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摘要:学生学习数学出现的错误一直是数学老师比较关注的问题。其实,我们(学生和教师)每一个人都会在数学学习过程中会犯不同程度的错误,因此,学生在数学学习中出现错误是非常自然的现象,如何利用错误来培养学生的学习能力,是我们老师应该关注的。
关键词:错误;发展;能力
一、点评错误,提高学生分析能力
例已知关于x的一元二次方程a2x2 3ax-4=0求证:方程总有两个不相等的实数根;
错误解法:
解:根据题意,得
b2-4ac=9a2 16a2=25a2
∵25a2≥0
∴b2-4ac≥0
即方程总有两个不相等的实数根
正确解法:
解:根据题意,得
b2-4ac=9a2 16a2=25a2
∵一元二次方程
∴a2≠0即a≠0
∴25a2>0
即b2-4ac>0
∴方程总有两个不相等的实数根
思考:这两道题看似相似,但很多学生容易出现例2错误的解答过程,而且不知问题出在哪?所以在讲解时,我让学生点评,学生通过对例1、例2进行辨析,学生可以加深对一元二次方程的理解。通过分析其他同学错误的原因,理解并掌握考查的知识点,纠正自己的错误,从而总结出此类问题的解题方法和技巧。
二、变式易错题,提高学生思维发散性
变式教学使一题多用,给学生以新鲜感,能唤起学生的好奇心和求知欲。在教学过程中,根据学生的特点,教师通过创设合理的、有挑战性的变式训练,激发学生的学习兴趣。对于每一个变式,通过在师生、学生之间的相互讨论,促进学生思维发散。
例1已知关于x的方程x2-(k 3)x 3k=0.求证:无论k取何实数,该方程总有实数根.
解:根据题意,得
b2-4ac=k2 6k 9-12k=(k-3)2
∵(k-3)2≥0
∴b2-4ac≥0
即方程总有实数根
变式已知关于x的方程(k-1)x2 2kx 2=0.求证:无论k为何值,方程总有实数根.
错误解法:
解:根據题意,得
b2-4ac=4k2-8k 8=(2k-2)2 4
∵(2k-2)2 4>0
∴b2-4ac>0
即无论k为何值,方程总有实数根.
正确解法:
解:当k=1时,原方程可化为2x 2=0,解得:x=-1,此时该方程有实根;
当k≠1时,方程是一元二次方程,有:
b2-4ac=4k2-8k 8=(2k-2)2 4
∵(2k-2)2 4>0
∴b2-4ac>0
即方程有两个不相等的实数根
∴无论k为何值,方程总有实数根.
思考:这道变式题,很多学生容易陷入例2的解法,没有意识到例2的方程指的是一元二次方程,而变式题的方程可能是一元一次方程,也有可能是一元二次方程;由思维的不严谨所产生的错误在学生中非常常见。比如需要分类讨论的题目往往是学生学习的难点问题。而分类讨论思想也是初中数学常见的,体现学生思维严谨性的数学思想方法,要求学生掌握和应用。分类讨论是根据研究对象性质的差异,分别对各种情况予以考查,这也是学生容易出错的地方,其主要原因是对所讨论变量的取值范围分类不明确。分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法;同时还可以培养我们的洞察能力和全面思考问题的能力。因此通过选择典型问题进行变式训练,力争覆盖此类问题的各种类型,有利于学生构建合理、完整的新知识。
例2已知一次函数y=(m-1)x m 3经过第一二四象限,则m的取值范围.
解:根据题意,得
m-1<0m 3>0
解得-3 变式已知一次函数y=(m-1)x m 3不经过第三象限,则m的取值范围.
