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摘要：本文对平行四边形的概念、性质、判定、面积和周长的计算、画法及其在向量和空间线面平行，面面平行的证明进行了归纳概括，并通过举例进行了应用，为以后平行四边形在未知领域的应用及其性质的研究提供理论基础。
关键词：平行四边形 概念 性质 画法 向量 线面平行 面面平行
平行四边形在我们日常生活中无处不在，生活中图案造型，放大尺绘图工具原理，航拍图片海域面积计算，向量的应用及空间几何体中的线面平行的证明，物理中学中的有关计算都应用了平行四边形的性质。本文对平行四边形已有知识梳理旨在形成平行四边形理论体系，为进一步探求平行四边形提供理论基础。
一、平四边形的概念：
在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图1平行四边形记为
二、平行四边形的判定方法：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）;
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形;
5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
6.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形;
三、特殊平行四边形：
矩形（长方形）、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。
四、平行四边形的性质：
1.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
2.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
3.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。
4.夹在两条平行线间的平行的高相等。（平行线间的高距离处处相等）
5.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分
6.连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
7.平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）.
8.过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
9.平行四边形不一定是轴对称图形，但是中心对称图形，其对称中心是两对角线的交点。特殊的平行四边形——矩形和菱形是轴对称图形。三者具有平行四边形的性质。
10.平行四边形ABCD中（如图3）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相（n+1）等分。
11.平行四边形的两对角线的平方和等于四边的平方和。
12.平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。
13.平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
14.平行四边形中，一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。
15.平行四边形的内角和是外角和的四分之一 。
五、平行四边形的属性：
1、平行四边形属于平面图形。
2、平行四边形属于四边形。
3、平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。
4、平行四边形属于中心对称图形，不一定是轴对称图形。
六、平行四边形形成的特殊图形：
1、平行四边形+直角=矩形
2、平行四边形+ 一组邻边相等=菱形
3、平行四边形+直角+ 一组邻边相等=正方形 （菱形+矩形=正方形）
七、平行四边形的面积 ：
1.平行四边形的面积公式：底×高;
2.平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;
3.平行四边形的面积等于两对角线长的积乘以夹角的正弦值;
4.平行四边形的两邻边a、b，与a、b形成三角形的对角线长c，平行四边形的面积S可由海伦公式求得： S=2 ，而公式里的p=（a+b+c）/2
八、周长公式：
平行四边形周长 等于二乘（底1+底2）。如用表示两邻边长，c表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2（a+b）
九、平行四边形的个数：
m条平行直线和n条平行直线相交，形成的平行四边形个数：
十、平行四边形的画法：
若无条件限制，符合平行四边形判定定理的做法都可以。例如：
①作线段AB∥DC，且AB=DC，
②作直线a∥直线b，直线m∥直线n，且a不平行m，则他们的交点之间顺次连线围成四边形
③作∠A，在两边上分别取点B和D，分别以D为圆心、AB为半径和B为圆心，AD为半径画圆，两圆在∠A内部交于C，连结BC、DC
④作线段AC，取AC中点O，过O作直线a，在直线a上O的两侧分别取OB=OD，顺次连结AB、BC、CD、DA
十一、平行四边形的放大尺原理
如果你说的“标准放大尺”是用4根木尺制成平行四边形状的可用来放大地图的仪器，那我知道一点，它的原理是位似形性質。
十二、平行四边形在向量中的应用
（一）向量的加法
定义：求两个向量的和的运算称为向量的加法，其结果称为两个向量的和。
向量的平行四边形法则：（如图4）
在平面里任取一点A，以同一点A为起点的两个向量a，b为邻边做平行四边形ABCD则对角线 就叫做a，b的和，我们把这种做法就叫做平行四边形法则
十三、平行四边形在空间中的应用：
证明线面平行：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与该平面平行。
例：如图5所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别为PB，AB的中点.求证：CE∥平面PAD.
证明：取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH=12AB.
又AB∥CD，CD=12AB，所以EH∥CD，EH=CD.
因此四边形DCEH是平行四边形. 所以CE∥DH.
