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，数学思想也需要学生在探索推演的活动过程去领悟，并在数学活动经验的积累上形成。因此，准确把握教学内容的数学实质，根据不同内容特点设计有效的教学活动，让学生真正经历、参与到活动过程中，是落实“新增两基”的基本途径。
1.准确把握“活动”的数学价值
首先不能将数学活动狭隘地理解为就是“动手实践”“合作讨论”等这些有形的“动”。数学活动的根本价值在于引导学生经历数学思考，即运用数学的理性思维进行思考，培养学生以数学的眼光看世界、从数学的角度去分析问题的素养。因此，重要的是活动必须有明确的数学内涵和数学目的，必须体现数学的本质且最终落实到思维的“动”，而不是形式化的“为活动而活动”。从这个意义上说，师生在课堂上的讲授、学习（当然这种讲授和学习应该是启发式、探究式、互动式的）与数学探究、合作交流等一样，都是很好的数学活动。数学活动经验也不仅仅是实践的经验、解题的经验，更重要的是数学活动中思考的经验、思维的经验。
例如，二年级下册《千以内数的认识》的教学中，A教师单纯地让学生估计“一千张纸有多厚”“一千粒豆子有多少”，不仅太难（成人也未必能较准确估出），最后呈现实物也只能“灌”给学生一千张纸、一千粒豆子具体是多少的感觉。B教师则先让学生小组合作，各自数出一百粒豆子，然后问：“如果把豆子倒入这个瓶子，估一估500粒豆子会到瓶子的什么位置？”一百一百地倒进400粒后，再问：“现在要不要调整你的估计呢？再估一估，一千粒会到哪里呢？这样的活动过程不仅让学生很好地培养了数感，积累了用不同单位数数的经验（一个一个地数出十，一十一十地凑成百，一百一百地汇成千），还引导学生形成了估测的意识和经验（先找一个标准）。
2.以恰当的方式让学生亲历数学知识的发生、发展过程
数学知识的发生、发展过程，也是数学思想发生和凸显的过程。围绕这样的过程设计数学活动，让学生通过操作、观察、实验、猜测、度量、验证、推理、交流，将书本知识（间接经验）转化为自己亲历的直接经验，这样不仅有利于学生对相关知识的深入理解和掌握，同时也有利于他们在活动的过程中感悟数学思想，积累数学活动经验，掌握一定的学习方法，养成良好的学习习惯，形成“会学数学”的能力和素养。
例如，在三年级上册《认识几分之一》的教学中，通常会有鼓励学生用数表示“平均分后的某一份物体”的环节，就是让学生形象地感受到分数产生的必要性，再通过观察、操作、比较和交流等活动，让学生对具体的几分之一中的“几”和“一”的含义有直观的体会，在此基础上进行抽象，初步理解分数的含义，形成概念。这些活动的意义在于，让学生经历了借助图形操作进行思考，从具体的实物操作中抽象出分数概念的本质特征的过程，积累了相关的实践活动、思维活动经验，并感受到数形结合思想和抽象思想等。这样的教学效果，显然不是简单机械地“用词语描述分数含义”所能比拟的。 三、引导领悟、体验，促进有效内化
数学思想的形成是学生思维活动的结果，是个体的一种感悟。数学活动经验则是学生这个主体对活动过程中的经历、体会进行总结、提炼而获得的具有个性特征的经验。两者都是学生通过自己的体验、感悟而逐步内化的结果，而教师的恰当引导是实现这种体验、感悟和内化的关键。
1.找准渗透点，引导学生在运用数学方法的过程中领悟数学思想
应指出的是，不能把数学思想与数学方法混为一谈，它们有联系，但也有区别。数学思想是数学教学的核心和精髓，它比“方法”更上位，属观念性、指导性的。在用数学思想解决具体问题时，会逐渐形成程序化的操作而构成数学方法，所以数学方法属表象性的、操作性的，是可以讲授的。但是数学方法所体现的数学思想，学生则要在教师的引导下方能有所了解和体会。为此，教师需要把握好渗透数学思想的关键点和契机。
例如，一位教师教学《垂直与平行》时，先让学生画出各自心目中两条直线的位置关系，并展示于黑板上，然后问：“这么多，我们该怎样去研究呢？”生：“可以分类。”师进一步追问：“为什么想到分类？”生：“好研究啊！”看似简单的对话，却精彩地体现出教师引导学生感悟“分类思想”的用心，抓住关键点让学生在过去积累起的分类方法、经验的基础上，豁然明确了分类思想的指导意义：分类是有目的的，应根据研究的需要，从某个角度出发或按照对象的某种本质来进行，而不是为分类而分类。如果我们的教学只满足于学生“会按某种标准将对象划分为几个不同的种类”，那就仅是停留于方法层面的引导，而缺少了具有方向性意义的数学思想的渗透。
