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高中数学教材中线性规划一节充分体现数与形结合的数学思想，有机的把不等关系与平面区域结合起来，是求最值的重要方法，具有很强的应用价值。知识应用覆盖面宽，纵向跨度大，是函数、解析几何、平面几何、三角、向量等知识的交汇点，倍受高考命题的青睐。但是教师在教学中总有散而不聚理还乱之感，学生在学习中深感图难画、理难懂、式难变。为了提高教学时效，便于学生掌握学习的方法，设置了一道利用线性规划求最值的习题，通过实践取得了较好效果，现在分享给大家。
例： 已知[px，y]满足[x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0]所表示的平面区域D
（1） <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image31.pdf>
求区域D[x+y-4=0] [x=1] [2x-y-2=0]
（2） 求满足[x-122+y-322≤1]的概率
（3） 求[z=12x-y+2]的最小值
（4） 求[z=12x-y+2]的最小值
（5） 求[z=][y+3x+2]的值域[]
（6） 求[z=x2+y2+2x-4y+20]的最值
（7） 求[z=][2x+y+3x+1]的值域[]
（8） 求[z=][x-2yx+y]的值域[]
（9） 若[M12，-1][]求[OPcos∠MOP]的最小值
（10） 若平面区域[D]被直线[y=kx-2k+2]分得的面积相等的两部分，求[k]的值
（11） 若指数函数[y=ax-2]的图像上存在区域[D]上的点，求a的取值范围
（12） 若[z=ax+y+2a∈R]取得最大值的最优解有无穷多个，求[a]的取值范围
（13） 若[z=ax+y+2a∈R]取得最大值时的唯一最优解是[1，3]，求[a]的取值范围[]
解析：画出可行域，如图所示，并求得[A2，2] [B1，3] [C1，0] []
⑴由于区域[D]是[ΔABC]区域，∵[A2，2] ∴点[A]到的[BC]距离为[d=1] 又[BC][=3] 可得[ΔABC]的面积[SΔABC=12BC×d=12×3×1=32]
⑵如图所示，[x-122+y-322≤1]表示的区域是以[E12，32]为圆心，以[1]为半径的圆或圆的内部，落在区域[D]内的部分是一个弓形（阴影部分），弓形的面积[S弓形=S扇EMN-SΔEMN=12×23π×12-12×1×1×sin1200=π3-34] 由[SΔABC=32][x-122+y-322≤1]
的概率是[P=S弓形SΔEMN=π3-34÷32=2π9-36]
⑶ 由[z=12x-y+2] 可得[y=12-z+2] ∴z的最小值就是[y=12x]在可行域D上平移时截距最大时对应的值，由图知[z=12x-y+2]过[B1，3]点取得最小值，的最小值是[-12]
⑷ 同⑶可知[z=12x-y+2] 在[C1，0]处取得最大值，最大值是[52] 结合⑶得[z=12x-y+2]的最小值是-[12]，[z=12x-y+2] 的值域是[0，52] ， 所以[z=12x-y+2]的最小值为0
⑸[z=][y+3x+2]表示点[px，y]与点[Q-2，-3]所在直线的斜率，即z[∈KQC，，KQB] ，又知[KQC=1] [KQB=2] 所以[z=][y+3x+2]的值域为[1，2]
⑹ 由[z=x2+y2+2x-4y+20]变形得[z=x+12+y-22+15] 而[X+12+y-22]表示点F[-1，2]与点[px，y]间距离的平方，点F[-1，2]到可行域最小值就是点F[-1，2]到直线[BC]的距离，点F[-1，2]到直线x=1的距离是[2]，平方结果是[4]，[FB2=5] [FC2=8] [FA2=9] ∴F[-1，2]到[px，y]距离平方最大值为9， 由此得到[z=x2+y2+2x-4y+20]最小值是19 最大值是24
