摘 要：本文分析了现有GM(1，1)模型存在的不足，提出了用高精度的五点插值求导公式求取GM(1，1)模型中的微分的方法，并应用本文所提出的方法对我国人均钢产量进行建模，结果表明本文所提出的建模方法是有效的，其模型精度高于传统GM(1，1)模型的精度。
　　关键词 数值微分，灰色模型，组合建模
　　
　　1、前言
　　
　　灰色系统理论自1982年问世以来，研究工作取得了很大的进展，已成功地应用于很多领域。GM(1，1)模型因其计算简便、实用广泛而在灰色预测中占有重要地位，是应用最早也是迄今为止应用最为广泛的灰色模型。理论分析和实际应用表明，传统的GM(1，1)模型参数的最小二乘法求解结果只对平稳的原始数据序列的拟合精度和预测精度较高；对非平稳的原始数据序列的拟合精度和预测精度往往很低，而实际中碰到的数据序列大多是非平稳序列，因此GM(1，1)模型的应用有一定的局限性。文献对影响GM(1，1)模型的精度原因进行了分析，认为模型的背景值构造方法是影响其精度的一个重要原因，文献认为模型公式中的初值选取也是影响其精度的一个原因。
　　作者认为在求取GM(1，1)模型白化微分方程中的参数时，微分的近似方法也是影响其精度的一个重要因素。基于此，提出了用高精度的五点插值求导公式求取模型中的微分，并用本文提出方法对我国人均钢产量进行建模，结果表明本文提出方法的有效性。
　　2、基于五点插值求导公式的灰色GM(1，1)改进模型的建模机理
　　2．1 插值
　　


　　


　　2．2五点插值求导公式
　　设已给出五个节点xⁱ=x^o+ih，其中i=0，1，2，3，4。作四次插值得
　　


　　(4)式两端对t求导，有
　　


　　取t=4，求出x⁴。点处的五点插值求导公式：
　　


　　2．3基于五点插值求导公式的灰色GM(1，1)改进模型
　　设原始非负数据序列为：
　　


　　3、应用实例
　　
　　钢铁工业是一个国家的基础产业，人均钢产量反映了一个国家的现代化水平，对于一个国家具有重要的战略意义。现用本文提出的方法建立1981－1997我国的人均钢产量数学模型，并预测我国1998－2000年的人均钢产量。建模原始数据摘自(《中国统计年鉴－2001》)。
　　按本文方法建立的我国人均钢产量的灰色GM(1，1)模型为：
　　


　　从表可知，本文提出的基于数值微分的GM(1，1)建模方法具有较高的模型精度，相对误差绝大多数都低于5％。将所建模型进行后验差检验，本文所提出建模方法，其方差比为c1=0.0952(c=S¹/S⁰，S¹为残差的均方差，S⁰为原始数列的均方差)，而用文献方差比为c2=0.1210；小误差概率均p=P{|e₍₀₎(i)-e₍₀₎|<0.6745S0}=1。可知本文所提出的建模方法是有效的，
　　
　　4、结语
　　
　　本文分析了现有GM(1，1)模型存在的不足，提出了用高精度的五点插值求导公式求取GM(1，1)模型中的微分的方法，并应用本文所提出的方法对我国人均钢产量进行建模，结果表明的提出的建模方法是有效的，其模型精度高于传统GM(1，1)模型的精度。
　　
　　作者单位 浙江理工大学自动化系杭州