数学思想是数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，它贯穿于整个高中数学。
　　一、函数思想
　　数列是一种特殊的函数，其通项公式、求和公式与递推数列公式都具函数特征形式，所以学习与研究数列不能脱离函数思想，特别是关于数列中最值的确定，通过函数思想来解决，则更浅显易懂。
　　例1已知数列{an}中，a1=35，an=2- 1an-1 （n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn= 1an-1 （n∈N*）。
　　（1）求证数列{bn}为等差数列。
　　（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由。
　　解：（1）略。
　　（2）由⑴得bn=n-72，则an=1+1bn=1+22n-7。设函数f（x）=1+ 22x-7，知f（x）在区间-∞，72和72，+∞内均为减函数，所以当n=3时，an取得最小值为-1，当n=4时，an取得最大值为3。
　　二、方程思想
　　数列的通项公式和前n项和公式中，紧密联系五个基本量a1，n，d（q），an，Sn，特别是在等差与等比相互交织的综合问题中，常常列出方程组，得出基本量，所求问题即可得以解决。
　　例2设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100，求数列{an}与{bn}的通项公式。
　　解析：由S10=100，b2=2，q=d，b1=a1，展开求和公式与通项公式列方程组，由方程组得出变量取值是解决关于数列问题的通解通法。
　　三、分类讨论思想
　　数列中的分类讨论思想，主要体现在以下几个方面：
　　1.在等比数列前n项和公式中对q=1与q≠1分别讨论，得Sn=na1（q=1）或Sn=a1（1-qn）（q≠1）。
　　2.已知数列前n项和Sn，求an，必检验n=1时an是否成立。若n=1时，an =a1则通项公式只有一种，即an=Sn-Sn-1，而n=1时an=a1不成立，则an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）。
　　3.判断一个等比数列{an}的增减性不能只看q，当a1>0且q>1或a1<0且00且01时{an}为递减数列。在具体的解题过程中，要分不同情况才能全面而正确地解决问题。
　　四、转化与化归思想
　　数列中许多问题需要通过转化与化归来解决，特别是数列前n项和求解中常用“倒序相加法”“错位相消法”“裂项相消法”等，通过这些方法将比较繁杂的求和问题转变为规律求和。
　　例3已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2·a3=8。
　　（1）求数列{an}的通项公式。
　　（2）设Sn为数列{an}的前n项和，求数列bn=an+1SnSn+1的前n项和Tn。
　　解析：（1）因为a1·a4=a2·a3=8，又因为a1+a4=9，得an=2n-1。
　　（2）Sn=a1（1-qn）1-q，而an+1= Sn+1-Sn，所以bn=Sn+1-SnSnSn+1，裂項得bn=1Sn-1Sn+1，从而Tn= b1+b2+…+bn=1-12n+1-1。
　　点评：第一问中通过转化，解方程得出an，第二问中充分利用an与Sn关系进行代换转化，再通过裂项相消法从而得出Tn。
　　五、极限思想
　　极限思想是在无限变化过程中考查变量的变化趋势，在数列中恰当地应用极限思想，则简化运算过程，优化解题思路。
　　例4数列﹛an﹜中a1=1且对于任意自热数n，总有an+1=anan-2是否存在实数a，b使得an=a-b（-23）n对于任意自热数n恒成立？若存在给出证明，若不存在说明理由。
　　解析：利用极限运算。
　　因为an=a-b（-23）n所以limn→∞an=a。对an+1=anan-1两边取极限得a=aa-2得a=0或a=3。若a=0时，﹛an﹜应以1为首项，以-23为公比的等比数列，显然不可能对任意n都是an+1=anan-2若a=0时，将a1=1代入an=a-b（-23）n得b=-3，此时an=3+3·（-23）n验证a2即得出矛盾，所以a，b不存在，灵活应用极限思想简化了运算，提高了解题效率。
　　数列中渗透了许多数学思想，在复习备考过程中掌握数列知识，应该总结体会数学思想在解题中的指导作用，领悟数学思想在数学中的精髓所在。
　　本文系甘肃省教育科学规划课题研究成果，项目编号74613。
　　作者单位：甘肃省古浪县古浪第五中学