⑺ 由[Z=][2x+y+3x+1]变形为[Z=][2（x+1）+y+1x+1][=2+][y+1x+1] 而[y+1x+1]表示点[Q-1，-1][]与[Px，y]构成直线的斜率，由图知[y+1x+1]最小值是直线[QC]的斜率[12]，最大值是直线[QB]的斜率2，所以[z=][2x+y+3x+1]得值域是[52，4]
⑻ 把原式变形得[z=][x+y-3yx+y=1-3yx+y=1-3xy+1] 同⑺的道理得[yx∈0，3]得到[xy]的取值范围是[13，+∞]得到—[3xy+1][∈[-94，0）] 所以[z][∈[-54，1）]
⑼[OPcos∠MOP]=[OP][OM?OPOMOP]=[（12，-1）（x.y）52]=[212x-y5] 由图知[x-2y的最小值为-5] 所以[OPcos∠MOP]的最小值是-[5]
⑽容易看出直线[y=kx-2k+2]过定点[A2，2]由图知直线把平面区域分成面积相等的两部分，则直线[y=kx-2k+2][]过线段[BC]的中点[1，32]，由此得到[K=12]
⑾由平面区域在[y]轴右侧，又知[y=ax-2]恒过[0，-1]点，所以[a?1]，当曲线[y=ax-2]， 过[A]点得到[a=2]， 过[C]点得到2， 过点[B]得[a=5] ∴[2≤a≤5]
⑿ 由[z=ax+y+2a∈R]取得最大值的最优解有无穷多个，就是[y=-ax+z-2]在[y]轴截距最大值时的斜率为[-a]，需要分类解决。当[-a?0即a?0]时，若使得最优解有无穷多个，[-a就等于直线AB的斜率-1] 所以[-a=-1得到a=1] 当[a=0时]，不符合题意。当[-a?0即a?0]时，若使得最优解有无穷多个时，[-a]就等于直线[AC]的斜率[2]，但是此时z取最小值，也不符合题意，综上可得[a=1]
⒀若[z=ax+y+2a∈R]取得最大值时的唯一最优解是[1，3] ，也需要分类解决，当[-a≥0即a≤0时][z=ax+y+2a∈R]，在可行域上平移取得最大值时的唯一最优解就是[1，3] 所以[a≤0符合题意] [当-a?0即a?0]时，由直线的斜率关系可得[-a?-1又-a?o] 解得[0?a?1] 综上可得[a?1]。
例： 已知[px，y]满足[x≥1x+y-4≤02x-y-2≤0]所表示的平面区域D
（1） <E：＼123456＼速读·上旬201602＼Image＼image31.pdf>
求区域D[x+y-4=0] [x=1] [2x-y-2=0]
（2） 求满足[x-122+y-322≤1]的概率
（3） 求[z=12x-y+2]的最小值
（4） 求[z=12x-y+2]的最小值
（5） 求[z=][y+3x+2]的值域[]
（6） 求[z=x2+y2+2x-4y+20]的最值
（7） 求[z=][2x+y+3x+1]的值域[]
（8） 求[z=][x-2yx+y]的值域[]
（9） 若[M12，-1][]求[OPcos∠MOP]的最小值
（10） 若平面区域[D]被直线[y=kx-2k+2]分得的面积相等的两部分，求[k]的值
（11） 若指数函数[y=ax-2]的图像上存在区域[D]上的点，求a的取值范围
（12） 若[z=ax+y+2a∈R]取得最大值的最优解有无穷多个，求[a]的取值范围
（13） 若[z=ax+y+2a∈R]取得最大值时的唯一最优解是[1，3]，求[a]的取值范围[]
解析：画出可行域，如图所示，并求得[A2，2] [B1，3] [C1，0] []
⑴由于区域[D]是[ΔABC]区域，∵[A2，2] ∴点[A]到的[BC]距离为[d=1] 又[BC][=3] 可得[ΔABC]的面积[SΔABC=12BC×d=12×3×1=32]
