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APOS理论是一种建构主义的数学学习理论，是由美国数学教育学家杜宾斯基（Dubinsky）等人提出的。APOS分别是由英文“Action（操作）”“Process（过程）“Object（对象）”“Scheme（图式）”的第一个字母组合而成。APOS理论认为：在数学学习中，如果引导个体通过具体的操作行为到思维的操作，再到过程和对象阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组合成图式，从而理清问题情境，顺利解决问题。通过查阅有关文献我们发现，国内外研究者主要关注APOS理论在数学概念教学中的应用，并取得了一定的成果，而关注APOS理论在数学法则教学中的应用研究却很少。因此，笔者尝试将APOS理论运用到初中数学法则的教学中，并以新人教版七年级上册第三章3.3《解一元一次方程——去分母》教学为例，阐述教学实践与教学思考。
一、教学过程
（一）操作阶段——创设情境，引入法则
“操作”泛指数学活动，如动手操作、猜想、回忆、计算、推理等。为了让学生通过操作、思考和讨论等数学活动来解决问题，笔者创设了如下问题情境：
《九章算术》是中国古代具有代表性的数学著作，它奠定了中国古代数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就。《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？”译文：“有若干个人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多余11文钱；如果每人出6文钱，还缺16文钱.问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？”
然后用课件出示问题情境和相关图片，并提问：
问题1：我们如何设未知数列方程呢？
此问题情境属于中国古代数学的“盈不足问题”，在利用“移项”解一元一次方程中学生已经学习过，因此学生能较快得到如下解答：设人数有x人，根据题意列出方程9x-11=6x 16①，解得x=9，再把x=9代入（9x-11）可得鸡的价钱是70文钱。
教师及时肯定学生的解法，并追问：
问题2：如果设鸡的价钱是m文钱，那么我们又该如何列方程呢？
学生：设鸡的价钱是m文钱，如果每人出9文钱，就多余11文钱，那么所有人出的总钱数是（m 11）文钱，所以共有■人；如果每人出6文钱，还缺16文钱，那么所有人出的总钱数是（m-16）文钱，所以共有■人。由于买鸡人数是一个定值，从而列出方程■=■②。
问题3：方程①与方程②之间有怎样的联系？
学生：方程①是根据鸡的价钱不变列方程的，方程②是根据买鸡人数不变列方程的。事实上，由于9x-11=6x 16=m，通过移项、系数化为1可得：x=■=■，因此可得方程：■=■②，这说明方程①与方程②在本问题中是等价的。
以学生熟悉的“盈不足问题”创设情境引入新课，营造轻松的学习环境，使学生产生较强的求知欲望。通过同一道题目两种不同的设未知数方法，巧妙地把新旧知识联系在一起，既复习了学过的知识，又引出了带有分数系数的一元一次方程，直接指向本节课的教学内容。
（二）过程阶段——合作交流，习得法则
过程阶段是在操作阶段的基础上进行思考与概括、描述与整合，是在大脑中进行的一种内部的心理建构，进而形成一种模式的阶段。
教师继续提问，引导学生分析思考：
问题4：方程②该如何求解呢？
在教师的引导下，学生进行了热烈的讨论，其中三名学生说出了各自的想法。
学生①：我们可以把方程②转化为■（m 11）=■（m-16），然后根据前面学过的解法求出方程的解。
学生②：根据比例的内项之积等于外项之积，那么方程②就可以直接转化为9（m-16）=6（m 11），然后根据前面学过的解法求出方程的解。
学生③：前面我们已经学习了等式的性质2，那么方程②两边同时乘以18，可以得到2（m 11）=3（m-16），然后根据前面学过的解法求出方程的解。
三名学生的精彩回答赢得了全班同学热烈的掌声，教师顺势追问：
问题5：学生③的解法中方程②两边同时乘以18的目的是什么？还可以乘以其他数吗？
问题6：三种解法各有什么特点与联系？我们采用什么方法解方程■-■=0更好？
教师根据学生的回答并总结归纳：根据等式的性质2及乘法分配律，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数可以去分母。
至此，学生在已有经验基础上，经过思考、讨论，体会并理解了“去分母”这一数学法则的目的及依据，为后续解方程做好了铺垫。
接着，教师进行变式练习。通过变式训练，学生感受到了去分母方法的简便，同时对去分母的目的和依据有了进一步的理解。
（三）对象阶段——学习样例，理解法则
对象阶段是指给习得的法则赋予形式化的表达，使其成为一个具体的“对象”，此阶段可以使学生对所学的数学法则进一步精致化，从而达到对法则真正的理解。
教师出示例题1：解方程■-3x=1-■，并追问：
