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【摘要】本文以《百分数的认识》一课为例，论述在小学数学概念教学中培养学生符号意识的策略：立足生活，直观感知符号;善用比较，精确理解符号;综合实践，深刻体验符号。
【关键词】小学数学 概念教学 符号意识
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）25-0125-02
数学是一种符号化语言，符号的使用是进行数学表达和数学思考的重要形式。《义务教育数学课程标准（2011版）》中指出，小学数学教学应当帮助学生“經历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维”。可见，培养学生的数学符号意识是小学数学一项重要的教学任务。本文以人教版数学六年级上册《百分数的认识》一课为例，探讨如何利用学生已有的知识经验，从中挖掘他们潜在的符号意识，将其与数学知识紧密联系起来，以达到有效培养学生的符号意识、切实提高数学概念教学质量的目标。
一、立足生活，直观感知符号
小学生掌握数学概念和形成符号意识的心理过程，通常遵循从感性到理性、从具体到抽象的规律。百分数是一个抽象的数学概念，但学生经历了一到五年级的数学学习，并且基于现实生活经验，对百分数已有初步的认知，教师应当充分利用这种认知基础，以学生熟悉的事物进行课程导入，引导学生将经验性知识逐渐上升为科学性知识，并尝试利用符号解决问题，树立符号意识。
在教学《百分数的认识》一课的导入环节，笔者首先采用实物展示的方式，展示了几样带有百分数的物品，包括“100%棉”的衣物标签、“果汁含量80%”的饮品成分表、“下载进度35%”的电脑提示等，让学生直观地观察身边存在的“百分数”，直接建立学生生活经验与数学概念之间的联系，使学生意识到百分数在生活中有着广泛的应用，并且意义重大。接着笔者设计了一个探究环节，让学生在具体的活动情境中体验“百分数”的实际应用。
师：我校要举办投篮比赛，某班级有3名学生报名参加，他们的投篮成绩分别是：王涛10投8中、李强20投13中、张明25投15中，你认为应该选谁去参加投篮比赛呢？
生1：从投中的次数看，应该选张明去参加比赛。
生2：从投篮次数和投中次数的相差数来看，3个人的失球数是不一样的，王涛失球数最少，应当派王涛去。
在生1、生2的发言中，学生意识到投篮总数不同，仅从投中的次数或者从失球数来判断成绩，是不公平也是不合理的。在此，笔者及时提示解决方法：“我们可以考虑从比较分数大小入手。”马上有学生提出：“先计算出投中次数占投篮总数的几分之几，再进行比较，就能看出谁的成绩更好。”笔者点头赞许该生提议，并解释“投中次数占投篮次数的几分之几，就是投中比率”这一概念，然后在黑板上分别将3名学生投篮成绩写成分数形式8/10、13/20和15/25，接着追问：“这样写能直接比较大小吗？你们能够看出谁的投中比率更大吗？”这一提问迅速激活了学生关于分数比较的知识：将上述分数的公分母分别化为100，使其成为80/100、65/100和60/100。如此一来，学生就能明确王涛的投篮命中比率最高，应当选他去参加比赛。此时笔者正式引入百分数的概念：“为了表述简洁，百分数通常不写作分数的形式，而是只写分数的分子，然后在后面加上一个%（百分号），即80/100写作80%、65/100写作65%、60/100写作60%。”通过引入实际问题，学生很快能明确分数与百分数的关系，并且直观地理解了百分数“一个数占另一个数的百分之几”这一含义。
列举生活化的百分数实例，目的在于利用学生已掌握的数学知识和现实生活经验，使其直接感知生活情境中对百分数意义的表述，充分体会百分数这一符号背后代表的真实含义;此外，让学生思考实际生活问题，实际上是引导学生从中抽象出一个用简明扼要的百分数定义，使他们在学习符号时知其然又知其所以然，能够将符号概念与生活经验之间紧密联系起来，学习用数学思维看待身边事物，从而逐渐形成符号意识。