又DH?平面PAD，CE?平面PAD，
通过对平行四边形的性质，面积和周长的计算，以及其在代数方面的应用对平行四边形进行了归纳整理，形成了平行四边形已知的理论体系，为以后我们在未知领域的探究提供了理论依据。
关键词：平行四边形 概念 性质 画法 向量 线面平行 面面平行
平行四边形在我们日常生活中无处不在，生活中图案造型，放大尺绘图工具原理，航拍图片海域面积计算，向量的应用及空间几何体中的线面平行的证明，物理中学中的有关计算都应用了平行四边形的性质。本文对平行四边形已有知识梳理旨在形成平行四边形理论体系，为进一步探求平行四边形提供理论基础。
一、平四边形的概念：
在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图1平行四边形记为
二、平行四边形的判定方法：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）;
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形;
5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
6.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形;
三、特殊平行四边形：
矩形（长方形）、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。
四、平行四边形的性质：
1.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
2.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
3.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。
4.夹在两条平行线间的平行的高相等。（平行线间的高距离处处相等）
5.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分
6.连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
7.平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）.
8.过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
9.平行四边形不一定是轴对称图形，但是中心对称图形，其对称中心是两对角线的交点。特殊的平行四边形——矩形和菱形是轴对称图形。三者具有平行四边形的性质。
10.平行四边形ABCD中（如图3）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相（n+1）等分。
11.平行四边形的两对角线的平方和等于四边的平方和。
12.平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。
13.平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
14.平行四边形中，一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。
15.平行四边形的内角和是外角和的四分之一 。
五、平行四边形的属性：
1、平行四边形属于平面图形。
2、平行四边形属于四边形。
3、平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。
4、平行四边形属于中心对称图形，不一定是轴对称图形。
六、平行四边形形成的特殊图形：
1、平行四边形+直角=矩形
2、平行四边形+ 一组邻边相等=菱形
3、平行四边形+直角+ 一组邻边相等=正方形 （菱形+矩形=正方形）
七、平行四边形的面积 ：
1.平行四边形的面积公式：底×高;
2.平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;
3.平行四边形的面积等于两对角线长的积乘以夹角的正弦值;
4.平行四边形的两邻边a、b，与a、b形成三角形的对角线长c，平行四边形的面积S可由海伦公式求得： S=2 ，而公式里的p=（a+b+c）/2
八、周长公式：
平行四边形周长 等于二乘（底1+底2）。如用表示两邻边长，c表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2（a+b）
九、平行四边形的个数：
m条平行直线和n条平行直线相交，形成的平行四边形个数：
十、平行四边形的画法：
若无条件限制，符合平行四边形判定定理的做法都可以。例如：
①作线段AB∥DC，且AB=DC，
②作直线a∥直线b，直线m∥直线n，且a不平行m，则他们的交点之间顺次连线围成四边形
③作∠A，在两边上分别取点B和D，分别以D为圆心、AB为半径和B为圆心，AD为半径画圆，两圆在∠A内部交于C，连结BC、DC
④作线段AC，取AC中点O，过O作直线a，在直线a上O的两侧分别取OB=OD，顺次连结AB、BC、CD、DA
十一、平行四边形的放大尺原理
如果你说的“标准放大尺”是用4根木尺制成平行四边形状的可用来放大地图的仪器，那我知道一点，它的原理是位似形性質。
十二、平行四边形在向量中的应用
（一）向量的加法
定义：求两个向量的和的运算称为向量的加法，其结果称为两个向量的和。
向量的平行四边形法则：（如图4）
在平面里任取一点A，以同一点A为起点的两个向量a，b为邻边做平行四边形ABCD则对角线 就叫做a，b的和，我们把这种做法就叫做平行四边形法则
十三、平行四边形在空间中的应用：
证明线面平行：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与该平面平行。
例：如图5所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F分别为PB，AB的中点.求证：CE∥平面PAD.
证明：取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH=12AB.
又AB∥CD，CD=12AB，所以EH∥CD，EH=CD.
因此四边形DCEH是平行四边形. 所以CE∥DH.
又DH?平面PAD，CE?平面PAD，
通过对平行四边形的性质，面积和周长的计算，以及其在代数方面的应用对平行四边形进行了归纳整理，形成了平行四边形已知的理论体系，为以后我们在未知领域的探究提供了理论依据。