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【摘要】本文阐述了在方程(组)的教学中如何向学生渗透类比思想和集合思想,培养转化思想、方程思想、分类讨论思想和数形结合思想,使学生掌握消元法、换元法、待定系数法、配方法等数学方法。
【关键词】数学思想 数学方法 数学素养
在数学教学中,老师们都会非常重视数学基础知识的教学与基本技能的训练,但常会忽略对学生进行数学思想方法的渗透和培养。数学思想是数学的灵魂,评价一个学生数学素养的一个重要标志就是看他能否用数学思想方法解决实际问题。因此,教学中一定要根据教材的特点和学生身心特征,有计划、分层次地对学生进行数学思想的渗透和培养,让学生了解、理解或掌握一些数学方法。下面,我谈一谈在方程(组)的教学中如何渗透和培养学生的数学思想。
一、在方程(组)概念的教学中渗透类比思想和集合思想
例如:教“一元一次方程”的概念时,举出几个学生熟悉的实际问题,让学生列出方程(问题略)。
①2x=4;②7(x-2)+x=6;③x-x=1;④x-=4。
让学生找出几个方程的共同点(都只有一个未知数,未知数的次数都是1),得出一元一次方程的概念。
再写出几个式子:①x+2=0;②x2+1=4;③x+2y=6;④4x=0;⑤x+3>4。
让学生判断哪些是一元一次方程,说出理由。
在这个过程中,就渗透了类比的思想,学生体会了归纳、演绎的数学方法。
初三复习时,通过将所学方程进行适当的分类,可让学生了解集合思想。
二、在解方程(组)的教学中培养学生转化(化归)的数学思想
转化(化归)的数学思想是初中最重要的数学思想,贯穿整个初中教材,尤其在方程(组)的解法中用得多,常见的表现形式有如下几种:
1、消元法
例1:解方程组
解:(略)
这个方程组的解法就是运用消元法(代入消元法或加减消元法)消去一个未知数,把二元一次方程转化为已学过的一元一次方程。
2、降次法
例2:解方程(2x+3)2-(2x+3)(x-1)=0
析解:方程左边分解因式得(2x+3)(x+4)=0
2x+3=0或x+4=0,解得:x1=-1.5,x2=-4
这个过程就是通过因式分解降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
3、配方法
例3:解方程x2+4x+y2-2y+5=0
析解:方程化为(x+2)2+(y-1)2=0
根据非负数性质:x+2=0且y-1=0
解得:x=-2,y=1。
这里就是通过配方,把一个二元二次方程转化为两个一元一次方程。
4、换元法
例4:解方程(x+)2+3(x+)=10
析解:设x+=y,原方程可化为y2+3y=10。
解得:y1=-5,y2=2
y=-5时,x+=-5,解得:x=;
y=2时,x+=2,解得:x=1。
∴原方程的解是:x1=,x2=,x3=1
这里就是通过换元,把较复杂的方程转化为熟知的一元二次方程。
5、待定系数法
例5:已知方程组的解是,求2a-3b 的值。
分析:把代入原方程组,得,求出a、b,再求出2a-3b的值。
这里就是运用待定系数法,把关于x、y的方程组转化为关于a、b的方程组。
三、在应用题教学中培养学生数学思想
问题是数学的心脏,列方程(组)解决实际问题是教学的重点之一。通过应用题教学可以培养学生很多数学思想,提高学生的能力,首先列方程(组)就运用了转化的思想,把实际问题转化为数学模型,在分析实际问题时还可培养学生数形结合思想、分类讨论思想等。
例6:A、B两地相距23km,甲从A地到B地,在B地休息20分钟后再返回A地;乙从B地到A地停留30分钟返回B地。甲、乙同时出发,经过5小时在返回的途中相遇,已知甲比乙每小时多走3km。求甲、乙两人的速度。
分析:这个题较复杂,初一的学生很难找到等量关系,我们可以画线段图帮助分析。
从图上很容易看出等量关系:甲、乙的路程和=23×3。
设乙的速度为x千米/时,则甲的速度为(x+3)千米/时。
由于甲的时间是小时,乙的时间是小时。
列方程:(x+3)+x=23×3
解得:x=6
画线段图就运用了数形结合思想,数形结合思想能帮助我们看清问题的本质,促进问题的解决。
例7:如图,已知矩形ABCD的边AB=4cm,AD=8cm,动点P从D出发,以每秒1cm的速度向A运动,动点Q从A出发,以每秒2cm的速度沿A→B→C→D运动(到D点为止),若P、Q同时出发,几秒时,△APQ的面积为7cm2?