二、善用比较，精确理解符号
通过上述学习，学生意识到百分数源自分数，其内涵也脱胎于分数，因此有学生认为，百分数具有和分数一样的属性，甚至有学生认为，百分数就是分母为100的分数。但实际上分数与百分数的概念是有所不同的，在教学中教师倘若没有注意到这一点，就不能帮助学生厘清二者之间的区别，容易出现概念偷换或者百分数概念外延现象，进而造成符号定义的混淆。因此，为了让学生更精确地理解分母与“%”的意义，教师可以通过对比二者在实际问题中的应用，让学生更直观地获得结论。
例如，在教学《百分数的认识》一课时，笔者列出几道题目，题中分数的分母均是100，让学生进行比较辨析，思考这些分数是否都可以用百分数来表示：
1.将一根缆绳剪掉90/100米。
2.将一根缆绳剪掉90/100。
3.我班数学考试优秀率为73/100。
4.一根30/100米长的木头相当于一根60/100米长的木头的50/100。
通过思考，学生发现分数和百分数虽然都能表示两个数之间的比较关系，但分数后可以带计量单位，表示一个具体的量，但百分数只能表示两个数之间的比较关系，不能带有计量单位，也不能表示具体的量;分数的分母可以是任何一个非0自然数，而百分数的分母必须是100;它们在写法和读法上也有不同，百分数应当用分子+%的形式表示，分数则不能。
此外，为了进一步帮助学生理解百分数的内涵，笔者将不同图例进行对比。如利用直观线段图比较两个百分数20%的异同点：将线段A平均分为5份，将其中1份涂黑，请问黑色部分是线段全长的百分之多少？线段B同样平均分为5份，再在其下方放置线段C，C的长度等于B的1/5，请问C的长度是B长度的百分之多少？通过图例对比，学生更直观地体会百分数包括两层含义，一层是局部与整体之间的比较关系，另一层是两个量之间的比较关系。在这道题目的基础上，笔者提出对比问题：我校学生的近视率是30/100，我校男生的人数是女生的130/100，请问结合刚才的结论，你能对这两层含义做出补充说明吗？学生仔细对比了两道题目，回答：“当表示局部与整体之间的比较关系时，百分数最多是100%，而当表示两个量之间的比较关系时，百分数可以超过100%。” 之前的教学环节之所以列举生活问题作为例证，意在帮助学生从大量的同类事物中对比、概括和构建百分数概念，学生在教师的引导下也明确了百分数概念的形成过程，但对其深层次的内在逻辑仍然不够了解，还不足以将百分数这一概念与已有知识“分数”进行精确区分，学生可能会利用已经掌握的分数知识对百分数这一新概念进行理解和定义。由于“分数”和“百分数”仅有一字之差，尤其例题中将分母全部转化为100之后所获得的分数，被告知就是“百分数”之后，学生可能会将其同化纳入已有的“分数”概念体系之中。因此，在进行百分数的符号意识培养时，当学生形成了初步的概念后，教师应当注重利用对比的方式帮助学生厘清分数与百分数之间的异同，帮助学生深入地理解百分数的具体含义，从本质上准确地理解“%”这一符号的内涵，明确“%”是一个独立符号。
三、综合实践，深刻体验符号
能在具体问题情境中使用符号，正确分析、灵活解决所涉及的数学问题，是衡量学生是否真正形成符号意识的重要标志。从生活经验到抽象概念再具体运用的思维形成过程，也是学生对符号概念的表象经验进行整理、厘清、改造、重組，发现并掌握数学概念的本质特征及规律，最终内化为自身符号意识，并将其运用于实践的过程。因此，教师应当注重设计实践活动，帮助学生尝试将已经掌握的符号运用于实际生活之中，不断巩固、印证习得的新符号知识，最终形成符号意识并提高符号运用能力。为了帮助学生实现对百分数的深入理解，将“%”精准地纳入符号知识网络，笔者在教学《百分数的认识》一课时设计了以下实践练习。
首先，笔者给出一些百分数，如9.4%、30%、70%、89%、50%、135%、100%，0.01%、23%等，再给出一些填空题，让学生选择适合的百分数分别填入括号中。
1.一条路走过了（ ），还剩下全程的（ ）。
2.这种感冒药对感冒患者的治愈率很高，达到了（ ）。
