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【摘要】本文主要讨论了一类带有不确定时滞和不确定参数的奇异系统的鲁棒控制问题。利用LMI方法给出了使系统具有鲁棒性质的状态反馈控制律,并保证闭环系统的内部稳定性。
【关键词】奇异系统 状态反馈 时滞 LMI方法 Schur补引理 鲁棒镇定
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)11(a)-0167-03
鲁棒控制问题是当今控制理论的一个研究热点,它是针对控制系统中的不确定性而提出来的。所谓鲁棒控制,是指受控系统存在内部不确定性和(或)外部干扰的情况下,设计静态或动态的反馈控制器,使闭环系统满足预定的某项或某几项性能指标。奇异系统较正常系统的特殊性,许多学者对奇异系统产生了兴趣,对奇异系统的正则性进行扩展[1-4].奇异系统的稳定性和镇定性在[5]中有所研究,[6]研究了一类奇异时滞系统的鲁棒控制问题。本文是在[6]基础上对奇异时滞系统进一步进行了探讨。
1 问题的提出及预备知识
考虑带有状态时滞、输入时滞和不确定参数的线性奇异系统如下:
(1)
(2)
其中,是状态,是控制输入。矩阵一般是奇异的,即
是维数匹配的已知实常矩阵,时变延迟满足
(3)
不确定实参数矩阵是时不变的,且假定具有下列形式
(4)
其中,是维数匹配的已知实常数矩阵,不确定实矩阵满足
(5)
是R中的紧集,进一步说,对任意给定矩阵总使得成立。我们称是容许的,如果它们满足(4)和(5)
本文的目的是设计一个线性连续时间状态反馈律
(6)
这里,反馈增益是常矩阵。
使得不确定奇异时滞系统是鲁棒镇定的。
我们将(6)式代入时滞系统(1),得到闭环系统为
(7)
称系统
(8)
为奇异时滞系统(7)的标称系统(即)。
定义 1[1][6][7][8]:
1)称为正则的,如果使得
2)是无脉冲的,如果
奇异时滞系统(8)可能有脉冲解,然而,的正则性和无脉冲性保证奇异时滞系统(8)的解是无脉冲的,并且,存在且唯一。
引理1[1][6]:假定是正则和无脉冲的,那么奇异时滞系统(8)的解是无脉冲的,并且,存在且唯一。
我们首先介绍有关奇异时滞系统(8)的下列定义。
定义2:
1)奇异时滞系统(8)称为正则的、无脉冲的,如果是正则的、无脉冲的;
2)奇异时滞系统(8)称为稳定的,如果对当时,奇异时滞系统(8)的解x(t)满足进而,
依这个概念,我们引出不确定奇异时滞系统的鲁棒稳定和鲁棒镇定的概念。
定义3:不确定奇异时滞系统称为鲁棒稳定的,对所有的容许来说,如果时,是正则的、无脉冲的和稳定的。
定义4:不确定奇异时滞系统称为鲁棒镇定的,对所有的容许来说,如果使得(7)是鲁棒稳定的。此时,称为鲁棒状态反馈控制律。
定义(3),定义(4)是依给出的。
这个部分主要运用LMI方法和类似Lyapunov定理,来分析系统的鲁棒稳定、鲁棒镇定性。
2 主要结果
定理1:[6.lemma2]:奇异时滞系统(8)是正则的、无脉冲的、稳定的,如果存在矩阵和矩阵P满足
(9)
(10)
其中,
引理2[9]奇异系统
(11)
是正则的、无脉冲的和稳定的当且仅当存在P满足
其中,
定义5:不确定奇异时滞系统称为广义二次稳定的,如果对所有容许的均存在满足
(12)
(13)
定义6:不确定奇异时滞系统称为广义二次镇定的,如果对所有容许的
均存在线性状态反馈律
满足
(14)
(15)
其中
(16)
下面一个引理表明广义二次稳定和广义二次镇定分别暗含着鲁棒稳定和鲁棒镇定。
引理3:考虑不确定奇异时滞系统,如果它是广义二次稳定的,那么它是鲁棒稳定的;如果它是广义二次鲁棒镇定的,那么它是鲁棒镇定的。
这个引理可由定理1直接证出。
我们欲得到不确定奇异时滞系统的广义二次稳定和广义二次镇定的充分必要条件,首先看下面的引理。
引理4[10]:给定维数匹配的矩阵且是对称的,那么对所有满足(5)的,有
当且仅当满足
为简便起见,我们令满足下面给出不确定奇异时滞系统的广义二次稳定的充分必要条件。
定理2:不确定奇异时滞系统是广义二次稳定的当且仅当
和Y满足LMI(17)如下
这里,
证明:(充分性)假设
满足(17)令容易证明
(18)
注意到,对任意满足(5)的有
因此
(之所以最后一个式子小于零,是因为(17),Schur补引理)
即
利用Schur补引理,即可化为
这个不等式和(18)分别是定义5中的(13)和(12)因此,不确定奇异时滞系统是广义二次稳定的。
