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中学数学最值问题遍及代数、三角,立体几何及解析几何各科之中,且与生产实际联系密切,最值问题有两个特点:①覆盖多个知识点(如二次曲线标准方程,各元素间关系,对称性,四边形面积,解二元二次方程组,基本不等式等)②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多(诸如配方法,判别式法,参数法,不等式,函数的性质等),计算量大,能力要求高。
常见求法:
1、回到定义
例1、已知椭圆,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,求:(1)求 |PA|+|PB|的最小值;(2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值。
略解:(1)A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义,
∴.问题转化为在椭圆上找一点P,使其到点B和右准线的距离之和最小,很明显点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点,最小值为 。
(2)由椭圆的第一定义,设C为椭圆的左焦点,则|PA|=2a-|PC|
∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根据三角形中,两边之差小于第三边,当P运动到与B、C成一条直线时,便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时,|PB| -|PC|=|BC|,|PA|+|PB|有最大值,最大值为10+|BC|=;当P到P"位置时,|PB| -|PC|=-|BC|,|PA|+|PB|有最小值,最小值为10-|BC|=。
回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外,(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的。
2、利用闭区间上二次函数最值的求法
例2、在抛物线 上求一点,使它到直线y=4x-5的距离最短。
解:设抛物线上的点 ,点P到直线4x-y-5=0的距离
例3、已知一曲线,(1)设点A的坐标为 ,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离 |PA|;(2)设点A的坐标为(a,0)a∈R,求曲线上点到点A距离最小值d,并写出d=f(a)的函数表达式。
解:(1)设M(x,y)是曲线上任意一点,则
∵ x≥0
∴所求P点的坐标是(0,0),相应的距离是
(2)设M(x,y)是曲线上任意一点,同理有
3、运用函数的性质
例4、在△ABC中 的对边分别为a,b,c,且c=10, ,,P为△ABC内切圆上动点,求点P到顶点A,B,C的距离的平方和最大值与最小值。
解:由
∵∴ ∴△ABC为Rt△由C=10,且知a=6 b=8
设△ABC内切圆半径为r,如图建立直角坐标系,则Rt△ABC的内切圆M的方程为:
设圆M上动点P(x,y)(),则P点到顶点A,B,C的距离的平方和为
∵点P在内切圆M上, ,于是
例5、直线m:y=kx+1和双曲线 的左支交于A,B两点,直线L过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求L在y轴上的截距b的取值范围。
略解:设将y=kx+1代入x2-y2=1得(1-k2)x2-2kx-2=0,由题意,△>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得 ,M,Q(0,b)共线,
得,即
下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数,
可得。
例6、已知P是椭圆 在第一象限内的点,A(2,0),B(0,1),O为原点,求四边形OAPB的面积的最大值。
略解:设P(2cosθ,sinθ),(0<θ<л/2),点P到直线AB:x+2y=2的距离
∴所求面积的最大值为
本例利用三角函数的有界性。反过来,有些代数最值问题可以转化为解析几何问题,利用几何直观来解决.
4、判别式法
例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标。
解:设点A、B的坐标分别为 , ,
那么,①由题意,得
②,又AB的中点M(x,y)到y轴的距离为 ③,将① ③ 代入② 整理得④,∵ 为实数,故△= 又∵x>0得 ⑤,
当 时,△=0由④解得⑥,,
可得⑦,由 ⑥,⑦可得, ,由①即得相应的, 。 故AB的中点M距y轴最短距离为 ,
且相应的中点坐标为 或 。
说明:此法即为下面的基本不等式法。
5、利用基本不等式
例8、已知椭圆,F1,F2为其两焦点,P为椭圆上任一点。求:
(1)|PF1||PF2|的最大值;(2)的最小值。
略解:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4,|PF1||PF2|=mn≤ =4.
作者单位:江苏省扬州市邗江区瓜洲中学
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常见求法:
1、回到定义
例1、已知椭圆,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,求:(1)求 |PA|+|PB|的最小值;(2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值。
略解:(1)A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义,
∴.问题转化为在椭圆上找一点P,使其到点B和右准线的距离之和最小,很明显点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点,最小值为 。
(2)由椭圆的第一定义,设C为椭圆的左焦点,则|PA|=2a-|PC|
∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根据三角形中,两边之差小于第三边,当P运动到与B、C成一条直线时,便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时,|PB| -|PC|=|BC|,|PA|+|PB|有最大值,最大值为10+|BC|=;当P到P"位置时,|PB| -|PC|=-|BC|,|PA|+|PB|有最小值,最小值为10-|BC|=。
回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外,(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的。
2、利用闭区间上二次函数最值的求法
例2、在抛物线 上求一点,使它到直线y=4x-5的距离最短。
解:设抛物线上的点 ,点P到直线4x-y-5=0的距离
例3、已知一曲线,(1)设点A的坐标为 ,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离 |PA|;(2)设点A的坐标为(a,0)a∈R,求曲线上点到点A距离最小值d,并写出d=f(a)的函数表达式。
解:(1)设M(x,y)是曲线上任意一点,则
∵ x≥0
∴所求P点的坐标是(0,0),相应的距离是
(2)设M(x,y)是曲线上任意一点,同理有
3、运用函数的性质
例4、在△ABC中 的对边分别为a,b,c,且c=10, ,,P为△ABC内切圆上动点,求点P到顶点A,B,C的距离的平方和最大值与最小值。
解:由
∵∴ ∴△ABC为Rt△由C=10,且知a=6 b=8
设△ABC内切圆半径为r,如图建立直角坐标系,则Rt△ABC的内切圆M的方程为:
设圆M上动点P(x,y)(),则P点到顶点A,B,C的距离的平方和为
∵点P在内切圆M上, ,于是
例5、直线m:y=kx+1和双曲线 的左支交于A,B两点,直线L过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求L在y轴上的截距b的取值范围。
略解:设将y=kx+1代入x2-y2=1得(1-k2)x2-2kx-2=0,由题意,△>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得 ,M,Q(0,b)共线,
得,即
下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数,
可得。
例6、已知P是椭圆 在第一象限内的点,A(2,0),B(0,1),O为原点,求四边形OAPB的面积的最大值。
略解:设P(2cosθ,sinθ),(0<θ<л/2),点P到直线AB:x+2y=2的距离
∴所求面积的最大值为
本例利用三角函数的有界性。反过来,有些代数最值问题可以转化为解析几何问题,利用几何直观来解决.
4、判别式法
例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标。
解:设点A、B的坐标分别为 , ,
那么,①由题意,得
②,又AB的中点M(x,y)到y轴的距离为 ③,将① ③ 代入② 整理得④,∵ 为实数,故△= 又∵x>0得 ⑤,
当 时,△=0由④解得⑥,,
可得⑦,由 ⑥,⑦可得, ,由①即得相应的, 。 故AB的中点M距y轴最短距离为 ,
且相应的中点坐标为 或 。
说明:此法即为下面的基本不等式法。
5、利用基本不等式
例8、已知椭圆,F1,F2为其两焦点,P为椭圆上任一点。求:
(1)|PF1||PF2|的最大值;(2)的最小值。
略解:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4,|PF1||PF2|=mn≤ =4.
作者单位:江苏省扬州市邗江区瓜洲中学
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