2.在“做”中引导思考、交流，促进活动经验的内化
活动经验既是个人对活动过程中的经历、体会进行总结、提炼内化而得，那么在活动中引导学生围绕一些关键点进行思考、交流，促进这种内化，就显得非常重要。这里提倡“交流”，还因为活动经验未必都是自己摸索得到的，也可以是受别人启发而获得的。
例如，有位教师在三年级下册《数学广角》（等量代换）的教学中设计了引导学生画图表示等量关系推理的过程。（1个菠萝换4个桃子，1个桃子换2个橘子，1个菠萝换几个橘子？）在学生展示、交流“作品”的环节，教师有意识地先展示一幅比较逼真地画出实物形象图的“作品”和一幅画几何图形代表的“作品”，追问：“用正方形、三角形来表示行吗？”接着展示另一幅“作品”：先形象地画1个桃子对应2个橘子，后面只画○表示桃子，并在○上对应地写个“2”。师追问道：“你第一组桃子、橘子画得这么漂亮，为什么后面不画了？○表示什么？写2又是什么意思？”通过这样的引导对比和交流，使全体学生都理解了画的目的，切实体验到“符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”，从而较好地感悟符号所蕴含的数学思想，形成运用符号的数学活动经验。
四、注意衔接，长期渗透，逐步培养
学生数学思想的形成需要经历从模糊到清晰、从理解到应用的长期发展过程，数学活动经验同样要依靠长期活动经历中逐渐积累而获得。因此，备课时不仅要考虑教材知识体系的前后衔接，还要纵向把握相关数学思想、活动经验与数学知识内容的联系。
例如，在长度、面积和角度单位等内容的教学中，一般都可以设计“比较”的系列活动：用肉眼观察（长短或大小差异明显的）—通过重叠比较（肉眼难以直接判断的）—通过割补或借助摆学具比较（重叠仍不能直接得出结论或无法重叠的）。围绕“怎么比”设置一个个“障碍”引导学生操作、思考、交流，使他们在活动中不仅感受到引进新“单位”的必要性，而且经历了根据问题特点与条件的变化不断寻找、调整解决问题的策略的过程。又如，在几何形体求积公式和解决问题等内容的教学中，通常都可以设计转化问题的活动，让学生经历化繁为简、化难为易、化未知为已知的过程。学生在不同年级、不同内容的学习中多次经历这样的过程，分别会逐步形成明确化、科学化、数学化的比较活动经验和“不断地将问题变形，直到把它转化成能够得到解决的问题”的转换化归思想。日常教学中，我们倘能从纵向关注“新增两基”，如此循环往复、持之以恒地进行有意识地渗透、培养，它们的落实就有了可靠保障。
一、着眼数学素养，挖掘数学内涵
1.依托教材，挖掘教学内容的数学内涵与教育价值
数学思想无形地隐含于数学知识体系里，因此，数学思想的渗透需要依附于有“形”的数学知识技能的教学。数学活动也同样离不开知识技能这个载体，学生的数学活动经验需要在积极参与学习数学知识技能的过程中，经过独立思考、探索实践和合作交流而积累形成。
基于以上观点，我们数学教师不仅要深入学习和领会新课标精神，从培养学生数学素养的高度，充分认识在教学中关注数学思想、数学活动经验的重要性，增强“渗透”的自觉意识，还要努力提升自身的数学专业素养，善于挖掘并准确把握教学内容的数学内涵与教育价值。要坚持依托教材，基于正常的教学秩序，把具体的知识技能教学放在“培养学生的数学素养”这样更高的目标和更广泛的视角下进行，避免“另起炉灶”和“两张皮”现象。这是落实“新增两基”的重要前提。
2.深入分析，准确把握教学内容所蕴含的数学思想
数学基本思想包括数学抽象的思想、数学推理的思想和数学建模的思想，它们在数学知识的发生、发展过程几乎无所不在。在小学数学教学中具体接触到的有以上基本思想演变、派生、发展而来的分类思想、数形结合思想、符号化思想、集合思想、对应思想、归纳思想、转换化归思想、类比思想以及简化思想、量化思想、函数思想、优化思想、方程思想、统计思想等。
