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数学课堂教学研究一直是国内外数学教育改革的焦点之一。2011年12月28日，教育部印发了义务教育语文等学科19个课程标准（2011年版），此次修订主要体现德育为先、能力为重、创新方法、力求减负、审慎设计等特点。那么，高中数学课堂教育如何为培养学生的创新能力贡献力量？适逢安庆市教研室举办全市高中数学教学研讨会，以切实推进课堂教学模式的转变，安排我提供一节研讨课，以作会议交流素材。依此素材，小议一点感受，请方家指正！
1 教学实录（限于篇幅，有删减）
老师：同学们，上一节课我们针对教材的“探究”（如图2.3-16，当=λ时，点P的坐标是什么？）作了学习，还记得有何探究成果吗？（学生回故：①点P的坐标，②点P与λ的取值一一对应）
老师：知识的生成与发展是无界限的。对于此“探究”， 能否改变探究的方向，从而收获新的发现？这就是今天我们这节课的主题：平面内三点共线的探究。图2.3-16
老师：已知，不共线，若=λ，以、为基底，的分解式是什么？与的系数之间有什么关系？若=t+（1-t）（t∈R），则三点P1、P、P2的位置关系如何？（学生独立思考并解决，互相交流以统一认识）
结论：已知，不共线。那么三点P1、P、P2共线？圳=t+（1-t），（t∈R）。
老师：同学们，点P的位置与t的取值之间有什么关系？
学生：①t>1，点P在线段P2P1的延长线上；②t=1，点P即点P1；③0 例1：如图-1，在△OAB的边OA、OB上分别取点E、F，使=，=，连结BE、AF交于点G。设=，=试用、表示。
学生：设=λ+（1-λ）（）=u（）+（1-u），
则，λ=u（1-λ）=1-u
图-1
解得λ=u=。故=+。
例2：如图-2，设△ABC外心为O，取点M，若++=。重心为G，连结AG交BC于D。求证：①点M是△ABC的垂心；②△ABC的外心O、重心G、垂心M在一直线上。（经过例1的预热，应用结论的意识逐渐活跃）
学生：①因为+=-，所以2=，即∥。点O为外心可得=，故⊥，即⊥。同理可证⊥，⊥。所以点M是△ABC的垂心。 图-2
②==（+）=+×=+。由结论可知：三点O、G、M共线。（学生鼓掌叫好，进入兴奋状态）
学生：对于②也可这样证明：因为=+=（++）=，所以由平面向量共线定理可知：三点O、G、M共线。
老师：非常好！还有不一样的证法吗？（无人回答），那么大家对探究结论有何评价？
学生：“结论”是平面向量“共线定理”的另一种优美的表达形式；另一层面，亦可理解为平面向量基本定理的应用，从而让我们在证明三点共线时，脱离平面向量共线定理的定势思维束缚。（学生总结，老师引领，提炼关键词）
例3：（2006年·湖南）
①（文·10）如图-3，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且=x+y，则实数对（x，y）可以是（ ）；
A.（，） B.（-，）
C.（-，） D.（-，）
②（理·15）如图-3，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且=x+y，则x的取值范围是____；当x=-时，y的取值范围是____。
学生：延长线段OP交AB的延长线于点P′，则=λ，λ∈（0，1）。由三点A、B、 P′共线，得=t+（1-t），图-3
t<0，所以=λt+λ（1-t）=x+y，可得x=λt，y=λ-λt，即x+y=λ。因此可得：①C；②x<0，y∈（，）。（老师引导添加辅助线以产生三点共线。学生鼓掌叫好，显然感到十分奇妙）
拓展1：已知，不共线。若点P′不在直线P1P2上，此时如何应用平面向量，表达？延长OP'交直线P1P2于点P，则=t+（1-t），t∈M；那么=λ，λ∈D。（师生共同总结，寻求拓展结论）
老师：“结论”是平面向量共线定理表达形式的变化，那么它是否可以再作适当变形？
