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一、教学设计
（一）教学背景
“探索规律”是人教版数学教材八年级上册第十五章“数学活动”的内容，它是在学生学习了“用字母表示数”和“图形的认识初步”等知识的基础上，把“图形”和“代数式”有机结合起来，是这两方面内容的深化和延伸，同时也是历年来广东省中考试题的必考题目，因此在教学上可以独立出来教学，在中考的复习中也是作为独立的复习内容进行复习。
本课在深澳中学初二（1）班（中学数学“情境—问题”实验班）和初二（2）班各上了一节，因班级的不同，所掌握知识面、知识结构的不同及是否参加情境教学实验各不相同，所以课后效果不尽相同。
（二）教学设计
本节课采用“情境——问题”教学模式，“活动一”是让学生观察图形，猜想梯形的个数与梯形的周长间的关系，并用代数式把它们表示出来，同时验证所列代数式的正确性。
“活动二”是提供一组算式，让学生根据算式中所提供的数字信息提出数学问题，在解答数学问题的过程中找出规律。
“活动三”是提供一个图形数据（此数表是2011年广东省初中毕业生学业考试的第20题，因为是初二的学生，对题目进行了小的改动），学生要对图形数据进行观察、猜想、分析，再根据教师的提问来发现问题，并解决问题。
这节课通过三个活动，以开放的课堂形式组织教学，让学生在数学情境中提出问题，再解决问题，并学会去运用，改变了过去接受式学习方式，学生不是等待知识的传递，而是积极主动地参与到学习活动中，成为学习的主体，通过操作、探索、研究，逐步培养学生处理信息、交流合作和解决问题的能力。
二、教学过程
（一）开门见山，引出课题
小学时我们学过的常见图形中就有梯形，今天我们利用梯形的相关知识进行数学的探索规律。（引出课题）
（二）合作交流，探索规律
活动一： 探索常见图形的规律
师：请大家观察图形，下列图形中梯形的周长随着梯形个数的增加，会有什么样的变化呢？（每位学生桌上都有一份梯形的实物框架、多媒体展示）
图
师：你有什么表现？
生：[初二（1）]：①第一个梯形的周长是多少？
②拼成的图形一定是平行四边形吗？
③可拼成哪些图形？
生：[初二（2）]：①拼成的图形是平行四边形吗？
②你这样问是什么意思？
③可拼成哪些图形？
师：拼出的梯形个数与梯形的周长有什么关系？
（通过多媒体展示拼出的梯形图形，引导学生对数量关系的分析与发现）
学生甲：一个梯形的周长为5a，拼成两个梯形的周长为8a，三个梯形的周长为11a，当n个梯形时，要减去（n-1）个2a，因此周长是5a×n-2a×（n-1）=（3a+2）a
学生乙：可以从5a，8a，11a，14a…这组数据的规律分析，得出是（3a+2）a
老师让学生讨论后，学生都能理解学生甲与学生乙都是正确的。然后引导学生概括“探索规律”的一般步骤：
①寻求数量关系
②用代数式表示规律
③验证规律
多媒体出示：
（2013烟台）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（ ）
A. 502 B. 503 C. 504 D. 505
考点： 规律型； 分析： 根据正方形的个数变化得出第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，求出即可， 解得：n=503.
活动二：探索数学算式的规律
师：观察下面这组算式，请你提出相关的数学问题：（多媒体展示）
算式1：15×15=1×2×100+25=225
算式2：25×25=2×3×100+25=625
算式3：35×35=3×4×100+25=1225
……
生[初二（1）班]：①它们之间有什么规律？
②它们的相同点、不同点分别是什么？
③如果是45×45，结果是2025，所有式子的结果后面两位数是25？
④式子的结果应该可以用某一个含字母的代数式表示。
生：[初二（2）]：①它们之间有什么规律？
②老师这样写是什么意思？
③它们的相同点、不同点分别是什么？
在教师的引导分析下，解决问题：“它们的相同点、不同点是什么？”及问题：“所有式子的结果后面两位数是25？”
再根据“探索规律”的一般步骤可找到这组算式的规律：
（10a+5）×（10a+5）=100a（a+1）+25
多媒体出示：
（2015广东中考）观察下列一组数： 、 、 、 、 …根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 .
教师在学生得出结果后，可引导学生根据“探索规律”的一般步骤可找到这组算式的规律：n/2n+1.