3.由于采用了先进的培育技术，今年果树结了更多的果子，产量相当于去年产量的（ ）。
4.我校学生的近视率有所上升，达到了（ ）。
5.两个好朋友平分披萨吃，每人分到的量是整个披萨的（ ）。
学生经过思考后写下了各自的答案，绝大部分学生的选择如下：
1.30%，70%;2.89%;3.135%;4.23%;5.50%。
在本次练习实践中，学生基本上能够正确作答，说明他们真正理解了百分数的符号含义，并且能够结合具体的语境，筛选出最合理的选项，准确将符号的意义与描述的事件挂钩，使教学实现了加深理解符号、体验符号内涵的目的。
课堂时间有限，不宜开展太多的活动，教师可以布置一些课后作业——寻找日常生活中更多的百分数现象，以拓展课堂教学的宽度。有学生找到了一些衣服标签，其中毛衣标签上标注着含羊毛70%、化纤30%，棉布衣服标签上标注着含棉88%、氨纶3%、涤纶9%等。有学生罗列出新闻报道中提到的经济增长率、人口出生率、死亡率、犯罪率、发病率、银行存款利率等。还有学生找到一盒牛肉干，其包装盒上的营养成分表为：每100克牛肉干，蛋白质23.6克、脂肪6.1克、碳水化合物51.2克、钠1.35克。他认为，牛肉干成分表中虽然没有直接注明百分数，但也包含有百分数的意义，无需计算便能够得出结论，即蛋白质的比例是23.6%、脂肪的比例是6.1%、碳水化合物的比例是51.2%、钠的比例是1.35%。
通过大量的实践练习，学生逐渐构建出百分比的认知框架，并能够运用百分数符号描述身边的具体事物、解决生活中遇到的实际问题，成功建立起符号意识。
在小学数学教学中培养学生的符号意识，教师需要注重生活经验与数学知识的关联和统一，并科学设计具体的教学情境，善用比较、图例等手法，帮助学生深入理解符号所包含的准确内涵，避免发生概念混淆和外延的情况。同时，教师还要注重培养学生将抽象符号运用于具体生活问题的能力，使其通过已有数学知识经验及实践操作构建符号意识，增强符号运用能力，在抽象的数学概念学习中体会符号的简洁、精确之美。
【作者简介】吴锋高（1972— ），男，汉族，大学本科学历，一级教师，现就职于福建省龙岩市上杭县南阳第二中心小学，研究方向为小学数学教育。
（责编 黄健清）
【关键词】小学数学 概念教学 符号意识
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）25-0125-02
数学是一种符号化语言，符号的使用是进行数学表达和数学思考的重要形式。《义务教育数学课程标准（2011版）》中指出，小学数学教学应当帮助学生“經历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维”。可见，培养学生的数学符号意识是小学数学一项重要的教学任务。本文以人教版数学六年级上册《百分数的认识》一课为例，探讨如何利用学生已有的知识经验，从中挖掘他们潜在的符号意识，将其与数学知识紧密联系起来，以达到有效培养学生的符号意识、切实提高数学概念教学质量的目标。
一、立足生活，直观感知符号
小学生掌握数学概念和形成符号意识的心理过程，通常遵循从感性到理性、从具体到抽象的规律。百分数是一个抽象的数学概念，但学生经历了一到五年级的数学学习，并且基于现实生活经验，对百分数已有初步的认知，教师应当充分利用这种认知基础，以学生熟悉的事物进行课程导入，引导学生将经验性知识逐渐上升为科学性知识，并尝试利用符号解决问题，树立符号意识。
在教学《百分数的认识》一课的导入环节，笔者首先采用实物展示的方式，展示了几样带有百分数的物品，包括“100%棉”的衣物标签、“果汁含量80%”的饮品成分表、“下载进度35%”的电脑提示等，让学生直观地观察身边存在的“百分数”，直接建立学生生活经验与数学概念之间的联系，使学生意识到百分数在生活中有着广泛的应用，并且意义重大。接着笔者设计了一个探究环节，让学生在具体的活动情境中体验“百分数”的实际应用。
师：我校要举办投篮比赛，某班级有3名学生报名参加，他们的投篮成绩分别是：王涛10投8中、李强20投13中、张明25投15中，你认为应该选谁去参加投篮比赛呢？
