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【摘要】范希尔理论符合学生的身心发展规律.对小学数学教学“图形与几何”的教学存在着重要的意义.一个好的教学活动必然需要一个好的理论框架作为依据.范希尔的几何思维水平用于几何教学活动的设计，有利于教师在几何教学中有效地组织教学活动.范希尔几何思维水平启示我们，在几何教学中：借助直观，促进理解;在活动中探索图形性质;在想象与推理中把握关系.
【关键词】范希尔理论;几何思维水平;几何教学
在新课程实施以来[1]，我们的课堂发生了许多变化，然而，我们可以发现，课堂教学中有的教材的安排或者是作业的难度所需要的语言或者是能力常常超出学生的思维水平，而几何概念相对是比较枯燥的，这样很容易使学生丧失学习兴趣.再加上有的教师虽然注重数学联系生活实际，但是却停留在表面，并没有引导学生将几何概念从生活实际中抽象出来，这系列的问题都亟待我们去解决.范希尔几何思维水平分为五个等级，而小学生只能达到前三个等级，所以在此文章中我们只研究范希尔前三个水平对圆的教学的思考.
一、范希尔理论的综述
范希尔理论是荷兰的范希尔夫妇根据皮亚杰的认知理论，结合自身在几何教学中所面临的问题研究所得到的用来刻画学生的几何思维水平的理论.范希尔理论的核心内容有两个，一是几何思维的五个水平，二是与之对应的五个教学阶段.本文不研究与之对应的五个教学阶段.
（一）范希尔几何思维的五个水平
1.水平0：视觉
儿童通过整体轮廓辨认图形，能画图或模仿画出图形，初步描述图形，但无法通过图形的特征或要素名称来分析图形，也无法对图形做概括的论述.
例如，有的儿童可能会区分直线图形和曲线图形，但对同类的图形，如，正方形和平行四边形，则不能正确地区分.
2.水平1：分析
儿童能分析图形的组成要素及特征，并且在此基础上了解图形的一些特性，利用特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义.
例如，这个阶段的儿童可能会区分长方形和三角形，因为“长方形长得像门，而三角形不像门”，却可能不会区分正方形和菱形，因为他们都是方的，像“手帕”，所以他们是一样的.
3.水平2：非形式化的演绎
儿童能建立图形以及图形内部性质之间的关系，能探索图形的内在属性和其包含关系.使用公式与定义及发现的性质做演绎推论，但不能了解证明与定理.例如，长方形是特殊的平行四边形，可能比较难以理解.
4.水平3：形式的演绎
学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”，“公理”和“定理”的意义，确信几何定理是需要逻辑演算才能建立的，能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理，定义定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网.
例如，他们可以把任何一个四边形分割成两个三角形，从而由三角形的内角和是180推導出四边形的内角和是360°.
5.水平5：严密性
能在不同的公理系统下严谨地建立定理，以分析比较不同的几何系统，如欧式几何和非欧几何.这五个水平是顺次的，但却又是不连续的.学生在进入某一个水平之前.必须掌握好在这之前的水平的大部分内容.
二、范希尔几何思维水平对圆的认识教学的启示
（一）借助直观，促进理解（水平0：视觉）
这个阶段的学生只能从外观上解读图形，而不关心也没有能力确定图形的性质.
1.对教学的启示（引入阶段）
例如，在“圆的认识”的教学中[2]，首先出示一组图形，让学生对其分类.此时，通过外观的观察可以按照直和曲的标准将其分类.通过这样的标准分类，有利于学生从整体上感知四边形、圆、椭圆的共同本质特征，为进一步认识圆做好铺垫.尽管这样的分类仅仅是从外观上进行的，而不是根据图形的性质来区分的，但这样的处理却把学生的思维由直观引向图形的性质特征联系起来了，以便更好地从直观化水平向描述水平过渡.