问题7：解含分数系数的一元一次方程的基本步骤有哪些？每一个步骤有什么注意事项？
问题8：以为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化的主要依据是什么？
学生独立完成例题1的解答，然后分组讨论问题7、问题8，在讨论过程中互相补充、完善，最后师生一起总结归纳得出结论。
教师用框图展示解法流程，并在黑板上板书解题过程如下，使学生更加明确其解题步骤，规范其书写格式，并及时总结解题过程中可能出现的错误，加深学生对數学法则的理解，从而使数学法则深深地建立在学生的头脑中，以后遇到含分数系数的方程就可以直接提取使用。
（四）图式阶段——拓展提高，应用法则 学生在经历了前三个阶段的学习，此时数学法则就以一种立体的、多层次的认知对象存在于脑海之中，这时的对象称为“图式”。在这一认知基础上去解决相关的问题，能促使学生对所学法则的认识更加全面、丰富、清晰，运用更加灵活。
笔者又出示了下列题组，供学生思考训练：
练习1：解方程■-■=1.6。
练习2：若式子■与■的值互为相反数，求a的值。
练习3：如果关于x的方程
2（x-1）-5=3 x与方程■ ■=x-4的解相同，求m的值。
有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。”你知道丢番图去世时的年龄吗？
本题组从不同的角度考查学生对去分母的理解程度，促使学生對学习的法则进行迁移、应用。练习1分母由整数变成了小数，考查学生对去分母的方法是否掌握；练习2中的未知数由替换为，并且以相反数的知识为情境，要求学生先列出方程再求解；练习3结合方程的解的概念考查一元一次方程的解法。
最后教师以思考题的形式引导学生小结：
问题9：本节课学习了哪些主要内容？
问题10：去分母法则是怎么得到的？去分母法则的依据是什么？应用去分母法则时应该注意什么问题？
通过题组练习和课堂小结，深化了学生对去分母的理解，完善了学生的认知结构， “图式”基本上形成了，以后当学生遇到含分数系数的方程时，学生就会积极调动与之相关的图式，正向迁移，顺利地解决问题。
二、教学思考
APOS理论与《义务教育数学课程标准》（2011年版）所倡导的“自主探索、动手实践、合作交流”的教学理念不谋而合。但另一方面，也要看到并不是所有数学法则课的教学都适合用APOS理论来分析，什么教学内容适合运用APOS理论进行指导，这是一个值得探究的问题。其次，APOS理论的四个阶段应将其视为一个连续的过程，既不能割裂开来，也不能绝对化，实际操作中往往会有相互穿插的情况出现，但达到图式水平的教学目标不变，如何将教学环节与APOS理论的四个阶段建立实质上的联系，是一项富有挑战性的工作。
【基金项目：本文系广州市教育科学规划2016年度课题“基于APOS理论的初中数学公式有效教学研究”（立项编号：1201554222）与广州市越秀区教育科学“十三五”规划2016年度立项课题“基于APOS理论的初中数学公式法则有效教学研究”（课题审批号：越学科类[2016]13号）的研究成果。】
责任编辑罗峰
一、教学过程
（一）操作阶段——创设情境，引入法则
“操作”泛指数学活动，如动手操作、猜想、回忆、计算、推理等。为了让学生通过操作、思考和讨论等数学活动来解决问题，笔者创设了如下问题情境：
《九章算术》是中国古代具有代表性的数学著作，它奠定了中国古代数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就。《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？”译文：“有若干个人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多余11文钱；如果每人出6文钱，还缺16文钱.问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？”
然后用课件出示问题情境和相关图片，并提问：
问题1：我们如何设未知数列方程呢？
此问题情境属于中国古代数学的“盈不足问题”，在利用“移项”解一元一次方程中学生已经学习过，因此学生能较快得到如下解答：设人数有x人，根据题意列出方程9x-11=6x 16①，解得x=9，再把x=9代入（9x-11）可得鸡的价钱是70文钱。
教师及时肯定学生的解法，并追问：
问题2：如果设鸡的价钱是m文钱，那么我们又该如何列方程呢？
学生：设鸡的价钱是m文钱，如果每人出9文钱，就多余11文钱，那么所有人出的总钱数是（m 11）文钱，所以共有■人；如果每人出6文钱，还缺16文钱，那么所有人出的总钱数是（m-16）文钱，所以共有■人。由于买鸡人数是一个定值，从而列出方程■=■②。
问题3：方程①与方程②之间有怎样的联系？
学生：方程①是根据鸡的价钱不变列方程的，方程②是根据买鸡人数不变列方程的。事实上，由于9x-11=6x 16=m，通过移项、系数化为1可得：x=■=■，因此可得方程：■=■②，这说明方程①与方程②在本问题中是等价的。