活动三：探索图形数据的规律
（多媒体展示）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，随着行数的增加数据会有何变化？第n行的数有哪些？ 能用代数式表示出来吗？
从上面的数表中，你观察到了什么？
生甲：我发现第二行数比第一行数左右多一个数。
生乙：应该是第二行数比第一行数共多两个数。
生丙：每个数之间相差是1。 （两个班的学生都能找出以上三个规律）
生：[初二（2）]：①第七行数是哪些？
②随着行数的增加，每一行数比前一行数应该多前后两个数。
③每行数之间的相同点、不同点分别是什么？
根据学生提出的问题，教师引导学生逐个解决：
（1）表中第8行的最后一个数是 64，它是自然数 8的平方，第8行共有15个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是n2-2n+2 ，最后一个数是n2，第n行共 （2n-1） 个数；
师：你能发现其中还有哪些规律吗？（下课铃声响）请同学们课后思考。
（3）求第n行各数之和 ×（2n-1）=（n2-n+1）（2n-1）.
小结：
其实在我们的生活中存在着很多的数学信息，今天我们就利用数学知识，发现了很多身边事物所存在的数学规律，希望同学们做生活的有心人，继续去探索发现生活中的数学规律。
作业：
观察生活，编一道探索数学规律的题目。
三、教学反思
（一）体现中小学教学“情境—问题”教学特点，凸显数学发现的基本规律
中小学数学“情境—问题”教学模式的基本思想是让学生通过对数学情境的观察与分析，形成并提出自己的数学问题，通过独立思考与合作交流来解决问题，进而把获得的知识与方法，应用到解决新的问题中去。通过这种教学过程来激发学生的内在学习动机，体验数学发现的过程，培养学生的数学创新意识与能力。在这节课中，通过三种不同背景的情境问题（梯形的周长问题、数学算式和图形数据问题）组织学生进行实验、观察、大胆提出问题，并且积极探索规律（猜想）培养学生合情推理（证实与反驳）的能力。这三个问题情境适合学生的生活背景和数学现实，而且是相当开放的，并有丰富的数学探索内涵。这样的数学情境，为开放式的数学探索提供了基本平台和丰富的资源。此外，课的最后，让学生去编制问题，带着问题离开课堂，将数学学习延伸到课外。整堂课展示了实验，观察，猜想，验证等数学活动过程，体现了数学新课的教学理念。
（二）数学探索的开放性与教师的适时介入
在教学过程中，教师通过提出开放性问题来引导学生积极思考，多角度分析，提出丰富的问题，这是十分必要的。但是，如果学生的思维过于发散，有时甚至偏离数学教学的目标，这样便会影响教学的有效组织以及有价值的数学问题的探究。所以，教师的适当介入不仅不会影响学生的自主学习也是进行探究式学习的所必须的，比如，在课的一开始，当教师布置了第一个探究活动，教师问学生“你有什么发现”，于是一位学生说了“第一个梯形的周长是5a”，另一个学生说了“拼成的图形是平行四边形”。教师进一步提问“随着拼出的梯形个数的增加，拼出的梯形个数与梯形的周长有什么关系”进一步，通过多媒体演示梯形个数增加的动态过程，以引导学生对数量关系的分析与发现。应该说，教师的这种适时介入与辅助是必须的。
（三）关注“数学化”过程
在初中阶段，学生还处在具体运算向符号运算发展的过程中，让学生体会：具体操作、形象操作、符号操作的转化过程是符合数学学习规律的。在教学过程中，教师充分体现了这一规律。比如，在“用梯形的框架进行观察”，然后，用多媒体展示随着梯形个数的增加的直观过程，最后，对梯形的个数与周长之间的数量关系进行探索：从具体数字的观察分析，到一般代数表达式的猜想与证实。这一过程体现数学概念形成或发现的基本规律。
（四）关注学生问题意识的培养
数学“情境—问题”的教学中，无论是引导学生探究或是教师的讲授，或引导学生提出问题进行讨论，都要不断激发、唤起学生的好奇心的质疑、批判意识。尤其是关注用学生提出的问题恰当引导思考、讨论与交流，以问题驱动教学，培养学生的问题意识，使学生在掌握适量的数学知识的同时，有提出问题与解决问题的能力。比如三个活动中，教师都设计了相应的问题，要学生在观察的过程中进行适当的提问，教师再针对学生的提问，引导学生对自己的猜想进行交流、分析，最后解决问题。
此外，通过本次课的教学我感到参加中小学“情境—问题”教学实验的班级由于受到过教学训练，对给出的数学情境更加敏感一些，所提出的问题更加贴近数学。
参考文献：
[1]义务教育课程标准实验教科书，数学八年级上册，2012.7
[2]吕传汉、汪秉彝，中小学数学情境与提出问题教学研究，贵州人民出版社，2006.4