生1：从投中的次数看，应该选张明去参加比赛。
生2：从投篮次数和投中次数的相差数来看，3个人的失球数是不一样的，王涛失球数最少，应当派王涛去。
在生1、生2的发言中，学生意识到投篮总数不同，仅从投中的次数或者从失球数来判断成绩，是不公平也是不合理的。在此，笔者及时提示解决方法：“我们可以考虑从比较分数大小入手。”马上有学生提出：“先计算出投中次数占投篮总数的几分之几，再进行比较，就能看出谁的成绩更好。”笔者点头赞许该生提议，并解释“投中次数占投篮次数的几分之几，就是投中比率”这一概念，然后在黑板上分别将3名学生投篮成绩写成分数形式8/10、13/20和15/25，接着追问：“这样写能直接比较大小吗？你们能够看出谁的投中比率更大吗？”这一提问迅速激活了学生关于分数比较的知识：将上述分数的公分母分别化为100，使其成为80/100、65/100和60/100。如此一来，学生就能明确王涛的投篮命中比率最高，应当选他去参加比赛。此时笔者正式引入百分数的概念：“为了表述简洁，百分数通常不写作分数的形式，而是只写分数的分子，然后在后面加上一个%（百分号），即80/100写作80%、65/100写作65%、60/100写作60%。”通过引入实际问题，学生很快能明确分数与百分数的关系，并且直观地理解了百分数“一个数占另一个数的百分之几”这一含义。
列举生活化的百分数实例，目的在于利用学生已掌握的数学知识和现实生活经验，使其直接感知生活情境中对百分数意义的表述，充分体会百分数这一符号背后代表的真实含义;此外，让学生思考实际生活问题，实际上是引导学生从中抽象出一个用简明扼要的百分数定义，使他们在学习符号时知其然又知其所以然，能够将符号概念与生活经验之间紧密联系起来，学习用数学思维看待身边事物，从而逐渐形成符号意识。
二、善用比较，精确理解符号
通过上述学习，学生意识到百分数源自分数，其内涵也脱胎于分数，因此有学生认为，百分数具有和分数一样的属性，甚至有学生认为，百分数就是分母为100的分数。但实际上分数与百分数的概念是有所不同的，在教学中教师倘若没有注意到这一点，就不能帮助学生厘清二者之间的区别，容易出现概念偷换或者百分数概念外延现象，进而造成符号定义的混淆。因此，为了让学生更精确地理解分母与“%”的意义，教师可以通过对比二者在实际问题中的应用，让学生更直观地获得结论。
例如，在教学《百分数的认识》一课时，笔者列出几道题目，题中分数的分母均是100，让学生进行比较辨析，思考这些分数是否都可以用百分数来表示：
1.将一根缆绳剪掉90/100米。
2.将一根缆绳剪掉90/100。
3.我班数学考试优秀率为73/100。
4.一根30/100米长的木头相当于一根60/100米长的木头的50/100。
通过思考，学生发现分数和百分数虽然都能表示两个数之间的比较关系，但分数后可以带计量单位，表示一个具体的量，但百分数只能表示两个数之间的比较关系，不能带有计量单位，也不能表示具体的量;分数的分母可以是任何一个非0自然数，而百分数的分母必须是100;它们在写法和读法上也有不同，百分数应当用分子+%的形式表示，分数则不能。
此外，为了进一步帮助学生理解百分数的内涵，笔者将不同图例进行对比。如利用直观线段图比较两个百分数20%的异同点：将线段A平均分为5份，将其中1份涂黑，请问黑色部分是线段全长的百分之多少？线段B同样平均分为5份，再在其下方放置线段C，C的长度等于B的1/5，请问C的长度是B长度的百分之多少？通过图例对比，学生更直观地体会百分数包括两层含义，一层是局部与整体之间的比较关系，另一层是两个量之间的比较关系。在这道题目的基础上，笔者提出对比问题：我校学生的近视率是30/100，我校男生的人数是女生的130/100，请问结合刚才的结论，你能对这两层含义做出补充说明吗？学生仔细对比了两道题目，回答：“当表示局部与整体之间的比较关系时，百分数最多是100%，而当表示两个量之间的比较关系时，百分数可以超过100%。” 