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数学问题，归根到底是量变问题.在高中数学复习迎考中，常常碰到所要解决的许多数学问题，在量与量的发生与发展变化过程中，有其“不变的量”，若能利用其规律和特征，作为问题分析与解决的思维主线，往往是我们解决数学问题的关键（或突破口）。
一、“值不变”
“值不变”指在数学量变过程中，某量（题设某种量或变化过程中产生的某种量）的值不变，或变化中的某量的某种特定值不变.
1. 某种量的值不变
例1.①（07年全国Ⅱ理11）设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线存在点A，使 ，且 ，则双曲线的离心率为：（A） （B） （C） （D）
②正三棱柱ABC—A1B1C1的高为2，AB1与平面ABC所成角为450，则点C到平面ABC1的距离是 .
分析：①按题意作如图所示： ，
∴ ，而
， ，
.
②如图，据题意得三棱锥 — 体积不变，
即 ，而 与平面 所成角为 ，
∴
∴ ，即 点到平面 的距离为 .
【点评】①按双曲线的定义， 为双曲线的实轴长不变，利用勾股定理得解；②三棱锥 休积不变，利用“体积换算”而得解.
2.变化的某种量的某值不变
例2（08年云南高中毕业生复习统测（一）9）在三棱锥V-ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，且三个侧面与底面ABC所成的二面角（锐角）分别为 ，则 ：
（A）1 （B）2 （C） （D）
分析：满足题意的三棱锥是多变的，但侧面与底面所成角的余弦值之和是一个不变的确定值.而在变化的三棱锥中含正四面体这种特殊情形.所以可选择正四面体（特殊值法）来计算解决.如图：作正四面体V-ABC，
设VO⊥面ABC，垂足为O，连接AO交BC于点D，连接VD，
若侧面与底面所成角为 ，则 = .令正四面体的棱长为1，
得OD= ∴
∴所求值为1，选（A）.
【点评】满足题意的三棱锥虽是多变的，但各侧面与
底面所成角的余弦值之和这一特定值不变，因而选择符合条件的正四面体这种特殊情形来求解.这种思维方法为我们用特殊值法解选择题奠定基础.
二、“性不变”
“性不变”指在数学量变过程中，某量的特征性不变，可分为题设某变量的特征性不变或变化过程中产生的某种量的特征性不变两类.
1.题设某变量的特征性不变
例3.（中华大考场-理P156-19）实系数方程 的一根在
（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，求 的取值范围.
分析：无论实系数a、b怎样变化，方程 的根，是开口向上的抛物线 与x轴交点的横坐标这一特征性不变，而两根分别在（0，1）与（1，2）内.
∴ 得 即
作出点 满足的可行域为
三线围成的区域（如图，不含边界）.
另一方面，无论在可行域内取何点 ，
为动点 与定点 的连线的斜率 这一特征性不变.
而 ， ∴ ， ，∴ .
【点评】利用数形结合、函数与方程的思想，抓住方程的根为相应函数图象与 轴交点的横坐标这一特征性得 的可行域，再抓住 为动点 与定点 连线的斜率这一特征性而解之.
2.变化过程中产生的某种量的特征性不变
例4.（学普试卷-21）设直线 ：y=x+1与椭圆 相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于F，①证明 ；②若F是椭圆的一个焦点，且 ，求椭圆的方程.
分析：如图，直线y=x+1与椭圆 相交于不同的两点 、 ，将直线方程代入椭圆方程中得y（或x）的一元二次方程： ，A、B两点相应的
坐标即为方程的两根（变化过程中产生的量），根
的判别及根与系数的关系不变，因此：
① ，
，∴ .
②因为F是焦点，所以c=1，由 得
，
， ，∴
.∴椭圆方程为 .
【点评】解决与相交弦有关的问题，往往利用交点坐标（ 或 坐标）是将直线方程代入曲线方程而得到的相应方程（ 或 的方程）的两根这一特征性，利用根与系数的关系而得解.
三、 值与性均不变
应用“不变量思维法”解决数学问题时，始终紧紧抓住“变中的不变量”，利用其“特征性或值不变”作为思维主线，问题将会迎刃而解.有时这样的量同时具备“值与性”均不变的情况.如下例：
例5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，
，沿对角线AC折起，使AB与CD成
角，求折叠后B、D间的距离.
分析：如图，在翻折变换过程中，原平行四边形边长和对角线AC的长度均不变，同时CA与AB、CA与DC的垂直性也不变.∴ ， .而据题意， ，
.
∴ .∴折叠后 、 间的距离为 .
【点评】翻折问题，是立几中的典型问题，始终注意到翻折变化中的某些量的值不变与性不变，是解决这类问题的关键.