错误解法:
解:根据题意,得
m-1<0m 3>0
解得-3 正确解法:
解:根据题意,得
m-1<0m 3≥0
解得-3≤m<1
思考:一次函数不经过第三象限,有些学生容易错误理解成就是经过第一二四象限,在解题时,学生对已经接受的知识、解题方法等内容,往往在心目中有比较深刻的印象,常常思维定势,先对问题进行模式辨认,当在解决相似的新问题时,具有试图把新的问题纳入到已建立的模式中加以解决,如此就造成了“先入为主”的思维惰性。这些固然对新知识的建构是很好的经验,但也会限制学生对问题作出更加深入细致的探讨,从而产生思维定势。
总之,万事开头难,在建立错题资源的初期是一个非常痛苦的阶段,一定要长期持久的投入,贵在坚持,因为错题资源重要的是平时的积累与反思。错题资源能改变学生对错误的态度,对待错题的态度是减少做错的关键,可以说一本万利;俗话说:失败乃是成功之母。因为错误才能使认清自己的不足,并且可以优化已有知识结构。
(作者单位:广东省惠州市惠阳区新圩中学516223)
关键词:错误;发展;能力
一、点评错误,提高学生分析能力
例已知关于x的一元二次方程a2x2 3ax-4=0求证:方程总有两个不相等的实数根;
错误解法:
解:根据题意,得
b2-4ac=9a2 16a2=25a2
∵25a2≥0
∴b2-4ac≥0
即方程总有两个不相等的实数根
正确解法:
解:根据题意,得
b2-4ac=9a2 16a2=25a2
∵一元二次方程
∴a2≠0即a≠0
∴25a2>0
即b2-4ac>0
∴方程总有两个不相等的实数根
思考:这两道题看似相似,但很多学生容易出现例2错误的解答过程,而且不知问题出在哪?所以在讲解时,我让学生点评,学生通过对例1、例2进行辨析,学生可以加深对一元二次方程的理解。通过分析其他同学错误的原因,理解并掌握考查的知识点,纠正自己的错误,从而总结出此类问题的解题方法和技巧。
二、变式易错题,提高学生思维发散性
变式教学使一题多用,给学生以新鲜感,能唤起学生的好奇心和求知欲。在教学过程中,根据学生的特点,教师通过创设合理的、有挑战性的变式训练,激发学生的学习兴趣。对于每一个变式,通过在师生、学生之间的相互讨论,促进学生思维发散。
例1已知关于x的方程x2-(k 3)x 3k=0.求证:无论k取何实数,该方程总有实数根.
解:根据题意,得
b2-4ac=k2 6k 9-12k=(k-3)2
∵(k-3)2≥0
∴b2-4ac≥0
即方程总有实数根
变式已知关于x的方程(k-1)x2 2kx 2=0.求证:无论k为何值,方程总有实数根.
错误解法:
解:根據题意,得
b2-4ac=4k2-8k 8=(2k-2)2 4
∵(2k-2)2 4>0
∴b2-4ac>0
即无论k为何值,方程总有实数根.
正确解法:
解:当k=1时,原方程可化为2x 2=0,解得:x=-1,此时该方程有实根;
当k≠1时,方程是一元二次方程,有:
b2-4ac=4k2-8k 8=(2k-2)2 4
∵(2k-2)2 4>0
∴b2-4ac>0
即方程有两个不相等的实数根
∴无论k为何值,方程总有实数根.
思考:这道变式题,很多学生容易陷入例2的解法,没有意识到例2的方程指的是一元二次方程,而变式题的方程可能是一元一次方程,也有可能是一元二次方程;由思维的不严谨所产生的错误在学生中非常常见。比如需要分类讨论的题目往往是学生学习的难点问题。而分类讨论思想也是初中数学常见的,体现学生思维严谨性的数学思想方法,要求学生掌握和应用。分类讨论是根据研究对象性质的差异,分别对各种情况予以考查,这也是学生容易出错的地方,其主要原因是对所讨论变量的取值范围分类不明确。分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法;同时还可以培养我们的洞察能力和全面思考问题的能力。因此通过选择典型问题进行变式训练,力争覆盖此类问题的各种类型,有利于学生构建合理、完整的新知识。
例2已知一次函数y=(m-1)x m 3经过第一二四象限,则m的取值范围.
解:根据题意,得
m-1<0m 3>0
解得-3
错误解法:
解:根据题意,得
m-1<0m 3>0
解得-3
解:根据题意,得
m-1<0m 3≥0
解得-3≤m<1
思考:一次函数不经过第三象限,有些学生容易错误理解成就是经过第一二四象限,在解题时,学生对已经接受的知识、解题方法等内容,往往在心目中有比较深刻的印象,常常思维定势,先对问题进行模式辨认,当在解决相似的新问题时,具有试图把新的问题纳入到已建立的模式中加以解决,如此就造成了“先入为主”的思维惰性。这些固然对新知识的建构是很好的经验,但也会限制学生对问题作出更加深入细致的探讨,从而产生思维定势。
总之,万事开头难,在建立错题资源的初期是一个非常痛苦的阶段,一定要长期持久的投入,贵在坚持,因为错题资源重要的是平时的积累与反思。错题资源能改变学生对错误的态度,对待错题的态度是减少做错的关键,可以说一本万利;俗话说:失败乃是成功之母。因为错误才能使认清自己的不足,并且可以优化已有知识结构。
(作者单位:广东省惠州市惠阳区新圩中学516223)