拓展2：已知，不共线，常数a、b、c不全为0，则三点P1、P、P2共线？圳a+b+c=且a+b+c=0。（学生互相合作，形成拓展结论）
老师：这样，我们有必要重新审视例3，那么解答过程可否作出简化？
学生：延长线段OP交AB的延长线于点P′，则=λ=x+y，λ∈（0，1）。那么x+y=λ。故：①C；②x<0，y∈（，）。（学生长时间鼓掌，显得非常兴奋）
老师：非常好！如果说智慧是创新的源泉，那么思考便是智慧的起点！（学生热烈鼓掌）通过今天这节课的学习，你有什么收获？（老师带领学生加以总结）
老师：布置作业，宣布下课。课后作业：①已知△ABC中，D、E分别是AC，AB的中点，延长BD至F使DF=BD，延长CE至G使EG=CE，求证F、A、G共线。②学习完本节课以后，你有何感受？写一篇学习札记。
2 回顾与感触
2.1 探究教学在渐进的知识呈现过程中布疑设局，立刻引起学生的兴趣与好奇，从而积极的思考，快乐地学习。中南大学刘路老师告诉记者，“我认为最好的学习方法是兴趣，只要有兴趣，就能迎难而上。”因此，兴趣是最好的老师，它可以培育学生淡定和坚毅的品格。张九龄诗曰：“兰叶春葳蕤，桂华秋皎洁。欣欣此生意，自尔为佳节。”是说人达有时，花开有季。探究教学就是培养学生的兴趣，避免强迫的灌输，追求自然和人事的和谐，着眼于可持续发展，为终身的创新和实践奠定坚实的基础。
2.2 探究教学易于确立学生的主体地位，培养自主学习的习惯，激发其创新的意识。诚如一位学生在札记中所言：“最令我印象深刻的是这堂课处处体现的探究精神，这种精神是不满于浅显的进取精神，是探幽入微的科学精神，更是一种勤于思考的思维习惯，当我们思考，探究出一个问题的答案，我们就会感到无穷的快乐，这是发自内心对知识的向往和追求”！ 2.3 探究教学让课堂氛围很温暖，易于激发学生的热情。李昭平先生（太湖中学副校长、特级教师）点评中的一句话让我记忆犹新：课堂需要温度。是的，温度应是和谐课堂的一个要素，教师释疑的激情洋溢，学生提出疑惑的顺理成章，解决问题后发自内心的微笑，渐入佳境后的心旷神怡，收获成功后的信心满怀，都将显得顺理成章！课堂需要温度，学生快乐地学习，享受着学习，这必然促其心智成长。
3 困惑与思考
3.1 课题从何而来？孙彦先生（安庆市教研室主任、特级教师）认为，“研究性学习的课题应立足于课堂教学，而不仅仅在于学科外的社会实践活动中；高中阶段并非每一节数学课都要实施探究教学，但是每学期至少应该安排几次较为完整的数学探究”。这样，教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，为指导学生进行数学探究作好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源。
3.2 探究教学要设计合理，发生自然，当教学设计与学生的思考方向偏离时，教学是照本宣科，还是抛弃原来的设计，回到学生的思考轨道上来呢？学生的学习札记中谈及本课的学习感受丰富多彩，但是，有四位同学表示，虽然此次公开课自己很认真去听，去思考，老师也讲得很好，但当时真的没听懂，后来在课下独自啃了一个小时才收为己有。何故？储炳南先生（岳西中学教研室副主任，特级教师）的点评恰好回答了我的疑惑。知识的呈现应该更好地遵循学生的认知规律，问题设计的坡度还应趋于平缓，以利于思维的和谐过度。而且，当结论（已知，不共线，若=x+y，x+y=1则三点P1、P、P2共线。）出现以后，此处若预留时间，学生肯定会有疑问：x+y>1（<1）时，三点P1、P、P2的位置关系如何？这样下去势必破坏教师已备课程的完整性，但一个问题的多角度研究和剖析，势必带来意外的收获，它依然是一堂发人深省的优质研讨课，可是，这对老师提出了非常高的要求！