数学思想不像数学概念、法则、性质等知识那样明显地写在教材中，但是教材编者通过情境设置、内容呈现顺序和图中人物的语言等，把数学思想无形地体现于其中。通常，在概念的教学中渗透着分类思想、归纳思想；在性质、规律、法则、公式的教学中渗透着类比思想、归纳思想；在解决问题的教学中渗透着数形结合思想、转换化归思想、方程思想等。而各册教材中的“数学广角”和数学实践活动，更是相对系统地引导学生获得数学思想的好素材，也是积累数学活动经验的重要载体。教师要通过深入分析教材去领悟这方面的编写意图，在教学中准确把握并恰当渗透。
例如，五年级上册《简易方程》的教学意义在于引导学生经历从“算术”到“代数”的过渡，这是学生认识上的一个飞跃，其数学内涵更突出地体现于符号化思想、函数思想、方程思想的渗透，以及抽象概括能力、解决问题能力的培养上。因此，其中《用字母表示数》和《方程的意义》的教学就不能只满足于外在形式上“会用字母表示”“会判断是不是方程”，而更要关注让学生经历从具体实例到一般意义的抽象概括过程，感受用字母表示数的优越性、变量间的对应依存关系和数量间的等量关系等，领悟相关的数学思想，为学生在后续学习中摆脱算术思维的局限性打下良好的基础。
二、根据内容特点，设计有效活动
“新增两基”的获得都离不开数学活动。不仅数学活动经验需要学生在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，数学思想也需要学生在探索推演的活动过程去领悟，并在数学活动经验的积累上形成。因此，准确把握教学内容的数学实质，根据不同内容特点设计有效的教学活动，让学生真正经历、参与到活动过程中，是落实“新增两基”的基本途径。
1.准确把握“活动”的数学价值
首先不能将数学活动狭隘地理解为就是“动手实践”“合作讨论”等这些有形的“动”。数学活动的根本价值在于引导学生经历数学思考，即运用数学的理性思维进行思考，培养学生以数学的眼光看世界、从数学的角度去分析问题的素养。因此，重要的是活动必须有明确的数学内涵和数学目的，必须体现数学的本质且最终落实到思维的“动”，而不是形式化的“为活动而活动”。从这个意义上说，师生在课堂上的讲授、学习（当然这种讲授和学习应该是启发式、探究式、互动式的）与数学探究、合作交流等一样，都是很好的数学活动。数学活动经验也不仅仅是实践的经验、解题的经验，更重要的是数学活动中思考的经验、思维的经验。
例如，二年级下册《千以内数的认识》的教学中，A教师单纯地让学生估计“一千张纸有多厚”“一千粒豆子有多少”，不仅太难（成人也未必能较准确估出），最后呈现实物也只能“灌”给学生一千张纸、一千粒豆子具体是多少的感觉。B教师则先让学生小组合作，各自数出一百粒豆子，然后问：“如果把豆子倒入这个瓶子，估一估500粒豆子会到瓶子的什么位置？”一百一百地倒进400粒后，再问：“现在要不要调整你的估计呢？再估一估，一千粒会到哪里呢？这样的活动过程不仅让学生很好地培养了数感，积累了用不同单位数数的经验（一个一个地数出十，一十一十地凑成百，一百一百地汇成千），还引导学生形成了估测的意识和经验（先找一个标准）。
2.以恰当的方式让学生亲历数学知识的发生、发展过程
数学知识的发生、发展过程，也是数学思想发生和凸显的过程。围绕这样的过程设计数学活动，让学生通过操作、观察、实验、猜测、度量、验证、推理、交流，将书本知识（间接经验）转化为自己亲历的直接经验，这样不仅有利于学生对相关知识的深入理解和掌握，同时也有利于他们在活动的过程中感悟数学思想，积累数学活动经验，掌握一定的学习方法，养成良好的学习习惯，形成“会学数学”的能力和素养。
例如，在三年级上册《认识几分之一》的教学中，通常会有鼓励学生用数表示“平均分后的某一份物体”的环节，就是让学生形象地感受到分数产生的必要性，再通过观察、操作、比较和交流等活动，让学生对具体的几分之一中的“几”和“一”的含义有直观的体会，在此基础上进行抽象，初步理解分数的含义，形成概念。这些活动的意义在于，让学生经历了借助图形操作进行思考，从具体的实物操作中抽象出分数概念的本质特征的过程，积累了相关的实践活动、思维活动经验，并感受到数形结合思想和抽象思想等。这样的教学效果，显然不是简单机械地“用词语描述分数含义”所能比拟的。 三、引导领悟、体验，促进有效内化