[3]罗增儒，中学数学课例分析研究，陕西师范大学出版社，2003.2
[4]张广祥，数学中的问题按探究，华东师范大学出版社，2003.5
（一）教学背景
“探索规律”是人教版数学教材八年级上册第十五章“数学活动”的内容，它是在学生学习了“用字母表示数”和“图形的认识初步”等知识的基础上，把“图形”和“代数式”有机结合起来，是这两方面内容的深化和延伸，同时也是历年来广东省中考试题的必考题目，因此在教学上可以独立出来教学，在中考的复习中也是作为独立的复习内容进行复习。
本课在深澳中学初二（1）班（中学数学“情境—问题”实验班）和初二（2）班各上了一节，因班级的不同，所掌握知识面、知识结构的不同及是否参加情境教学实验各不相同，所以课后效果不尽相同。
（二）教学设计
本节课采用“情境——问题”教学模式，“活动一”是让学生观察图形，猜想梯形的个数与梯形的周长间的关系，并用代数式把它们表示出来，同时验证所列代数式的正确性。
“活动二”是提供一组算式，让学生根据算式中所提供的数字信息提出数学问题，在解答数学问题的过程中找出规律。
“活动三”是提供一个图形数据（此数表是2011年广东省初中毕业生学业考试的第20题，因为是初二的学生，对题目进行了小的改动），学生要对图形数据进行观察、猜想、分析，再根据教师的提问来发现问题，并解决问题。
这节课通过三个活动，以开放的课堂形式组织教学，让学生在数学情境中提出问题，再解决问题，并学会去运用，改变了过去接受式学习方式，学生不是等待知识的传递，而是积极主动地参与到学习活动中，成为学习的主体，通过操作、探索、研究，逐步培养学生处理信息、交流合作和解决问题的能力。
二、教学过程
（一）开门见山，引出课题
小学时我们学过的常见图形中就有梯形，今天我们利用梯形的相关知识进行数学的探索规律。（引出课题）
（二）合作交流，探索规律
活动一： 探索常见图形的规律
师：请大家观察图形，下列图形中梯形的周长随着梯形个数的增加，会有什么样的变化呢？（每位学生桌上都有一份梯形的实物框架、多媒体展示）
图
师：你有什么表现？
生：[初二（1）]：①第一个梯形的周长是多少？
②拼成的图形一定是平行四边形吗？
③可拼成哪些图形？
生：[初二（2）]：①拼成的图形是平行四边形吗？
②你这样问是什么意思？
③可拼成哪些图形？
师：拼出的梯形个数与梯形的周长有什么关系？
（通过多媒体展示拼出的梯形图形，引导学生对数量关系的分析与发现）
学生甲：一个梯形的周长为5a，拼成两个梯形的周长为8a，三个梯形的周长为11a，当n个梯形时，要减去（n-1）个2a，因此周长是5a×n-2a×（n-1）=（3a+2）a
学生乙：可以从5a，8a，11a，14a…这组数据的规律分析，得出是（3a+2）a
老师让学生讨论后，学生都能理解学生甲与学生乙都是正确的。然后引导学生概括“探索规律”的一般步骤：
①寻求数量关系
②用代数式表示规律
③验证规律
多媒体出示：
（2013烟台）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（ ）
A. 502 B. 503 C. 504 D. 505
考点： 规律型； 分析： 根据正方形的个数变化得出第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，求出即可， 解得：n=503.
活动二：探索数学算式的规律
师：观察下面这组算式，请你提出相关的数学问题：（多媒体展示）
算式1：15×15=1×2×100+25=225
算式2：25×25=2×3×100+25=625
算式3：35×35=3×4×100+25=1225
……
生[初二（1）班]：①它们之间有什么规律？
②它们的相同点、不同点分别是什么？
③如果是45×45，结果是2025，所有式子的结果后面两位数是25？
④式子的结果应该可以用某一个含字母的代数式表示。
生：[初二（2）]：①它们之间有什么规律？
②老师这样写是什么意思？
③它们的相同点、不同点分别是什么？
在教师的引导分析下，解决问题：“它们的相同点、不同点是什么？”及问题：“所有式子的结果后面两位数是25？”
再根据“探索规律”的一般步骤可找到这组算式的规律：
（10a+5）×（10a+5）=100a（a+1）+25
多媒体出示：
（2015广东中考）观察下列一组数： 、 、 、 、 …根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 .
教师在学生得出结果后，可引导学生根据“探索规律”的一般步骤可找到这组算式的规律：n/2n+1.