另外，关于圆的认识，也是联系生活中熟悉的事物.比如，在学习“圆”时，可向学生展示生活中的硬币、盆的底部等等，让学生说说这些圆有什么特点.为了让学生更加直观地感受圆的大小，可以用几何画板展示一组半径大小不同的圆，可以让学生想象这个圆无限伸缩的特点.这种直观性的操作，有利于学生整体感知圆的特点（圆心与半径）.尽管这种认识还是基于经验性的[3]，但在理解几何概念及其发展空间观念时却起着很大作用.过了很多年以后，学生也许早已忘记射线和直线的严格数学定义，但盆子的底部可大可小等生活情境可能牢牢地印在学生的头脑中，而这个情境却足以使其理解直线的定义和特征.
（二）在活动中探索图形性质（水平1：分析）
对几何图形的学习，一个非常重要的方面，就是对图形特征的学习.如圆的特征的认识，这就属于这个水平层次的学习.
当在认识圆的特征时，可以通过：
1.感受生活中的圆：硬币、纽扣、光盘、桌面、钟面……年轮.
2.动手摸圆，初步感知圆的特征.
3.借助实物创造圆.
4.动手实践：动手折一折、画一画、量一量、比一比，看一看你有什么发现？
5.用圆规画圆.
另外，处在此水平阶段的学生“往往倾向于用日常用语来描述几何概念，一般来说，他们尚不能用精确的语言来刻画数学概念”.例如，学生在描述硬币时，会说圆圆的，没有棱角，用这种生活语言来描述圆的特点.对这种情况，教师首先要允许并鼓励学生用自己的语言描述，但不能停留在这水平上，待学生用自己的语言描述后，教师要说出精确的数学语言以便逐步引导学生掌握精确的数学语言.这一心理特点也启示我们，在概念的形成过程中[4]，不能一步到位，也就是说能直接出示定义概念，而是有一个概念的生成过程，是逐步形成或者说生成的.对这一点，也是符合皮亚杰的观点：学生学习几何，先有具体概念，再有定义概念.所以，我们在圆定义概念时，先出示其具体概念.具体来讲，可以先出示圆的图形，然后说像这样的图形，在数上我们把它叫作圆，用这种具体直观的描述性语言，学生容易理解. 对出示图形，这里又面对着这样一个重要的问题：在探索图形性质特征时，我们为了让学生更好地探索图形的特征，往往给出的图形都是标准的图形或者说标准位置的图形.但要指出的是“不能只停留于对标准图形的认识，还要适当地变换方位，通过变式图形与标准图形的比较，来突出标准图形的本质特征，从而正确地掌握图形的基础特征”.事实上，只有通过各种变式图形认识了图形的本质特征，才能通过图形的性质与一类图形建立联系.
（三）在想象和推理中把握关系（水平2：非形式化的推理）
对几何知识的学习，除了图形特征外，图形关系的学习也是非常重要的内容，图形的关系具体分为不同各个要素之间的关系和不同图形的关系.而同一图形各个要素之间的关系往往反映了图形的本质特征.图形与图形之间的关系有利于学生整体把握几何知识，形成完整的认知结构.
在这一阶段：教师要引导学生发现图形与图形之间的关系，并对圆的认识中比较难的部分进行引导（圆与之前学习的图形都不同：边是曲线，不是直的）.虽然圆的特征（圆心、半径），学生认识比较容易，但对随着半径的改变，圆的大小也在不断变化，学生学习却比较困难，这就需要教师的引导.同时，圆的基本特征與半径与直径的关系也不是很好理解.这就需要教师通过让学生折一折、画一画、量一量、猜一猜、比一比等活动让学生理解圆的基本特征及半径与直径的相互关系.
我们可以发现[5]，大多数小学生都处于范希尔理论的水平0和水平1的层次，少部分人处于水平2，这说明学生的几何思维水平发展符合范希尔理论不连续性的特点，从一个思维水平到另一个思维水平的过渡是跳跃的，也是极为不易的，所以我们日常教学中要善于增强学生的体验，让学生通过自身的动手、操作、实践，不断获得数学活动的体验，增强他们的空间观念，从而帮助学生尽快地实现思维水平.
【参考文献】
[1]袁樱.小学几何教学中空间观念的培齐研究[D].昆明：云南师范大学，2007.
[2]陶红强.范希尔几何思维水平对教学的启示[J].教育实践与研究，2016（23）：43-46.