数学思想的形成是学生思维活动的结果，是个体的一种感悟。数学活动经验则是学生这个主体对活动过程中的经历、体会进行总结、提炼而获得的具有个性特征的经验。两者都是学生通过自己的体验、感悟而逐步内化的结果，而教师的恰当引导是实现这种体验、感悟和内化的关键。
1.找准渗透点，引导学生在运用数学方法的过程中领悟数学思想
应指出的是，不能把数学思想与数学方法混为一谈，它们有联系，但也有区别。数学思想是数学教学的核心和精髓，它比“方法”更上位，属观念性、指导性的。在用数学思想解决具体问题时，会逐渐形成程序化的操作而构成数学方法，所以数学方法属表象性的、操作性的，是可以讲授的。但是数学方法所体现的数学思想，学生则要在教师的引导下方能有所了解和体会。为此，教师需要把握好渗透数学思想的关键点和契机。
例如，一位教师教学《垂直与平行》时，先让学生画出各自心目中两条直线的位置关系，并展示于黑板上，然后问：“这么多，我们该怎样去研究呢？”生：“可以分类。”师进一步追问：“为什么想到分类？”生：“好研究啊！”看似简单的对话，却精彩地体现出教师引导学生感悟“分类思想”的用心，抓住关键点让学生在过去积累起的分类方法、经验的基础上，豁然明确了分类思想的指导意义：分类是有目的的，应根据研究的需要，从某个角度出发或按照对象的某种本质来进行，而不是为分类而分类。如果我们的教学只满足于学生“会按某种标准将对象划分为几个不同的种类”，那就仅是停留于方法层面的引导，而缺少了具有方向性意义的数学思想的渗透。
2.在“做”中引导思考、交流，促进活动经验的内化
活动经验既是个人对活动过程中的经历、体会进行总结、提炼内化而得，那么在活动中引导学生围绕一些关键点进行思考、交流，促进这种内化，就显得非常重要。这里提倡“交流”，还因为活动经验未必都是自己摸索得到的，也可以是受别人启发而获得的。
例如，有位教师在三年级下册《数学广角》（等量代换）的教学中设计了引导学生画图表示等量关系推理的过程。（1个菠萝换4个桃子，1个桃子换2个橘子，1个菠萝换几个橘子？）在学生展示、交流“作品”的环节，教师有意识地先展示一幅比较逼真地画出实物形象图的“作品”和一幅画几何图形代表的“作品”，追问：“用正方形、三角形来表示行吗？”接着展示另一幅“作品”：先形象地画1个桃子对应2个橘子，后面只画○表示桃子，并在○上对应地写个“2”。师追问道：“你第一组桃子、橘子画得这么漂亮，为什么后面不画了？○表示什么？写2又是什么意思？”通过这样的引导对比和交流，使全体学生都理解了画的目的，切实体验到“符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”，从而较好地感悟符号所蕴含的数学思想，形成运用符号的数学活动经验。
四、注意衔接，长期渗透，逐步培养
学生数学思想的形成需要经历从模糊到清晰、从理解到应用的长期发展过程，数学活动经验同样要依靠长期活动经历中逐渐积累而获得。因此，备课时不仅要考虑教材知识体系的前后衔接，还要纵向把握相关数学思想、活动经验与数学知识内容的联系。
例如，在长度、面积和角度单位等内容的教学中，一般都可以设计“比较”的系列活动：用肉眼观察（长短或大小差异明显的）—通过重叠比较（肉眼难以直接判断的）—通过割补或借助摆学具比较（重叠仍不能直接得出结论或无法重叠的）。围绕“怎么比”设置一个个“障碍”引导学生操作、思考、交流，使他们在活动中不仅感受到引进新“单位”的必要性，而且经历了根据问题特点与条件的变化不断寻找、调整解决问题的策略的过程。又如，在几何形体求积公式和解决问题等内容的教学中，通常都可以设计转化问题的活动，让学生经历化繁为简、化难为易、化未知为已知的过程。学生在不同年级、不同内容的学习中多次经历这样的过程，分别会逐步形成明确化、科学化、数学化的比较活动经验和“不断地将问题变形，直到把它转化成能够得到解决的问题”的转换化归思想。日常教学中，我们倘能从纵向关注“新增两基”，如此循环往复、持之以恒地进行有意识地渗透、培养，它们的落实就有了可靠保障。