(必要性)假定不确定奇异时滞系统是广义二次稳定的。依定义5,满足(12),(13)对所有满足(4),(5)的来说,由(13),Schur补引理,有
即
由引理4,满足
利用Schur补引理,有
由引理2,(19)暗含着(E,A)是正则的、无脉冲的。因此[7]存在可逆矩阵满足
其中是单位阵,
令那么由定理1的证明,我们取
其中
另一方面,从存在可逆矩阵满足
因此
其中,
最后,由于将代替(19)中的P即可。
定理3:不确定奇异时滞系统是广义二次镇定的当且仅当
满足(23)
(23)
其中
可逆。
鲁棒镇定状态反馈控制律
(24)
证明:依定义6,系统是广义二次镇定,当且仅当满足闭环系统
是二次稳定的。这里
不确定结构为
由定理2,对系统(25)来说,是广义二次镇定的当且仅当,
和Y满足LMI(26)
其中
定义易看出LMI(26)即为定理3中的(23)必要性得证。
现证充分性,不失一般性,我们假定是可逆的。否则,选择充分小的使得也满足(23).考虑前面我们提到的,可知是广义二次镇定的。
评注:定理3提供了二次镇定的充要条件,对不确定的奇异时滞系统来说,所要求鲁棒镇定状态反馈,可由严格(23)得出。值得指出的是严格LMI(23)是用系统矩阵表达的。
3 结论
本文研究了一类带有参数的不确定奇异时滞系统的鲁棒镇定问题。借助于广义二次稳定的概念,这个问题得到解决。获得了系统广义二次稳定的充要条件,并给出了保证闭环系统正则、无脉冲且稳定的状态反馈控制律的设计方法。而满足要求的控制器只需求解LMI即可得到,具有设计简单的特点。
参考文献
[1] L. Dai, Singular Control Systems. Berlin Germany: Springer-Verlag, 1989.
[2] Q. L. Zhang,”Lyapunov criteria for the structral stability in descriptor systems,” Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,vol.14,NO.2,pp.117-120,1994.
[3] I. Masubuchi, Y. Kamitance, A.Ohara and N.Sude,””control for descriptor systems:A matrix inequalities approach,Automatica,vol.33,NO.1,pp.669-673,1997.
[4]W. R. Shu. and Q. L. Zhang,”Robustcontrol for interval singular systems,” Journal of Northeastern University (natural science)vol.23,NO.11,pp.033-1036,2002.
[5] Y. Q. Liu, X. S.Xie.Theory and Application of Large-Scale Dynamic Systems(8):Stability Stabilization and Control for Singular Large Scale Systems with Delay.Guangzhou:South China University of Technology Press,1998.
[6] Shengyuan Xu, Paul Van Dooren, Stefan,and James Lam,Robust Stabilization for Singular Systems With State Delay and Parameter Uncertainty,IEEE Transcations on Automatic Control,vol.47,No.3,pp.1122-1128,2002.
[7] F.L.lewis,”a survey of linear singular systems,” Circuits, Syst. SignalProcessing, vol.5, pp.336, 1986.
[8] 广义系统.杨冬梅,张庆灵,姚波等编著,科学出版社.
[9] I.masubuchi Y.Kamitane,A Ohara,and N.suda,” control for descriptor systems:A matix inequalities approach,”Automatica,vol.33,pp.669-673,1997.
