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摘 要：以标准化的理论方法，系统地回答素数运用及相关的3个热点讨论问题，全面揭示“二猜”的内在条件。
关键词：因果条件;素因子;最大素因子;互积值;知识范畴
以素数研究为立足点，以基础理论及客观知识范畴为依据，全面解剖素数成因条件及变化规则，已基本完成“二猜”相关的全部理论问题，该信件仅对理论界共识的3个问题作出回答。
1 “哥猜”3个问题的来源
在“哥猜”证明相关文献《来源》《意义》《小史》中，有3个具体疑难问题。如果不能优先解决这3个问题，其他研究是无法进行的。
（1）在小偶数“6”“8”，…，等证明中，已知可表示为“3+3”“3+5”，…，但却不知如何证明，即证明中素数虽然是已知的，客观存在的，仍缺乏一个“××证明条件”约束问题，一些学者认为是必要条件，一些学者则认为是充分条件。由此产生了第一问题“条件讨论”。
（2）所谓“哥猜”问题，说到底就是“素数”问题。素数的性质、特征、分类、素因子、公式化、素数与奇数、合数的关系、素数定律等若干问题均未形成标准理论界定。要解决素数问题，尤必须解决素数公式化问题。用已有的试商试除法从逻辑上讲是可靠的，但缺点是无法获知其中的素因子作用及清晰的逻辑关系。故产生出第2个“素数公式化”讨论问题。
（3）在“哥猜”证明中，由于大素数分布状况是无法预知的，即是否无穷大还不能确定。若不能保证素数无穷大，则大偶数证明是毫无意义的，故产生第3个讨论问题：素数无穷大及相关。以下就3个问题提出个人看法供参考。
2 “哥猜”3个问题的答案
（1）证明条件讨论。已知在小学一年级第一数学式“1+1=2”量的关系式中，从证明角度出发，也是一个学术难题，笔者曾用3年时间才完成确证。结果发现，所谓“数学证明”，必须满足一个“因果条件”的条件。因果条件通常以两个途径来形成：其一是逻辑性的条件，而逻辑体是内含因果关系的;其二是理论性的条件，其中包括原理、原则、法则、定理、定律、惯例等。量的关系式“1+1=2”解的因果条件是“自然数法则解，又称序量法则解”。所以，第一问题的答案为证明条件之必要条件—因果条件，与充分条件无关。充分条件是指所有必要条件均满足时的一个条件问题。
（2）素数公式化讨论。已知试商试除法中的逻辑性是可靠的，又知素数的本质是表示为除了“1”及自身无他数可整倍除的“数”。基此两点，得到一个全素因子表达式：均不为整数。其中m值同于试商试除法，限指1，3，7，9尾奇数，SX为不含2，5的能被m整倍除的所有素数，一般式为3，7，11，…，y，其中y≤，y是最后一个可整倍除的素数。（因任一因子的第一倍点为自身的平方值：32=9，72=49，112=121，…，则y2≤m）。该公式经若干检验是绝对可靠的。它的特点是揭示了任一m值能否表示为素数的具体成因条件、它实际拥有多少个素因子数，而不是一个笼统的概念。现有文献均称素因子数为2，3，5，7，…，显然是错误的，从未提出m与素因子的依存关系及如何运用。因此，该式会揭开新的一页。
（3）素数无穷大讨论。当前讨论中一直沿用欧拉的“发散性”推理证明法，对此，挪威数学家布朗在检验时却发现了矛盾现象。在用“发散性”证孪生素数无穷大时，得到一个有限的布朗常数结论。其实，“发散性”证明就是不可靠的。已知：0.111 1，…，=，…。该式就是发散的或无穷无尽的分式和，但结果是极有限的，所以发散性是不能作結论的。通过“哥猜”研究发现，仅建立一个总体素数无穷大证明是无意义的。因在非0'尾偶中，1，3，7，9结尾的素数，必有一类素数是不参与二素数互和的，其原因是每一个同尾数必与以“5”结尾的合数位逐一互和。又在无穷大偶数中的二素数和中必有一个素数是无穷大的，而素数总体无穷大必须要求至少两个尾类的素数保证无穷大才有意义。显然总体无穷大是不满足该条件的。