总之，“不变量思维法”在解题应用中思维十分活跃，无论是思维的形式、思维的广度和深度，都具有鲜明的特点及可适用性，进而引发诸如数学转换思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想以及选择题中特殊值思想方法等，都将体现其中.师生在复习迎考中，不妨一试，从中得益.
一、“值不变”
“值不变”指在数学量变过程中，某量（题设某种量或变化过程中产生的某种量）的值不变，或变化中的某量的某种特定值不变.
1. 某种量的值不变
例1.①（07年全国Ⅱ理11）设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线存在点A，使 ，且 ，则双曲线的离心率为：（A） （B） （C） （D）
②正三棱柱ABC—A1B1C1的高为2，AB1与平面ABC所成角为450，则点C到平面ABC1的距离是 .
分析：①按题意作如图所示： ，
∴ ，而
， ，
.
②如图，据题意得三棱锥 — 体积不变，
即 ，而 与平面 所成角为 ，
∴
∴ ，即 点到平面 的距离为 .
【点评】①按双曲线的定义， 为双曲线的实轴长不变，利用勾股定理得解；②三棱锥 休积不变，利用“体积换算”而得解.
2.变化的某种量的某值不变
例2（08年云南高中毕业生复习统测（一）9）在三棱锥V-ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，且三个侧面与底面ABC所成的二面角（锐角）分别为 ，则 ：
（A）1 （B）2 （C） （D）
分析：满足题意的三棱锥是多变的，但侧面与底面所成角的余弦值之和是一个不变的确定值.而在变化的三棱锥中含正四面体这种特殊情形.所以可选择正四面体（特殊值法）来计算解决.如图：作正四面体V-ABC，
设VO⊥面ABC，垂足为O，连接AO交BC于点D，连接VD，
若侧面与底面所成角为 ，则 = .令正四面体的棱长为1，
得OD= ∴
∴所求值为1，选（A）.
【点评】满足题意的三棱锥虽是多变的，但各侧面与
底面所成角的余弦值之和这一特定值不变，因而选择符合条件的正四面体这种特殊情形来求解.这种思维方法为我们用特殊值法解选择题奠定基础.
二、“性不变”
“性不变”指在数学量变过程中，某量的特征性不变，可分为题设某变量的特征性不变或变化过程中产生的某种量的特征性不变两类.
1.题设某变量的特征性不变
例3.（中华大考场-理P156-19）实系数方程 的一根在
（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，求 的取值范围.
分析：无论实系数a、b怎样变化，方程 的根，是开口向上的抛物线 与x轴交点的横坐标这一特征性不变，而两根分别在（0，1）与（1，2）内.
∴ 得 即
作出点 满足的可行域为
三线围成的区域（如图，不含边界）.
另一方面，无论在可行域内取何点 ，
为动点 与定点 的连线的斜率 这一特征性不变.
而 ， ∴ ， ，∴ .
【点评】利用数形结合、函数与方程的思想，抓住方程的根为相应函数图象与 轴交点的横坐标这一特征性得 的可行域，再抓住 为动点 与定点 连线的斜率这一特征性而解之.
2.变化过程中产生的某种量的特征性不变
例4.（学普试卷-21）设直线 ：y=x+1与椭圆 相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于F，①证明 ；②若F是椭圆的一个焦点，且 ，求椭圆的方程.
分析：如图，直线y=x+1与椭圆 相交于不同的两点 、 ，将直线方程代入椭圆方程中得y（或x）的一元二次方程： ，A、B两点相应的
坐标即为方程的两根（变化过程中产生的量），根
的判别及根与系数的关系不变，因此：
① ，
，∴ .
②因为F是焦点，所以c=1，由 得
，
， ，∴
.∴椭圆方程为 .
【点评】解决与相交弦有关的问题，往往利用交点坐标（ 或 坐标）是将直线方程代入曲线方程而得到的相应方程（ 或 的方程）的两根这一特征性，利用根与系数的关系而得解.
三、 值与性均不变
应用“不变量思维法”解决数学问题时，始终紧紧抓住“变中的不变量”，利用其“特征性或值不变”作为思维主线，问题将会迎刃而解.有时这样的量同时具备“值与性”均不变的情况.如下例：
例5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，
，沿对角线AC折起，使AB与CD成
角，求折叠后B、D间的距离.
分析：如图，在翻折变换过程中，原平行四边形边长和对角线AC的长度均不变，同时CA与AB、CA与DC的垂直性也不变.∴ ， .而据题意， ，
.
∴ .∴折叠后 、 间的距离为 .
【点评】翻折问题，是立几中的典型问题，始终注意到翻折变化中的某些量的值不变与性不变，是解决这类问题的关键.
总之，“不变量思维法”在解题应用中思维十分活跃，无论是思维的形式、思维的广度和深度，都具有鲜明的特点及可适用性，进而引发诸如数学转换思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想以及选择题中特殊值思想方法等，都将体现其中.师生在复习迎考中，不妨一试，从中得益.