[10]I.R.Petersen,”A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems,”Syst.Control Lett.,vol.8,pp.351-357,1987.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】奇异系统 状态反馈 时滞 LMI方法 Schur补引理 鲁棒镇定
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)11(a)-0167-03
鲁棒控制问题是当今控制理论的一个研究热点,它是针对控制系统中的不确定性而提出来的。所谓鲁棒控制,是指受控系统存在内部不确定性和(或)外部干扰的情况下,设计静态或动态的反馈控制器,使闭环系统满足预定的某项或某几项性能指标。奇异系统较正常系统的特殊性,许多学者对奇异系统产生了兴趣,对奇异系统的正则性进行扩展[1-4].奇异系统的稳定性和镇定性在[5]中有所研究,[6]研究了一类奇异时滞系统的鲁棒控制问题。本文是在[6]基础上对奇异时滞系统进一步进行了探讨。
1 问题的提出及预备知识
考虑带有状态时滞、输入时滞和不确定参数的线性奇异系统如下:
(1)
(2)
其中,是状态,是控制输入。矩阵一般是奇异的,即
是维数匹配的已知实常矩阵,时变延迟满足
(3)
不确定实参数矩阵是时不变的,且假定具有下列形式
(4)
其中,是维数匹配的已知实常数矩阵,不确定实矩阵满足
(5)
是R中的紧集,进一步说,对任意给定矩阵总使得成立。我们称是容许的,如果它们满足(4)和(5)
本文的目的是设计一个线性连续时间状态反馈律
(6)
这里,反馈增益是常矩阵。
使得不确定奇异时滞系统是鲁棒镇定的。
我们将(6)式代入时滞系统(1),得到闭环系统为
(7)
称系统
(8)
为奇异时滞系统(7)的标称系统(即)。
定义 1[1][6][7][8]:
1)称为正则的,如果使得
2)是无脉冲的,如果
奇异时滞系统(8)可能有脉冲解,然而,的正则性和无脉冲性保证奇异时滞系统(8)的解是无脉冲的,并且,存在且唯一。
引理1[1][6]:假定是正则和无脉冲的,那么奇异时滞系统(8)的解是无脉冲的,并且,存在且唯一。
我们首先介绍有关奇异时滞系统(8)的下列定义。
定义2:
1)奇异时滞系统(8)称为正则的、无脉冲的,如果是正则的、无脉冲的;
2)奇异时滞系统(8)称为稳定的,如果对当时,奇异时滞系统(8)的解x(t)满足进而,
依这个概念,我们引出不确定奇异时滞系统的鲁棒稳定和鲁棒镇定的概念。
定义3:不确定奇异时滞系统称为鲁棒稳定的,对所有的容许来说,如果时,是正则的、无脉冲的和稳定的。
定义4:不确定奇异时滞系统称为鲁棒镇定的,对所有的容许来说,如果使得(7)是鲁棒稳定的。此时,称为鲁棒状态反馈控制律。
定义(3),定义(4)是依给出的。
这个部分主要运用LMI方法和类似Lyapunov定理,来分析系统的鲁棒稳定、鲁棒镇定性。
2 主要结果
定理1:[6.lemma2]:奇异时滞系统(8)是正则的、无脉冲的、稳定的,如果存在矩阵和矩阵P满足
(9)
(10)
其中,
引理2[9]奇异系统
(11)
是正则的、无脉冲的和稳定的当且仅当存在P满足
其中,
定义5:不确定奇异时滞系统称为广义二次稳定的,如果对所有容许的均存在满足
(12)
(13)
定义6:不确定奇异时滞系统称为广义二次镇定的,如果对所有容许的
均存在线性状态反馈律
满足
(14)
(15)
其中
(16)
下面一个引理表明广义二次稳定和广义二次镇定分别暗含着鲁棒稳定和鲁棒镇定。
引理3:考虑不确定奇异时滞系统,如果它是广义二次稳定的,那么它是鲁棒稳定的;如果它是广义二次鲁棒镇定的,那么它是鲁棒镇定的。
这个引理可由定理1直接证出。
我们欲得到不确定奇异时滞系统的广义二次稳定和广义二次镇定的充分必要条件,首先看下面的引理。
引理4[10]:给定维数匹配的矩阵且是对称的,那么对所有满足(5)的,有
当且仅当满足
为简便起见,我们令满足下面给出不确定奇异时滞系统的广义二次稳定的充分必要条件。
定理2:不确定奇异时滞系统是广义二次稳定的当且仅当
和Y满足LMI(17)如下
这里,
证明:(充分性)假设
满足(17)令容易证明
(18)
注意到,对任意满足(5)的有
因此
(之所以最后一个式子小于零,是因为(17),Schur补引理)
即
利用Schur补引理,即可化为
这个不等式和(18)分别是定义5中的(13)和(12)因此,不确定奇异时滞系统是广义二次稳定的。
(必要性)假定不确定奇异时滞系统是广义二次稳定的。依定义5,满足(12),(13)对所有满足(4),(5)的来说,由(13),Schur补引理,有
即
由引理4,满足
利用Schur补引理,有