关于素数分类无穷大证明步骤如下：第1步，设定素数有限，产生一个最大素数令为y，且将其中的2，5去掉，剩下的以1，3，7，9结尾的素数为﹣3，7，11，13，…y，并放置在SX的一个集合内。第2步，若能在y后再找出一个或多个素数即表示有限设定不成立，并完成素数无穷大证明。第3步，将SX集合中的全素因子数互积起来，令为m值，则m>y，且以1，3，7，9结尾的一个尾奇数。又已知，在自然数列中，任一素因子数SX-3，7，11，…，y，在任一整倍点形成新的合数过程中，必满足m+SX·n式，因m是全素因子共倍点，则3因子为m+3，m+6，m+9，…，（SX=3，n=1，2，3，…，），7因子为m+7，m+14，m+21，11因子为m+11，…。当m+10时可发现，该值点必为素数，且为m后的第一个同尾奇素数，所以素数有限不成立。第4步，由1，3，7，9尾奇数间横向相关性可知，当m分别乘以1，3，7，9可呈现与m相关的3个尾奇数值，即3m，7m，9m，透过3m，7m，9m发现，另3类尾奇数也为全素因子共倍点。同理，3m+10，7m+10，9m+10必为另3类中的奇素数。所以，1，3，7，9四尾素数都是无穷大的，证毕。
3 证明结果
3.1 知识范畴
由上可知，“二猜”所在知识范畴必为初等数学范畴，应与高等数学无关，其证明复杂性是由素因子变化复杂性决定的。例如，当某个偶数或孪生奇数值达到10 000时，至少拥有素因子数：3，7，11，…，97，为23个因子。当某个偶数或孪生奇数值达到一亿时，至少拥有素因子数：3，7，11，…，9 973，为1 227个因子。且随量值增长，素因子数会无限增长等。就“二猜”而言，其依赖的证明条件就是素因子条件，舍此而外，应无它法。
3.2 “二猜”中的运用 3.2.1 在“哥猜”中的运用及理解
例如，当N偶=“6”与“8”时的证明过程。第1步，已知N偶=6或8时，均可组成两组“奇+奇”。又知9以内的奇数列无可倍因子及素因子数，即参与互和奇数中，除“1”以外，均为素数。第2步，在互和奇数中“1”是个特殊奇数，既非合数也非素数。且“1”在任一偶数中（含“6”与“8”）仅一次互和机会，即两组“奇+奇”中必有一组为“素+素”，证毕。透过证明条件看，素因子及素数与奇数的依存关系是唯一因果条件。例如，当N偶=10～48时的证明过程。当N偶=10，12，14时：第1步，已知N偶=10，12，14时，至少可分解3组“奇+奇”，奇数中仅有两个干扰项“1”“9”，即参与互和的素数为“3”“5”“7”3个。第2步，由任一数仅一次互和机会知1，9最多干扰两组“奇+奇”，即3组“奇+奇”中至少一组必为“素+素”证毕。当N偶=16～48时，因产生一个大类奇数干扰项—5尾合数，如15，25，35，45等。同时，在1，3，7，9结尾奇数中又产生一个“3”因子的可倍项—21，33，27，9，39等（外加一个“1”），此时的证明需作分类处理。以下仅对分类方法及分类必要性作简要分析。首先，已知5类偶数中，4类为非0'尾偶，在其“奇+奇”中，与“素+素”相关的均为3类。其中2尾偶为“1-1尾”“3-9尾”“9-3尾”。而“奇+奇”中的“5-7尾”“7-5尾”，除第一个5为特例外，其余均为合数位，称7尾素数为2尾偶的无效互和因子项。同理，4，6，8尾偶中也仅有3类“奇+奇”与“素+素”相关。对此，称为分类相关互和因子，又称第一相关因子。其次，如保证含有素数的奇数类之间互和，还不保证满足“素”与“素”互和。