活动三：探索图形数据的规律
（多媒体展示）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，随着行数的增加数据会有何变化？第n行的数有哪些？ 能用代数式表示出来吗？
从上面的数表中，你观察到了什么？
生甲：我发现第二行数比第一行数左右多一个数。
生乙：应该是第二行数比第一行数共多两个数。
生丙：每个数之间相差是1。 （两个班的学生都能找出以上三个规律）
生：[初二（2）]：①第七行数是哪些？
②随着行数的增加，每一行数比前一行数应该多前后两个数。
③每行数之间的相同点、不同点分别是什么？
根据学生提出的问题，教师引导学生逐个解决：
（1）表中第8行的最后一个数是 64，它是自然数 8的平方，第8行共有15个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是n2-2n+2 ，最后一个数是n2，第n行共 （2n-1） 个数；
师：你能发现其中还有哪些规律吗？（下课铃声响）请同学们课后思考。
（3）求第n行各数之和 ×（2n-1）=（n2-n+1）（2n-1）.
小结：
其实在我们的生活中存在着很多的数学信息，今天我们就利用数学知识，发现了很多身边事物所存在的数学规律，希望同学们做生活的有心人，继续去探索发现生活中的数学规律。
作业：
观察生活，编一道探索数学规律的题目。
三、教学反思
（一）体现中小学教学“情境—问题”教学特点，凸显数学发现的基本规律
中小学数学“情境—问题”教学模式的基本思想是让学生通过对数学情境的观察与分析，形成并提出自己的数学问题，通过独立思考与合作交流来解决问题，进而把获得的知识与方法，应用到解决新的问题中去。通过这种教学过程来激发学生的内在学习动机，体验数学发现的过程，培养学生的数学创新意识与能力。在这节课中，通过三种不同背景的情境问题（梯形的周长问题、数学算式和图形数据问题）组织学生进行实验、观察、大胆提出问题，并且积极探索规律（猜想）培养学生合情推理（证实与反驳）的能力。这三个问题情境适合学生的生活背景和数学现实，而且是相当开放的，并有丰富的数学探索内涵。这样的数学情境，为开放式的数学探索提供了基本平台和丰富的资源。此外，课的最后，让学生去编制问题，带着问题离开课堂，将数学学习延伸到课外。整堂课展示了实验，观察，猜想，验证等数学活动过程，体现了数学新课的教学理念。
（二）数学探索的开放性与教师的适时介入
在教学过程中，教师通过提出开放性问题来引导学生积极思考，多角度分析，提出丰富的问题，这是十分必要的。但是，如果学生的思维过于发散，有时甚至偏离数学教学的目标，这样便会影响教学的有效组织以及有价值的数学问题的探究。所以，教师的适当介入不仅不会影响学生的自主学习也是进行探究式学习的所必须的，比如，在课的一开始，当教师布置了第一个探究活动，教师问学生“你有什么发现”，于是一位学生说了“第一个梯形的周长是5a”，另一个学生说了“拼成的图形是平行四边形”。教师进一步提问“随着拼出的梯形个数的增加，拼出的梯形个数与梯形的周长有什么关系”进一步，通过多媒体演示梯形个数增加的动态过程，以引导学生对数量关系的分析与发现。应该说，教师的这种适时介入与辅助是必须的。
（三）关注“数学化”过程
在初中阶段，学生还处在具体运算向符号运算发展的过程中，让学生体会：具体操作、形象操作、符号操作的转化过程是符合数学学习规律的。在教学过程中，教师充分体现了这一规律。比如，在“用梯形的框架进行观察”，然后，用多媒体展示随着梯形个数的增加的直观过程，最后，对梯形的个数与周长之间的数量关系进行探索：从具体数字的观察分析，到一般代数表达式的猜想与证实。这一过程体现数学概念形成或发现的基本规律。
（四）关注学生问题意识的培养
数学“情境—问题”的教学中，无论是引导学生探究或是教师的讲授，或引导学生提出问题进行讨论，都要不断激发、唤起学生的好奇心的质疑、批判意识。尤其是关注用学生提出的问题恰当引导思考、讨论与交流，以问题驱动教学，培养学生的问题意识，使学生在掌握适量的数学知识的同时，有提出问题与解决问题的能力。比如三个活动中，教师都设计了相应的问题，要学生在观察的过程中进行适当的提问，教师再针对学生的提问，引导学生对自己的猜想进行交流、分析，最后解决问题。
此外，通过本次课的教学我感到参加中小学“情境—问题”教学实验的班级由于受到过教学训练，对给出的数学情境更加敏感一些，所提出的问题更加贴近数学。
参考文献：
[1]义务教育课程标准实验教科书，数学八年级上册，2012.7
[2]吕传汉、汪秉彝，中小学数学情境与提出问题教学研究，贵州人民出版社，2006.4
[3]罗增儒，中学数学课例分析研究，陕西师范大学出版社，2003.2
[4]张广祥，数学中的问题按探究，华东师范大学出版社，2003.5