3.3 探究教学如何处理教师的引导和学生的探索？克林伯格（Klingberg，L.）指出，“对话是优秀教学的一种本质性标识” 。新课程倡导教师与学生的“对话”，而探究课型无疑是一种优秀的模式。因此要教给学生的是探究的过程而不只是结论；引领学生初步了解概念和结论产生的过程；初步理解直观和严谨的关系；体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神。多一些鼓励而非责备，适度引导而非挫伤其积极性，从而培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。
1 教学实录（限于篇幅，有删减）
老师：同学们，上一节课我们针对教材的“探究”（如图2.3-16，当=λ时，点P的坐标是什么？）作了学习，还记得有何探究成果吗？（学生回故：①点P的坐标，②点P与λ的取值一一对应）
老师：知识的生成与发展是无界限的。对于此“探究”， 能否改变探究的方向，从而收获新的发现？这就是今天我们这节课的主题：平面内三点共线的探究。图2.3-16
老师：已知，不共线，若=λ，以、为基底，的分解式是什么？与的系数之间有什么关系？若=t+（1-t）（t∈R），则三点P1、P、P2的位置关系如何？（学生独立思考并解决，互相交流以统一认识）
结论：已知，不共线。那么三点P1、P、P2共线？圳=t+（1-t），（t∈R）。
老师：同学们，点P的位置与t的取值之间有什么关系？
学生：①t>1，点P在线段P2P1的延长线上；②t=1，点P即点P1；③0
学生：设=λ+（1-λ）（）=u（）+（1-u），
则，λ=u（1-λ）=1-u
图-1
解得λ=u=。故=+。
例2：如图-2，设△ABC外心为O，取点M，若++=。重心为G，连结AG交BC于D。求证：①点M是△ABC的垂心；②△ABC的外心O、重心G、垂心M在一直线上。（经过例1的预热，应用结论的意识逐渐活跃）
学生：①因为+=-，所以2=，即∥。点O为外心可得=，故⊥，即⊥。同理可证⊥，⊥。所以点M是△ABC的垂心。 图-2
②==（+）=+×=+。由结论可知：三点O、G、M共线。（学生鼓掌叫好，进入兴奋状态）
学生：对于②也可这样证明：因为=+=（++）=，所以由平面向量共线定理可知：三点O、G、M共线。
老师：非常好！还有不一样的证法吗？（无人回答），那么大家对探究结论有何评价？
学生：“结论”是平面向量“共线定理”的另一种优美的表达形式；另一层面，亦可理解为平面向量基本定理的应用，从而让我们在证明三点共线时，脱离平面向量共线定理的定势思维束缚。（学生总结，老师引领，提炼关键词）
例3：（2006年·湖南）
①（文·10）如图-3，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且=x+y，则实数对（x，y）可以是（ ）；
A.（，） B.（-，）
C.（-，） D.（-，）
②（理·15）如图-3，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且=x+y，则x的取值范围是____；当x=-时，y的取值范围是____。
学生：延长线段OP交AB的延长线于点P′，则=λ，λ∈（0，1）。由三点A、B、 P′共线，得=t+（1-t），图-3
t<0，所以=λt+λ（1-t）=x+y，可得x=λt，y=λ-λt，即x+y=λ。因此可得：①C；②x<0，y∈（，）。（老师引导添加辅助线以产生三点共线。学生鼓掌叫好，显然感到十分奇妙）
拓展1：已知，不共线。若点P′不在直线P1P2上，此时如何应用平面向量，表达？延长OP'交直线P1P2于点P，则=t+（1-t），t∈M；那么=λ，λ∈D。（师生共同总结，寻求拓展结论）
老师：“结论”是平面向量共线定理表达形式的变化，那么它是否可以再作适当变形？
拓展2：已知，不共线，常数a、b、c不全为0，则三点P1、P、P2共线？圳a+b+c=且a+b+c=0。（学生互相合作，形成拓展结论）
老师：这样，我们有必要重新审视例3，那么解答过程可否作出简化？
学生：延长线段OP交AB的延长线于点P′，则=λ=x+y，λ∈（0，1）。那么x+y=λ。故：①C；②x<0，y∈（，）。（学生长时间鼓掌，显得非常兴奋）