已知在“奇+奇”中，每3个偶数必因3因子构成3组不同的“奇+奇”结构。例N偶被3整除时，“奇+奇”中，3的合数点+3的合数点，0.333尾余值+0.666尾余值，0.666尾余值+0.333尾余值。其中3个结构中仅有不整除的0.333，0.666相互间构成的“奇+奇”才与“素+素”相关。此处称3的整除偶数为剩位全互补因子。同理，N偶不被3整除时，“奇+奇”结构为0.333+0，0+0.333，“0.666+0.666”或者0.666+0，0+0.666，0.333+0.333。其中只有“0.666+0.666”或“0.333+0.333”与“素+素”相关，对此称为与3的整倍点（0）互和体为无效剩位互和因子，又称第二互和因子。由剩位因子可知，要保证一个偶数的“素+素”必优先保证0.333尾余值奇数与0.666尾余值奇数之间互和。经统计分析，奇数或素数列中0.333尾余值与0.666尾余值分布，基本各占50%，误差率小于1%。其与同类奇数为。就是说，因剩因子的作用，偶数中，已有素数的约一半是与“素+素”不相关的。由此证明N偶=16～48时，第1步，须确定分类因子，例N偶=18时，无效类因子为3尾奇数;第2步，确定剩位因子，已知无无效剩因子，N偶被3整除，即0.333，0.666为全有效互和因子。即当奇数为5，7时，其尾余值不为0，则另一互和奇数必为“剩位”亦不为0，必满足“素+素”。（在值区内的“奇+奇”凡不被3整除的必为“素+素”，因奇数列仅容纳一个3的可倍因子）。同理可完成其他证明。在采用分类证明法时，须满足一个必要条件，即建立两个公式：（1）一般二数和表达式N偶=X+（N偶﹣X），…。（2）二素数和表达式N偶=S1+S2，…;其中X，S1≤，N偶-X，S2≥，范围限定是保证二数和不重不漏。在不同剩因子代入公式时，须以两个公式为依据。注意，在证明时，当“奇+奇”变形为“剩+剩”时，又可变形为“S1+剩”。因已知素数的第二个性质为依存性或伴生性。即素数依存于偶数。则同理，S1依存于，因此，S1可作已知条件，并直接代入公式。这一方法在以下较大偶数中可广泛运用。例：当N偶=50～120时的证明过程。在此区间，“奇+奇”中除了排除3的可倍点外，还要排除7的可倍点。又已知分类分解后，“奇+奇”已变形为“S1+剩”，即只要将“剩”位上的7的可倍点排除后，“S1+剩”必为“素+素”。证明过程略。同理，当证明N偶=122～168时，只要将“剩”位上的7，11二因子的可倍点排除即可，因该值区又增了一个11干扰因子。以此类推，建立逐因子分段证明区间，直至N偶≤10 000即可。其中因子数值达97，剩位干扰因子数为22个（7，11，…，97）。当N偶>10 000，则纳入大偶数范畴统一证明（过程略）。
3.2.2 “孪生猜”中的运用
无论将孪生素数设定为P，P+2或m，m﹣2形式，证明它的唯一条件必须保证P，P+2或m，m﹣2中的两个值点均为素数。而保证P，P+2是素数，唯以决定的全素因子SX—3，7，11，…，y均不整除方可保证。（在分解孪生素数时，通常以的全素因子数代表的全素因子数，因二者因子是一致的，这是量差值决定的）。可知，当P+2值小于9时，其中任一相邻为2的奇数必为孪生素数，与首个“1”相邻除外。因其中奇数列无可倍素因子项。同理，49与9之间，凡孪生奇数对，只要同时不被“3”整除，必为孪生素数，因其间奇数列只有一个3的可倍因子项。同理，121与49之间，条件同上，只要孪生奇数列同时不被3，7二因子整除必为孪生素数。以此类推，可一直解证任意孪生素数。可想而知，当P，P+2值点达10 000以上，其拥有至少23個素因子，当P，P+2值点达一亿以上，其拥有至少1 227个素因子。随量值增长素因子也无穷尽地增长，请问，舍此条件，怎么建立一个所谓的尖端数学方法体系？