⑵如图所示，[x-122+y-322≤1]表示的区域是以[E12，32]为圆心，以[1]为半径的圆或圆的内部，落在区域[D]内的部分是一个弓形（阴影部分），弓形的面积[S弓形=S扇EMN-SΔEMN=12×23π×12-12×1×1×sin1200=π3-34] 由[SΔABC=32][x-122+y-322≤1]
的概率是[P=S弓形SΔEMN=π3-34÷32=2π9-36]
⑶ 由[z=12x-y+2] 可得[y=12-z+2] ∴z的最小值就是[y=12x]在可行域D上平移时截距最大时对应的值，由图知[z=12x-y+2]过[B1，3]点取得最小值，的最小值是[-12]
⑷ 同⑶可知[z=12x-y+2] 在[C1，0]处取得最大值，最大值是[52] 结合⑶得[z=12x-y+2]的最小值是-[12]，[z=12x-y+2] 的值域是[0，52] ， 所以[z=12x-y+2]的最小值为0
⑸[z=][y+3x+2]表示点[px，y]与点[Q-2，-3]所在直线的斜率，即z[∈KQC，，KQB] ，又知[KQC=1] [KQB=2] 所以[z=][y+3x+2]的值域为[1，2]
⑹ 由[z=x2+y2+2x-4y+20]变形得[z=x+12+y-22+15] 而[X+12+y-22]表示点F[-1，2]与点[px，y]间距离的平方，点F[-1，2]到可行域最小值就是点F[-1，2]到直线[BC]的距离，点F[-1，2]到直线x=1的距离是[2]，平方结果是[4]，[FB2=5] [FC2=8] [FA2=9] ∴F[-1，2]到[px，y]距离平方最大值为9， 由此得到[z=x2+y2+2x-4y+20]最小值是19 最大值是24
⑺ 由[Z=][2x+y+3x+1]变形为[Z=][2（x+1）+y+1x+1][=2+][y+1x+1] 而[y+1x+1]表示点[Q-1，-1][]与[Px，y]构成直线的斜率，由图知[y+1x+1]最小值是直线[QC]的斜率[12]，最大值是直线[QB]的斜率2，所以[z=][2x+y+3x+1]得值域是[52，4]
⑻ 把原式变形得[z=][x+y-3yx+y=1-3yx+y=1-3xy+1] 同⑺的道理得[yx∈0，3]得到[xy]的取值范围是[13，+∞]得到—[3xy+1][∈[-94，0）] 所以[z][∈[-54，1）]
⑼[OPcos∠MOP]=[OP][OM?OPOMOP]=[（12，-1）（x.y）52]=[212x-y5] 由图知[x-2y的最小值为-5] 所以[OPcos∠MOP]的最小值是-[5]
⑽容易看出直线[y=kx-2k+2]过定点[A2，2]由图知直线把平面区域分成面积相等的两部分，则直线[y=kx-2k+2][]过线段[BC]的中点[1，32]，由此得到[K=12]
⑾由平面区域在[y]轴右侧，又知[y=ax-2]恒过[0，-1]点，所以[a?1]，当曲线[y=ax-2]， 过[A]点得到[a=2]， 过[C]点得到2， 过点[B]得[a=5] ∴[2≤a≤5]
⑿ 由[z=ax+y+2a∈R]取得最大值的最优解有无穷多个，就是[y=-ax+z-2]在[y]轴截距最大值时的斜率为[-a]，需要分类解决。当[-a?0即a?0]时，若使得最优解有无穷多个，[-a就等于直线AB的斜率-1] 所以[-a=-1得到a=1] 当[a=0时]，不符合题意。当[-a?0即a?0]时，若使得最优解有无穷多个时，[-a]就等于直线[AC]的斜率[2]，但是此时z取最小值，也不符合题意，综上可得[a=1]
⒀若[z=ax+y+2a∈R]取得最大值时的唯一最优解是[1，3] ，也需要分类解决，当[-a≥0即a≤0时][z=ax+y+2a∈R]，在可行域上平移取得最大值时的唯一最优解就是[1，3] 所以[a≤0符合题意] [当-a?0即a?0]时，由直线的斜率关系可得[-a?-1又-a?o] 解得[0?a?1] 综上可得[a?1]。