[3]王文强.范希尔理论及其对几何教学的启示[J].数学学习与研究：教研版，2016（23）：97-98.
[4]郑毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014：108.
[5]孔企平.小学儿童如何学数学[M].上海：华东师范大学出版社，2001：103-105.
【关键词】范希尔理论;几何思维水平;几何教学
在新课程实施以来[1]，我们的课堂发生了许多变化，然而，我们可以发现，课堂教学中有的教材的安排或者是作业的难度所需要的语言或者是能力常常超出学生的思维水平，而几何概念相对是比较枯燥的，这样很容易使学生丧失学习兴趣.再加上有的教师虽然注重数学联系生活实际，但是却停留在表面，并没有引导学生将几何概念从生活实际中抽象出来，这系列的问题都亟待我们去解决.范希尔几何思维水平分为五个等级，而小学生只能达到前三个等级，所以在此文章中我们只研究范希尔前三个水平对圆的教学的思考.
一、范希尔理论的综述
范希尔理论是荷兰的范希尔夫妇根据皮亚杰的认知理论，结合自身在几何教学中所面临的问题研究所得到的用来刻画学生的几何思维水平的理论.范希尔理论的核心内容有两个，一是几何思维的五个水平，二是与之对应的五个教学阶段.本文不研究与之对应的五个教学阶段.
（一）范希尔几何思维的五个水平
1.水平0：视觉
儿童通过整体轮廓辨认图形，能画图或模仿画出图形，初步描述图形，但无法通过图形的特征或要素名称来分析图形，也无法对图形做概括的论述.
例如，有的儿童可能会区分直线图形和曲线图形，但对同类的图形，如，正方形和平行四边形，则不能正确地区分.
2.水平1：分析
儿童能分析图形的组成要素及特征，并且在此基础上了解图形的一些特性，利用特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义.
例如，这个阶段的儿童可能会区分长方形和三角形，因为“长方形长得像门，而三角形不像门”，却可能不会区分正方形和菱形，因为他们都是方的，像“手帕”，所以他们是一样的.
3.水平2：非形式化的演绎
儿童能建立图形以及图形内部性质之间的关系，能探索图形的内在属性和其包含关系.使用公式与定义及发现的性质做演绎推论，但不能了解证明与定理.例如，长方形是特殊的平行四边形，可能比较难以理解.
4.水平3：形式的演绎
学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”，“公理”和“定理”的意义，确信几何定理是需要逻辑演算才能建立的，能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理，定义定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网.
例如，他们可以把任何一个四边形分割成两个三角形，从而由三角形的内角和是180推導出四边形的内角和是360°.
5.水平5：严密性
能在不同的公理系统下严谨地建立定理，以分析比较不同的几何系统，如欧式几何和非欧几何.这五个水平是顺次的，但却又是不连续的.学生在进入某一个水平之前.必须掌握好在这之前的水平的大部分内容.
二、范希尔几何思维水平对圆的认识教学的启示
（一）借助直观，促进理解（水平0：视觉）
这个阶段的学生只能从外观上解读图形，而不关心也没有能力确定图形的性质.
1.对教学的启示（引入阶段）
例如，在“圆的认识”的教学中[2]，首先出示一组图形，让学生对其分类.此时，通过外观的观察可以按照直和曲的标准将其分类.通过这样的标准分类，有利于学生从整体上感知四边形、圆、椭圆的共同本质特征，为进一步认识圆做好铺垫.尽管这样的分类仅仅是从外观上进行的，而不是根据图形的性质来区分的，但这样的处理却把学生的思维由直观引向图形的性质特征联系起来了，以便更好地从直观化水平向描述水平过渡.
另外，关于圆的认识，也是联系生活中熟悉的事物.比如，在学习“圆”时，可向学生展示生活中的硬币、盆的底部等等，让学生说说这些圆有什么特点.为了让学生更加直观地感受圆的大小，可以用几何画板展示一组半径大小不同的圆，可以让学生想象这个圆无限伸缩的特点.这种直观性的操作，有利于学生整体感知圆的特点（圆心与半径）.尽管这种认识还是基于经验性的[3]，但在理解几何概念及其发展空间观念时却起着很大作用.过了很多年以后，学生也许早已忘记射线和直线的严格数学定义，但盆子的底部可大可小等生活情境可能牢牢地印在学生的头脑中，而这个情境却足以使其理解直线的定义和特征.