关键词：因果条件;素因子;最大素因子;互积值;知识范畴
以素数研究为立足点，以基础理论及客观知识范畴为依据，全面解剖素数成因条件及变化规则，已基本完成“二猜”相关的全部理论问题，该信件仅对理论界共识的3个问题作出回答。
1 “哥猜”3个问题的来源
在“哥猜”证明相关文献《来源》《意义》《小史》中，有3个具体疑难问题。如果不能优先解决这3个问题，其他研究是无法进行的。
（1）在小偶数“6”“8”，…，等证明中，已知可表示为“3+3”“3+5”，…，但却不知如何证明，即证明中素数虽然是已知的，客观存在的，仍缺乏一个“××证明条件”约束问题，一些学者认为是必要条件，一些学者则认为是充分条件。由此产生了第一问题“条件讨论”。
（2）所谓“哥猜”问题，说到底就是“素数”问题。素数的性质、特征、分类、素因子、公式化、素数与奇数、合数的关系、素数定律等若干问题均未形成标准理论界定。要解决素数问题，尤必须解决素数公式化问题。用已有的试商试除法从逻辑上讲是可靠的，但缺点是无法获知其中的素因子作用及清晰的逻辑关系。故产生出第2个“素数公式化”讨论问题。
（3）在“哥猜”证明中，由于大素数分布状况是无法预知的，即是否无穷大还不能确定。若不能保证素数无穷大，则大偶数证明是毫无意义的，故产生第3个讨论问题：素数无穷大及相关。以下就3个问题提出个人看法供参考。
2 “哥猜”3个问题的答案
（1）证明条件讨论。已知在小学一年级第一数学式“1+1=2”量的关系式中，从证明角度出发，也是一个学术难题，笔者曾用3年时间才完成确证。结果发现，所谓“数学证明”，必须满足一个“因果条件”的条件。因果条件通常以两个途径来形成：其一是逻辑性的条件，而逻辑体是内含因果关系的;其二是理论性的条件，其中包括原理、原则、法则、定理、定律、惯例等。量的关系式“1+1=2”解的因果条件是“自然数法则解，又称序量法则解”。所以，第一问题的答案为证明条件之必要条件—因果条件，与充分条件无关。充分条件是指所有必要条件均满足时的一个条件问题。
（2）素数公式化讨论。已知试商试除法中的逻辑性是可靠的，又知素数的本质是表示为除了“1”及自身无他数可整倍除的“数”。基此两点，得到一个全素因子表达式：均不为整数。其中m值同于试商试除法，限指1，3，7，9尾奇数，SX为不含2，5的能被m整倍除的所有素数，一般式为3，7，11，…，y，其中y≤，y是最后一个可整倍除的素数。（因任一因子的第一倍点为自身的平方值：32=9，72=49，112=121，…，则y2≤m）。该公式经若干检验是绝对可靠的。它的特点是揭示了任一m值能否表示为素数的具体成因条件、它实际拥有多少个素因子数，而不是一个笼统的概念。现有文献均称素因子数为2，3，5，7，…，显然是错误的，从未提出m与素因子的依存关系及如何运用。因此，该式会揭开新的一页。
（3）素数无穷大讨论。当前讨论中一直沿用欧拉的“发散性”推理证明法，对此，挪威数学家布朗在检验时却发现了矛盾现象。在用“发散性”证孪生素数无穷大时，得到一个有限的布朗常数结论。其实，“发散性”证明就是不可靠的。已知：0.111 1，…，=，…。该式就是发散的或无穷无尽的分式和，但结果是极有限的，所以发散性是不能作結论的。通过“哥猜”研究发现，仅建立一个总体素数无穷大证明是无意义的。因在非0'尾偶中，1，3，7，9结尾的素数，必有一类素数是不参与二素数互和的，其原因是每一个同尾数必与以“5”结尾的合数位逐一互和。又在无穷大偶数中的二素数和中必有一个素数是无穷大的，而素数总体无穷大必须要求至少两个尾类的素数保证无穷大才有意义。显然总体无穷大是不满足该条件的。