由引理2,(19)暗含着(E,A)是正则的、无脉冲的。因此[7]存在可逆矩阵满足
其中是单位阵,
令那么由定理1的证明,我们取
其中
另一方面,从存在可逆矩阵满足
因此
其中,
最后,由于将代替(19)中的P即可。
定理3:不确定奇异时滞系统是广义二次镇定的当且仅当
满足(23)
(23)
其中
可逆。
鲁棒镇定状态反馈控制律
(24)
证明:依定义6,系统是广义二次镇定,当且仅当满足闭环系统
是二次稳定的。这里
不确定结构为
由定理2,对系统(25)来说,是广义二次镇定的当且仅当,
和Y满足LMI(26)
其中
定义易看出LMI(26)即为定理3中的(23)必要性得证。
现证充分性,不失一般性,我们假定是可逆的。否则,选择充分小的使得也满足(23).考虑前面我们提到的,可知是广义二次镇定的。
评注:定理3提供了二次镇定的充要条件,对不确定的奇异时滞系统来说,所要求鲁棒镇定状态反馈,可由严格(23)得出。值得指出的是严格LMI(23)是用系统矩阵表达的。
3 结论
本文研究了一类带有参数的不确定奇异时滞系统的鲁棒镇定问题。借助于广义二次稳定的概念,这个问题得到解决。获得了系统广义二次稳定的充要条件,并给出了保证闭环系统正则、无脉冲且稳定的状态反馈控制律的设计方法。而满足要求的控制器只需求解LMI即可得到,具有设计简单的特点。
参考文献
[1] L. Dai, Singular Control Systems. Berlin Germany: Springer-Verlag, 1989.
[2] Q. L. Zhang,”Lyapunov criteria for the structral stability in descriptor systems,” Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,vol.14,NO.2,pp.117-120,1994.
[3] I. Masubuchi, Y. Kamitance, A.Ohara and N.Sude,””control for descriptor systems:A matrix inequalities approach,Automatica,vol.33,NO.1,pp.669-673,1997.
[4]W. R. Shu. and Q. L. Zhang,”Robustcontrol for interval singular systems,” Journal of Northeastern University (natural science)vol.23,NO.11,pp.033-1036,2002.
[5] Y. Q. Liu, X. S.Xie.Theory and Application of Large-Scale Dynamic Systems(8):Stability Stabilization and Control for Singular Large Scale Systems with Delay.Guangzhou:South China University of Technology Press,1998.
[6] Shengyuan Xu, Paul Van Dooren, Stefan,and James Lam,Robust Stabilization for Singular Systems With State Delay and Parameter Uncertainty,IEEE Transcations on Automatic Control,vol.47,No.3,pp.1122-1128,2002.
[7] F.L.lewis,”a survey of linear singular systems,” Circuits, Syst. SignalProcessing, vol.5, pp.336, 1986.
[8] 广义系统.杨冬梅,张庆灵,姚波等编著,科学出版社.
[9] I.masubuchi Y.Kamitane,A Ohara,and N.suda,” control for descriptor systems:A matix inequalities approach,”Automatica,vol.33,pp.669-673,1997.
[10]I.R.Petersen,”A stabilization algorithm for a class of uncertain linear systems,”Syst.Control Lett.,vol.8,pp.351-357,1987.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”