析解:这个题要分三种情况讨说。设运动时间t秒。
⑴当0≤t≤2时,Q在AB上,如图(一)
S△APQ=·2t(8-t)=7
t2-8t+7=0,t1=1,t2=7(舍去)
⑵当2≤t≤6时,Q在BC上,如图(二)
S△APQ=(8-t)×4=7
解得:t=4.5
⑶当6≤t≤8时,Q在CD上,如图(三)
此时,AP=8-t,DQ=16-2t
S△APQ=AP·DQ
(8-t)(16-2t)=7,即(8-t)2=7
t1=8-<6(舍去),t2=8+>8(舍去)
因此,当P、Q运动1秒或4.5秒时,△APQ的面积为7cm2。
这个问题的解法,就运用了分类讨论思想。
对学生进行数学思想的渗透和培养必须坚持循序渐进的原则,有计划地进行,在基础知识的教学、基本技能的训练和解决实际问题的过程中,训练数学方法,理解数学思想,努力提高学生的数学素养。
【关键词】数学思想 数学方法 数学素养
在数学教学中,老师们都会非常重视数学基础知识的教学与基本技能的训练,但常会忽略对学生进行数学思想方法的渗透和培养。数学思想是数学的灵魂,评价一个学生数学素养的一个重要标志就是看他能否用数学思想方法解决实际问题。因此,教学中一定要根据教材的特点和学生身心特征,有计划、分层次地对学生进行数学思想的渗透和培养,让学生了解、理解或掌握一些数学方法。下面,我谈一谈在方程(组)的教学中如何渗透和培养学生的数学思想。
一、在方程(组)概念的教学中渗透类比思想和集合思想
例如:教“一元一次方程”的概念时,举出几个学生熟悉的实际问题,让学生列出方程(问题略)。
①2x=4;②7(x-2)+x=6;③x-x=1;④x-=4。
让学生找出几个方程的共同点(都只有一个未知数,未知数的次数都是1),得出一元一次方程的概念。
再写出几个式子:①x+2=0;②x2+1=4;③x+2y=6;④4x=0;⑤x+3>4。
让学生判断哪些是一元一次方程,说出理由。
在这个过程中,就渗透了类比的思想,学生体会了归纳、演绎的数学方法。
初三复习时,通过将所学方程进行适当的分类,可让学生了解集合思想。
二、在解方程(组)的教学中培养学生转化(化归)的数学思想
转化(化归)的数学思想是初中最重要的数学思想,贯穿整个初中教材,尤其在方程(组)的解法中用得多,常见的表现形式有如下几种:
1、消元法
例1:解方程组
解:(略)
这个方程组的解法就是运用消元法(代入消元法或加减消元法)消去一个未知数,把二元一次方程转化为已学过的一元一次方程。
2、降次法
例2:解方程(2x+3)2-(2x+3)(x-1)=0
析解:方程左边分解因式得(2x+3)(x+4)=0
2x+3=0或x+4=0,解得:x1=-1.5,x2=-4
这个过程就是通过因式分解降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
3、配方法
例3:解方程x2+4x+y2-2y+5=0
析解:方程化为(x+2)2+(y-1)2=0
根据非负数性质:x+2=0且y-1=0
解得:x=-2,y=1。
这里就是通过配方,把一个二元二次方程转化为两个一元一次方程。
4、换元法
例4:解方程(x+)2+3(x+)=10
析解:设x+=y,原方程可化为y2+3y=10。
解得:y1=-5,y2=2
y=-5时,x+=-5,解得:x=;
y=2时,x+=2,解得:x=1。
∴原方程的解是:x1=,x2=,x3=1
这里就是通过换元,把较复杂的方程转化为熟知的一元二次方程。
5、待定系数法
例5:已知方程组的解是,求2a-3b 的值。
分析:把代入原方程组,得,求出a、b,再求出2a-3b的值。
这里就是运用待定系数法,把关于x、y的方程组转化为关于a、b的方程组。
三、在应用题教学中培养学生数学思想
问题是数学的心脏,列方程(组)解决实际问题是教学的重点之一。通过应用题教学可以培养学生很多数学思想,提高学生的能力,首先列方程(组)就运用了转化的思想,把实际问题转化为数学模型,在分析实际问题时还可培养学生数形结合思想、分类讨论思想等。
例6:A、B两地相距23km,甲从A地到B地,在B地休息20分钟后再返回A地;乙从B地到A地停留30分钟返回B地。甲、乙同时出发,经过5小时在返回的途中相遇,已知甲比乙每小时多走3km。求甲、乙两人的速度。
分析:这个题较复杂,初一的学生很难找到等量关系,我们可以画线段图帮助分析。
从图上很容易看出等量关系:甲、乙的路程和=23×3。
设乙的速度为x千米/时,则甲的速度为(x+3)千米/时。
由于甲的时间是小时,乙的时间是小时。
列方程:(x+3)+x=23×3
解得:x=6
画线段图就运用了数形结合思想,数形结合思想能帮助我们看清问题的本质,促进问题的解决。
例7:如图,已知矩形ABCD的边AB=4cm,AD=8cm,动点P从D出发,以每秒1cm的速度向A运动,动点Q从A出发,以每秒2cm的速度沿A→B→C→D运动(到D点为止),若P、Q同时出发,几秒时,△APQ的面积为7cm2?
析解:这个题要分三种情况讨说。设运动时间t秒。
⑴当0≤t≤2时,Q在AB上,如图(一)
S△APQ=·2t(8-t)=7
t2-8t+7=0,t1=1,t2=7(舍去)
⑵当2≤t≤6时,Q在BC上,如图(二)
S△APQ=(8-t)×4=7
解得:t=4.5
⑶当6≤t≤8时,Q在CD上,如图(三)
此时,AP=8-t,DQ=16-2t
S△APQ=AP·DQ
(8-t)(16-2t)=7,即(8-t)2=7
t1=8-<6(舍去),t2=8+>8(舍去)
因此,当P、Q运动1秒或4.5秒时,△APQ的面积为7cm2。
这个问题的解法,就运用了分类讨论思想。
对学生进行数学思想的渗透和培养必须坚持循序渐进的原则,有计划地进行,在基础知识的教学、基本技能的训练和解决实际问题的过程中,训练数学方法,理解数学思想,努力提高学生的数学素养。