关于素数分类无穷大证明步骤如下：第1步，设定素数有限，产生一个最大素数令为y，且将其中的2，5去掉，剩下的以1，3，7，9结尾的素数为﹣3，7，11，13，…y，并放置在SX的一个集合内。第2步，若能在y后再找出一个或多个素数即表示有限设定不成立，并完成素数无穷大证明。第3步，将SX集合中的全素因子数互积起来，令为m值，则m>y，且以1，3，7，9结尾的一个尾奇数。又已知，在自然数列中，任一素因子数SX-3，7，11，…，y，在任一整倍点形成新的合数过程中，必满足m+SX·n式，因m是全素因子共倍点，则3因子为m+3，m+6，m+9，…，（SX=3，n=1，2，3，…，），7因子为m+7，m+14，m+21，11因子为m+11，…。当m+10时可发现，该值点必为素数，且为m后的第一个同尾奇素数，所以素数有限不成立。第4步，由1，3，7，9尾奇数间横向相关性可知，当m分别乘以1，3，7，9可呈现与m相关的3个尾奇数值，即3m，7m，9m，透过3m，7m，9m发现，另3类尾奇数也为全素因子共倍点。同理，3m+10，7m+10，9m+10必为另3类中的奇素数。所以，1，3，7，9四尾素数都是无穷大的，证毕。
3 证明结果
3.1 知识范畴
由上可知，“二猜”所在知识范畴必为初等数学范畴，应与高等数学无关，其证明复杂性是由素因子变化复杂性决定的。例如，当某个偶数或孪生奇数值达到10 000时，至少拥有素因子数：3，7，11，…，97，为23个因子。当某个偶数或孪生奇数值达到一亿时，至少拥有素因子数：3，7，11，…，9 973，为1 227个因子。且随量值增长，素因子数会无限增长等。就“二猜”而言，其依赖的证明条件就是素因子条件，舍此而外，应无它法。
3.2 “二猜”中的运用 3.2.1 在“哥猜”中的运用及理解
例如，当N偶=“6”与“8”时的证明过程。第1步，已知N偶=6或8时，均可组成两组“奇+奇”。又知9以内的奇数列无可倍因子及素因子数，即参与互和奇数中，除“1”以外，均为素数。第2步，在互和奇数中“1”是个特殊奇数，既非合数也非素数。且“1”在任一偶数中（含“6”与“8”）仅一次互和机会，即两组“奇+奇”中必有一组为“素+素”，证毕。透过证明条件看，素因子及素数与奇数的依存关系是唯一因果条件。例如，当N偶=10～48时的证明过程。当N偶=10，12，14时：第1步，已知N偶=10，12，14时，至少可分解3组“奇+奇”，奇数中仅有两个干扰项“1”“9”，即参与互和的素数为“3”“5”“7”3个。第2步，由任一数仅一次互和机会知1，9最多干扰两组“奇+奇”，即3组“奇+奇”中至少一组必为“素+素”证毕。当N偶=16～48时，因产生一个大类奇数干扰项—5尾合数，如15，25，35，45等。同时，在1，3，7，9结尾奇数中又产生一个“3”因子的可倍项—21，33，27，9，39等（外加一个“1”），此时的证明需作分类处理。以下仅对分类方法及分类必要性作简要分析。首先，已知5类偶数中，4类为非0'尾偶，在其“奇+奇”中，与“素+素”相关的均为3类。其中2尾偶为“1-1尾”“3-9尾”“9-3尾”。而“奇+奇”中的“5-7尾”“7-5尾”，除第一个5为特例外，其余均为合数位，称7尾素数为2尾偶的无效互和因子项。同理，4，6，8尾偶中也仅有3类“奇+奇”与“素+素”相关。对此，称为分类相关互和因子，又称第一相关因子。其次，如保证含有素数的奇数类之间互和，还不保证满足“素”与“素”互和。已知在“奇+奇”中，每3个偶数必因3因子构成3组不同的“奇+奇”结构。