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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089(2015)35-0281-01
“建模思想”就是根据实际题意,建立适当的模型,解决实际问题。在二次函数的学习中,“建模思想”被得到广泛的运用。下面,以一道填空题为例,谈谈“建模思想”在二次函数中的灵活运用。
问题:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)自变量x和函数值y的部分对应值如下表:
则该二次函数的解析式为y=______________________。
分析1:表格中,总共告诉了抛物线上的七个已知点,因此,可以建立“一般式”的函数模型,且只需选取其中三个点的坐标代入即可。由于这些點的坐标中,有分数,有整数,为了便于计算,尽量选择数值小,且为整数的点,所以选择(-1,-2)、(0,-2)、和(1, 0)这三个点比较适合。
解法一:设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),把(-1,-2)、(0,-2)和(1, 0)分别代入得:
a-b+c=-2c=-2a+b+c=0 解之得:a=1b=1c=-2
所以,该二次函数的解析式为: y=x2+x-2。
分析2:通过观察表格,发现点就是抛物线的顶点,因此,可建立“顶点式”的函数模型来解决问题。
解法二 :设该二次函数的解析式为y=a(x+)2- (a≠0)
把(1, 0)代入得:a(1+)2-=0
解之得:a=1
所以,该二次函数的解析式为:y=(x+)2-9/4
化成一般式为:y=x2+x-2。
分析3:再仔细观察表格,发现其中已有两对点是关于抛物线的对称轴直线x=-对称的对称点。根据表格,我们还可以写出点(1, 0)关于对称轴对称的点为(-2, 0),并把这个点补进表格中去。更重要的是,这对点是抛物线与x轴的两个交点,因此,可以建立“交点式”的函数模型来解决问题。
解法三:设该二次函数的解析式为:y=a(x+2)(x-1) (a≠0),
把(0,-2)代入得:a(0+2)(0-1)=-2
解之得 a=1
所以,该二次函数的解析式为:y=(x+2)(x-1)
化成一般式为:y=x2+x-2
综上所述,这道填空题,用三种解法,分别建立了“一般式”、“顶点式”、和“交点式”的函数模型来解决问题。这三种函数模型,各有千秋。“一般式”,直接从表格中选取三个点代入,从而得到关于a、b、c的三元一次方程组,解出方程组就可以直接得到结果;但是,计算量比较大,且选点时,要尽量选取便于计算的点。“顶点式”,只须选取一点代入即可,计算量比较小;但是,使用这种方法的前提是必须知道抛物线的顶点,另外选取的那一点,最好是便于计算。“交点式”,在知道抛物线与x轴的两个交点时,可以建立这种函数模型,这时,只需要再找一点代入即可;有时题目中只告訴与x轴的一个交点,需要我们根据题意找出另一个交点;其最后结果往往要化成一般式。
因此,在求二次函数的解析式时,或者在用二次函数解决实际问题时,我们要根据题意,建立适当的函数模型,从而能更快更简洁更轻松的解决问题。这样,我们的智慧不仅能发挥得淋漓尽致,而且能够获得事半功倍的效果。
“建模思想”就是根据实际题意,建立适当的模型,解决实际问题。在二次函数的学习中,“建模思想”被得到广泛的运用。下面,以一道填空题为例,谈谈“建模思想”在二次函数中的灵活运用。
问题:已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)自变量x和函数值y的部分对应值如下表:
则该二次函数的解析式为y=______________________。
分析1:表格中,总共告诉了抛物线上的七个已知点,因此,可以建立“一般式”的函数模型,且只需选取其中三个点的坐标代入即可。由于这些點的坐标中,有分数,有整数,为了便于计算,尽量选择数值小,且为整数的点,所以选择(-1,-2)、(0,-2)、和(1, 0)这三个点比较适合。
解法一:设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),把(-1,-2)、(0,-2)和(1, 0)分别代入得:
a-b+c=-2c=-2a+b+c=0 解之得:a=1b=1c=-2
所以,该二次函数的解析式为: y=x2+x-2。
分析2:通过观察表格,发现点就是抛物线的顶点,因此,可建立“顶点式”的函数模型来解决问题。
解法二 :设该二次函数的解析式为y=a(x+)2- (a≠0)
把(1, 0)代入得:a(1+)2-=0
解之得:a=1
所以,该二次函数的解析式为:y=(x+)2-9/4
化成一般式为:y=x2+x-2。
分析3:再仔细观察表格,发现其中已有两对点是关于抛物线的对称轴直线x=-对称的对称点。根据表格,我们还可以写出点(1, 0)关于对称轴对称的点为(-2, 0),并把这个点补进表格中去。更重要的是,这对点是抛物线与x轴的两个交点,因此,可以建立“交点式”的函数模型来解决问题。
解法三:设该二次函数的解析式为:y=a(x+2)(x-1) (a≠0),
把(0,-2)代入得:a(0+2)(0-1)=-2
解之得 a=1
所以,该二次函数的解析式为:y=(x+2)(x-1)
化成一般式为:y=x2+x-2
综上所述,这道填空题,用三种解法,分别建立了“一般式”、“顶点式”、和“交点式”的函数模型来解决问题。这三种函数模型,各有千秋。“一般式”,直接从表格中选取三个点代入,从而得到关于a、b、c的三元一次方程组,解出方程组就可以直接得到结果;但是,计算量比较大,且选点时,要尽量选取便于计算的点。“顶点式”,只须选取一点代入即可,计算量比较小;但是,使用这种方法的前提是必须知道抛物线的顶点,另外选取的那一点,最好是便于计算。“交点式”,在知道抛物线与x轴的两个交点时,可以建立这种函数模型,这时,只需要再找一点代入即可;有时题目中只告訴与x轴的一个交点,需要我们根据题意找出另一个交点;其最后结果往往要化成一般式。
因此,在求二次函数的解析式时,或者在用二次函数解决实际问题时,我们要根据题意,建立适当的函数模型,从而能更快更简洁更轻松的解决问题。这样,我们的智慧不仅能发挥得淋漓尽致,而且能够获得事半功倍的效果。