老师：非常好！如果说智慧是创新的源泉，那么思考便是智慧的起点！（学生热烈鼓掌）通过今天这节课的学习，你有什么收获？（老师带领学生加以总结）
老师：布置作业，宣布下课。课后作业：①已知△ABC中，D、E分别是AC，AB的中点，延长BD至F使DF=BD，延长CE至G使EG=CE，求证F、A、G共线。②学习完本节课以后，你有何感受？写一篇学习札记。
2 回顾与感触
2.1 探究教学在渐进的知识呈现过程中布疑设局，立刻引起学生的兴趣与好奇，从而积极的思考，快乐地学习。中南大学刘路老师告诉记者，“我认为最好的学习方法是兴趣，只要有兴趣，就能迎难而上。”因此，兴趣是最好的老师，它可以培育学生淡定和坚毅的品格。张九龄诗曰：“兰叶春葳蕤，桂华秋皎洁。欣欣此生意，自尔为佳节。”是说人达有时，花开有季。探究教学就是培养学生的兴趣，避免强迫的灌输，追求自然和人事的和谐，着眼于可持续发展，为终身的创新和实践奠定坚实的基础。
2.2 探究教学易于确立学生的主体地位，培养自主学习的习惯，激发其创新的意识。诚如一位学生在札记中所言：“最令我印象深刻的是这堂课处处体现的探究精神，这种精神是不满于浅显的进取精神，是探幽入微的科学精神，更是一种勤于思考的思维习惯，当我们思考，探究出一个问题的答案，我们就会感到无穷的快乐，这是发自内心对知识的向往和追求”！ 2.3 探究教学让课堂氛围很温暖，易于激发学生的热情。李昭平先生（太湖中学副校长、特级教师）点评中的一句话让我记忆犹新：课堂需要温度。是的，温度应是和谐课堂的一个要素，教师释疑的激情洋溢，学生提出疑惑的顺理成章，解决问题后发自内心的微笑，渐入佳境后的心旷神怡，收获成功后的信心满怀，都将显得顺理成章！课堂需要温度，学生快乐地学习，享受着学习，这必然促其心智成长。
3 困惑与思考
3.1 课题从何而来？孙彦先生（安庆市教研室主任、特级教师）认为，“研究性学习的课题应立足于课堂教学，而不仅仅在于学科外的社会实践活动中；高中阶段并非每一节数学课都要实施探究教学，但是每学期至少应该安排几次较为完整的数学探究”。这样，教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，为指导学生进行数学探究作好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源。
3.2 探究教学要设计合理，发生自然，当教学设计与学生的思考方向偏离时，教学是照本宣科，还是抛弃原来的设计，回到学生的思考轨道上来呢？学生的学习札记中谈及本课的学习感受丰富多彩，但是，有四位同学表示，虽然此次公开课自己很认真去听，去思考，老师也讲得很好，但当时真的没听懂，后来在课下独自啃了一个小时才收为己有。何故？储炳南先生（岳西中学教研室副主任，特级教师）的点评恰好回答了我的疑惑。知识的呈现应该更好地遵循学生的认知规律，问题设计的坡度还应趋于平缓，以利于思维的和谐过度。而且，当结论（已知，不共线，若=x+y，x+y=1则三点P1、P、P2共线。）出现以后，此处若预留时间，学生肯定会有疑问：x+y>1（<1）时，三点P1、P、P2的位置关系如何？这样下去势必破坏教师已备课程的完整性，但一个问题的多角度研究和剖析，势必带来意外的收获，它依然是一堂发人深省的优质研讨课，可是，这对老师提出了非常高的要求！
3.3 探究教学如何处理教师的引导和学生的探索？克林伯格（Klingberg，L.）指出，“对话是优秀教学的一种本质性标识” 。新课程倡导教师与学生的“对话”，而探究课型无疑是一种优秀的模式。因此要教给学生的是探究的过程而不只是结论；引领学生初步了解概念和结论产生的过程；初步理解直观和严谨的关系；体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神。多一些鼓励而非责备，适度引导而非挫伤其积极性，从而培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。