以学生熟悉的“盈不足问题”创设情境引入新课，营造轻松的学习环境，使学生产生较强的求知欲望。通过同一道题目两种不同的设未知数方法，巧妙地把新旧知识联系在一起，既复习了学过的知识，又引出了带有分数系数的一元一次方程，直接指向本节课的教学内容。
（二）过程阶段——合作交流，习得法则
过程阶段是在操作阶段的基础上进行思考与概括、描述与整合，是在大脑中进行的一种内部的心理建构，进而形成一种模式的阶段。
教师继续提问，引导学生分析思考：
问题4：方程②该如何求解呢？
在教师的引导下，学生进行了热烈的讨论，其中三名学生说出了各自的想法。
学生①：我们可以把方程②转化为■（m 11）=■（m-16），然后根据前面学过的解法求出方程的解。
学生②：根据比例的内项之积等于外项之积，那么方程②就可以直接转化为9（m-16）=6（m 11），然后根据前面学过的解法求出方程的解。
学生③：前面我们已经学习了等式的性质2，那么方程②两边同时乘以18，可以得到2（m 11）=3（m-16），然后根据前面学过的解法求出方程的解。
三名学生的精彩回答赢得了全班同学热烈的掌声，教师顺势追问：
问题5：学生③的解法中方程②两边同时乘以18的目的是什么？还可以乘以其他数吗？
问题6：三种解法各有什么特点与联系？我们采用什么方法解方程■-■=0更好？
教师根据学生的回答并总结归纳：根据等式的性质2及乘法分配律，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数可以去分母。
至此，学生在已有经验基础上，经过思考、讨论，体会并理解了“去分母”这一数学法则的目的及依据，为后续解方程做好了铺垫。
接着，教师进行变式练习。通过变式训练，学生感受到了去分母方法的简便，同时对去分母的目的和依据有了进一步的理解。
（三）对象阶段——学习样例，理解法则
对象阶段是指给习得的法则赋予形式化的表达，使其成为一个具体的“对象”，此阶段可以使学生对所学的数学法则进一步精致化，从而达到对法则真正的理解。
教师出示例题1：解方程■-3x=1-■，并追问：
问题7：解含分数系数的一元一次方程的基本步骤有哪些？每一个步骤有什么注意事项？
问题8：以为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化的主要依据是什么？
学生独立完成例题1的解答，然后分组讨论问题7、问题8，在讨论过程中互相补充、完善，最后师生一起总结归纳得出结论。
教师用框图展示解法流程，并在黑板上板书解题过程如下，使学生更加明确其解题步骤，规范其书写格式，并及时总结解题过程中可能出现的错误，加深学生对數学法则的理解，从而使数学法则深深地建立在学生的头脑中，以后遇到含分数系数的方程就可以直接提取使用。
（四）图式阶段——拓展提高，应用法则 学生在经历了前三个阶段的学习，此时数学法则就以一种立体的、多层次的认知对象存在于脑海之中，这时的对象称为“图式”。在这一认知基础上去解决相关的问题，能促使学生对所学法则的认识更加全面、丰富、清晰，运用更加灵活。
笔者又出示了下列题组，供学生思考训练：
练习1：解方程■-■=1.6。
练习2：若式子■与■的值互为相反数，求a的值。
练习3：如果关于x的方程
2（x-1）-5=3 x与方程■ ■=x-4的解相同，求m的值。
有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。”你知道丢番图去世时的年龄吗？
本题组从不同的角度考查学生对去分母的理解程度，促使学生對学习的法则进行迁移、应用。练习1分母由整数变成了小数，考查学生对去分母的方法是否掌握；练习2中的未知数由替换为，并且以相反数的知识为情境，要求学生先列出方程再求解；练习3结合方程的解的概念考查一元一次方程的解法。
最后教师以思考题的形式引导学生小结：
问题9：本节课学习了哪些主要内容？
问题10：去分母法则是怎么得到的？去分母法则的依据是什么？应用去分母法则时应该注意什么问题？
通过题组练习和课堂小结，深化了学生对去分母的理解，完善了学生的认知结构， “图式”基本上形成了，以后当学生遇到含分数系数的方程时，学生就会积极调动与之相关的图式，正向迁移，顺利地解决问题。
二、教学思考
APOS理论与《义务教育数学课程标准》（2011年版）所倡导的“自主探索、动手实践、合作交流”的教学理念不谋而合。但另一方面，也要看到并不是所有数学法则课的教学都适合用APOS理论来分析，什么教学内容适合运用APOS理论进行指导，这是一个值得探究的问题。其次，APOS理论的四个阶段应将其视为一个连续的过程，既不能割裂开来，也不能绝对化，实际操作中往往会有相互穿插的情况出现，但达到图式水平的教学目标不变，如何将教学环节与APOS理论的四个阶段建立实质上的联系，是一项富有挑战性的工作。
【基金项目：本文系广州市教育科学规划2016年度课题“基于APOS理论的初中数学公式有效教学研究”（立项编号：1201554222）与广州市越秀区教育科学“十三五”规划2016年度立项课题“基于APOS理论的初中数学公式法则有效教学研究”（课题审批号：越学科类[2016]13号）的研究成果。】
责任编辑罗峰