之前的教学环节之所以列举生活问题作为例证，意在帮助学生从大量的同类事物中对比、概括和构建百分数概念，学生在教师的引导下也明确了百分数概念的形成过程，但对其深层次的内在逻辑仍然不够了解，还不足以将百分数这一概念与已有知识“分数”进行精确区分，学生可能会利用已经掌握的分数知识对百分数这一新概念进行理解和定义。由于“分数”和“百分数”仅有一字之差，尤其例题中将分母全部转化为100之后所获得的分数，被告知就是“百分数”之后，学生可能会将其同化纳入已有的“分数”概念体系之中。因此，在进行百分数的符号意识培养时，当学生形成了初步的概念后，教师应当注重利用对比的方式帮助学生厘清分数与百分数之间的异同，帮助学生深入地理解百分数的具体含义，从本质上准确地理解“%”这一符号的内涵，明确“%”是一个独立符号。
三、综合实践，深刻体验符号
能在具体问题情境中使用符号，正确分析、灵活解决所涉及的数学问题，是衡量学生是否真正形成符号意识的重要标志。从生活经验到抽象概念再具体运用的思维形成过程，也是学生对符号概念的表象经验进行整理、厘清、改造、重組，发现并掌握数学概念的本质特征及规律，最终内化为自身符号意识，并将其运用于实践的过程。因此，教师应当注重设计实践活动，帮助学生尝试将已经掌握的符号运用于实际生活之中，不断巩固、印证习得的新符号知识，最终形成符号意识并提高符号运用能力。为了帮助学生实现对百分数的深入理解，将“%”精准地纳入符号知识网络，笔者在教学《百分数的认识》一课时设计了以下实践练习。
首先，笔者给出一些百分数，如9.4%、30%、70%、89%、50%、135%、100%，0.01%、23%等，再给出一些填空题，让学生选择适合的百分数分别填入括号中。
1.一条路走过了（ ），还剩下全程的（ ）。
2.这种感冒药对感冒患者的治愈率很高，达到了（ ）。
3.由于采用了先进的培育技术，今年果树结了更多的果子，产量相当于去年产量的（ ）。
4.我校学生的近视率有所上升，达到了（ ）。
5.两个好朋友平分披萨吃，每人分到的量是整个披萨的（ ）。
学生经过思考后写下了各自的答案，绝大部分学生的选择如下：
1.30%，70%;2.89%;3.135%;4.23%;5.50%。
在本次练习实践中，学生基本上能够正确作答，说明他们真正理解了百分数的符号含义，并且能够结合具体的语境，筛选出最合理的选项，准确将符号的意义与描述的事件挂钩，使教学实现了加深理解符号、体验符号内涵的目的。
课堂时间有限，不宜开展太多的活动，教师可以布置一些课后作业——寻找日常生活中更多的百分数现象，以拓展课堂教学的宽度。有学生找到了一些衣服标签，其中毛衣标签上标注着含羊毛70%、化纤30%，棉布衣服标签上标注着含棉88%、氨纶3%、涤纶9%等。有学生罗列出新闻报道中提到的经济增长率、人口出生率、死亡率、犯罪率、发病率、银行存款利率等。还有学生找到一盒牛肉干，其包装盒上的营养成分表为：每100克牛肉干，蛋白质23.6克、脂肪6.1克、碳水化合物51.2克、钠1.35克。他认为，牛肉干成分表中虽然没有直接注明百分数，但也包含有百分数的意义，无需计算便能够得出结论，即蛋白质的比例是23.6%、脂肪的比例是6.1%、碳水化合物的比例是51.2%、钠的比例是1.35%。
通过大量的实践练习，学生逐渐构建出百分比的认知框架，并能够运用百分数符号描述身边的具体事物、解决生活中遇到的实际问题，成功建立起符号意识。
在小学数学教学中培养学生的符号意识，教师需要注重生活经验与数学知识的关联和统一，并科学设计具体的教学情境，善用比较、图例等手法，帮助学生深入理解符号所包含的准确内涵，避免发生概念混淆和外延的情况。同时，教师还要注重培养学生将抽象符号运用于具体生活问题的能力，使其通过已有数学知识经验及实践操作构建符号意识，增强符号运用能力，在抽象的数学概念学习中体会符号的简洁、精确之美。
【作者简介】吴锋高（1972— ），男，汉族，大学本科学历，一级教师，现就职于福建省龙岩市上杭县南阳第二中心小学，研究方向为小学数学教育。
（责编 黄健清）