（二）在活动中探索图形性质（水平1：分析）
对几何图形的学习，一个非常重要的方面，就是对图形特征的学习.如圆的特征的认识，这就属于这个水平层次的学习.
当在认识圆的特征时，可以通过：
1.感受生活中的圆：硬币、纽扣、光盘、桌面、钟面……年轮.
2.动手摸圆，初步感知圆的特征.
3.借助实物创造圆.
4.动手实践：动手折一折、画一画、量一量、比一比，看一看你有什么发现？
5.用圆规画圆.
另外，处在此水平阶段的学生“往往倾向于用日常用语来描述几何概念，一般来说，他们尚不能用精确的语言来刻画数学概念”.例如，学生在描述硬币时，会说圆圆的，没有棱角，用这种生活语言来描述圆的特点.对这种情况，教师首先要允许并鼓励学生用自己的语言描述，但不能停留在这水平上，待学生用自己的语言描述后，教师要说出精确的数学语言以便逐步引导学生掌握精确的数学语言.这一心理特点也启示我们，在概念的形成过程中[4]，不能一步到位，也就是说能直接出示定义概念，而是有一个概念的生成过程，是逐步形成或者说生成的.对这一点，也是符合皮亚杰的观点：学生学习几何，先有具体概念，再有定义概念.所以，我们在圆定义概念时，先出示其具体概念.具体来讲，可以先出示圆的图形，然后说像这样的图形，在数上我们把它叫作圆，用这种具体直观的描述性语言，学生容易理解. 对出示图形，这里又面对着这样一个重要的问题：在探索图形性质特征时，我们为了让学生更好地探索图形的特征，往往给出的图形都是标准的图形或者说标准位置的图形.但要指出的是“不能只停留于对标准图形的认识，还要适当地变换方位，通过变式图形与标准图形的比较，来突出标准图形的本质特征，从而正确地掌握图形的基础特征”.事实上，只有通过各种变式图形认识了图形的本质特征，才能通过图形的性质与一类图形建立联系.
（三）在想象和推理中把握关系（水平2：非形式化的推理）
对几何知识的学习，除了图形特征外，图形关系的学习也是非常重要的内容，图形的关系具体分为不同各个要素之间的关系和不同图形的关系.而同一图形各个要素之间的关系往往反映了图形的本质特征.图形与图形之间的关系有利于学生整体把握几何知识，形成完整的认知结构.
在这一阶段：教师要引导学生发现图形与图形之间的关系，并对圆的认识中比较难的部分进行引导（圆与之前学习的图形都不同：边是曲线，不是直的）.虽然圆的特征（圆心、半径），学生认识比较容易，但对随着半径的改变，圆的大小也在不断变化，学生学习却比较困难，这就需要教师的引导.同时，圆的基本特征與半径与直径的关系也不是很好理解.这就需要教师通过让学生折一折、画一画、量一量、猜一猜、比一比等活动让学生理解圆的基本特征及半径与直径的相互关系.
我们可以发现[5]，大多数小学生都处于范希尔理论的水平0和水平1的层次，少部分人处于水平2，这说明学生的几何思维水平发展符合范希尔理论不连续性的特点，从一个思维水平到另一个思维水平的过渡是跳跃的，也是极为不易的，所以我们日常教学中要善于增强学生的体验，让学生通过自身的动手、操作、实践，不断获得数学活动的体验，增强他们的空间观念，从而帮助学生尽快地实现思维水平.
【参考文献】
[1]袁樱.小学几何教学中空间观念的培齐研究[D].昆明：云南师范大学，2007.
[2]陶红强.范希尔几何思维水平对教学的启示[J].教育实践与研究，2016（23）：43-46.
[3]王文强.范希尔理论及其对几何教学的启示[J].数学学习与研究：教研版，2016（23）：97-98.
[4]郑毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014：108.
[5]孔企平.小学儿童如何学数学[M].上海：华东师范大学出版社，2001：103-105.