例N偶被3整除时，“奇+奇”中，3的合数点+3的合数点，0.333尾余值+0.666尾余值，0.666尾余值+0.333尾余值。其中3个结构中仅有不整除的0.333，0.666相互间构成的“奇+奇”才与“素+素”相关。此处称3的整除偶数为剩位全互补因子。同理，N偶不被3整除时，“奇+奇”结构为0.333+0，0+0.333，“0.666+0.666”或者0.666+0，0+0.666，0.333+0.333。其中只有“0.666+0.666”或“0.333+0.333”与“素+素”相关，对此称为与3的整倍点（0）互和体为无效剩位互和因子，又称第二互和因子。由剩位因子可知，要保证一个偶数的“素+素”必优先保证0.333尾余值奇数与0.666尾余值奇数之间互和。经统计分析，奇数或素数列中0.333尾余值与0.666尾余值分布，基本各占50%，误差率小于1%。其与同类奇数为。就是说，因剩因子的作用，偶数中，已有素数的约一半是与“素+素”不相关的。由此证明N偶=16～48时，第1步，须确定分类因子，例N偶=18时，无效类因子为3尾奇数;第2步，确定剩位因子，已知无无效剩因子，N偶被3整除，即0.333，0.666为全有效互和因子。即当奇数为5，7时，其尾余值不为0，则另一互和奇数必为“剩位”亦不为0，必满足“素+素”。（在值区内的“奇+奇”凡不被3整除的必为“素+素”，因奇数列仅容纳一个3的可倍因子）。同理可完成其他证明。在采用分类证明法时，须满足一个必要条件，即建立两个公式：（1）一般二数和表达式N偶=X+（N偶﹣X），…。（2）二素数和表达式N偶=S1+S2，…;其中X，S1≤，N偶-X，S2≥，范围限定是保证二数和不重不漏。在不同剩因子代入公式时，须以两个公式为依据。注意，在证明时，当“奇+奇”变形为“剩+剩”时，又可变形为“S1+剩”。因已知素数的第二个性质为依存性或伴生性。即素数依存于偶数。则同理，S1依存于，因此，S1可作已知条件，并直接代入公式。这一方法在以下较大偶数中可广泛运用。例：当N偶=50～120时的证明过程。在此区间，“奇+奇”中除了排除3的可倍点外，还要排除7的可倍点。又已知分类分解后，“奇+奇”已变形为“S1+剩”，即只要将“剩”位上的7的可倍点排除后，“S1+剩”必为“素+素”。证明过程略。同理，当证明N偶=122～168时，只要将“剩”位上的7，11二因子的可倍点排除即可，因该值区又增了一个11干扰因子。以此类推，建立逐因子分段证明区间，直至N偶≤10 000即可。其中因子数值达97，剩位干扰因子数为22个（7，11，…，97）。当N偶>10 000，则纳入大偶数范畴统一证明（过程略）。
3.2.2 “孪生猜”中的运用
无论将孪生素数设定为P，P+2或m，m﹣2形式，证明它的唯一条件必须保证P，P+2或m，m﹣2中的两个值点均为素数。而保证P，P+2是素数，唯以决定的全素因子SX—3，7，11，…，y均不整除方可保证。（在分解孪生素数时，通常以的全素因子数代表的全素因子数，因二者因子是一致的，这是量差值决定的）。可知，当P+2值小于9时，其中任一相邻为2的奇数必为孪生素数，与首个“1”相邻除外。因其中奇数列无可倍素因子项。同理，49与9之间，凡孪生奇数对，只要同时不被“3”整除，必为孪生素数，因其间奇数列只有一个3的可倍因子项。同理，121与49之间，条件同上，只要孪生奇数列同时不被3，7二因子整除必为孪生素数。以此类推，可一直解证任意孪生素数。可想而知，当P，P+2值点达10 000以上，其拥有至少23個素因子，当P，P+2值点达一亿以上，其拥有至少1 227个素因子。随量值增长素因子也无穷尽地增长，请问，舍此条件，怎么建立一个所谓的尖端数学方法体系？