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平行线是最简单、最基本的几何图形之一，利用平行线可以得到角之间的相等或互补的关系，帮助我们解答一些求角度的问题.折线问题是两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截，此时平行线的性质定理就不能直接应用了.那么如何解决这类折现问题呢？以下分类进行探讨.
一、“外凸型”折线问题
“外凸型”折线问题是指两条平行线之间被向外凸出的折线所截，并有一个或多个折点.解答这类“外凸型”折線问题的一般方法是过折点作已知平行线的平行线，通过形成的多组平行线建立角与角之间的联系，进而把线的关系转换成角的关系，然后利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质解答.
基本题型
例1 如图1，已知AB∥CD，∠A=120°，∠C=130°，那么∠APC的度数是（ ）.
A.100° B.110° C.120° D.130°
解析：过P作直线MN∥AB，如图2所示，
∵MN∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠C+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠2=180°﹣∠C=180°﹣130°=50°，
∴∠APC=∠1+∠2=60°+50°=110°，
故选：B.
点评：本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，根据平行线的性质找出图中角度之间的关系.
结论1：如图1，在平行线中“外凸型”折线问题中，中间角加两个边角等于360度，即∠A+∠P+∠C=360°.
拓展题型
例2 细观察，找规律.下列图3①-3④中的MA1与NAn平行.
（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，
图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，
图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= .
（3）依图3②为例，写出证明过程.
分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到结论;（2）根据（1）中的规律，即可得到第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An的度数;（3）先过A2作A2B∥A1M，根据A2B∥A1M∥A3N，可得∠A1+∠1=180°，∠A3+∠2=180°，进而得出∠A1+∠A1A2A3+∠A3=360°.
解：（1）根据平行线的性质，可得图①中的∠A1+∠A2=180度，根据平行线的性质，可得图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360度，
根据平行线的性质，可得图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540度，
根据平行线的性质，可得图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720度，
故答案为：180，360，540，720;
（2）根据平行线的性质，可得第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°n﹣180°.
故答案为：180°n﹣180°.
（3）如图4②，过A2作A2B∥A1M，
∵MA1与NAn平行，
∴A2B∥A1M∥A3N，
∴∠A1+∠1=180°，∠A3+∠2=180°，
又∵∠1+∠2=∠A1A2A3，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3=180°+180°=360°.
点评：本题通过四个特殊的图形得到了一般性规律，运用了不完全归纳法，体现了由特殊到一般的数学思想，这是解决规律探索题时常用的方法.
结论2：对于平行线中有多个折点的“外凸型”的折线问题，有一般性结论：折线内角的和=（折点数+1）×180°.
二、“内凹型”折线问题
与平行线中的“外凸型”折线问题相对，平行线中也有“内凹型”折线问题.“内凹型”折线问题是指两条平行线之间被向内凹进去的折线所截，并有一个或多个折点.解答“内凹型”折线问题，通用的方法仍是过折点作原平行线的平行线，形成多组平行线，然后利用“两直线平行，内错角相等”的性质解答.
基本题型
例3 如图5：已知AB∥CD，∠B=38°，∠D=72°，则∠BED= °.
解析：过E作EF∥AB，如图6，
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∵∠B=38°，∠D=72°，
∴∠BEF=38°，∠DEF=72°，
∴∠BED=38°+72°=110°.
故答案为：110.
点评：此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行;两直线平行内错角相等.
结论3：如图5，在平行线中“内凹型”折线问题中，中间角等于两个边角的和，即∠E=∠B+∠D.
拓展题型
例4 （1）如图7，AB∥CD，∠BEC与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程;
（2）如图8，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系 ; （3）如图9，AB∥CD，直接写出∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的数量关系 .
分析：（1）首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，易得∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3;（2）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.（3）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行線的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
解：（1）∠BEC=∠1+∠3.
证明：过点E作EF∥AB，如图10，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3;
（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.
理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，如图11，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5;
（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，如图12，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，
∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
点评：本题主要考查平行线的性质，解题的关键是根据所求问题需要的条件，作出平行线，利用两直线平行，内错角相等的性质和等量代换来解题.
结论4：对于平行线中有多个折点的“内凹型”折线问题，有一般性结论：所有的凸角之和=所有的凹角之和.
关于平行线中的折线问题，还有一些其他类型，这里只是列举了其中比较常见且重要的两种类型，解答这类问题的通用方法就是过折点作辅助线，将线的关系转换成角的关系后，此类复杂模型就变得简单了.此外，同学们还可以记住这两类问题中的四个结论，将其直接应用于填空题、选择题的解答中.
一、“外凸型”折线问题
“外凸型”折线问题是指两条平行线之间被向外凸出的折线所截，并有一个或多个折点.解答这类“外凸型”折線问题的一般方法是过折点作已知平行线的平行线，通过形成的多组平行线建立角与角之间的联系，进而把线的关系转换成角的关系，然后利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质解答.
基本题型
例1 如图1，已知AB∥CD，∠A=120°，∠C=130°，那么∠APC的度数是（ ）.
A.100° B.110° C.120° D.130°
解析：过P作直线MN∥AB，如图2所示，
∵MN∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠C+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠2=180°﹣∠C=180°﹣130°=50°，
∴∠APC=∠1+∠2=60°+50°=110°，
故选：B.
点评：本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，根据平行线的性质找出图中角度之间的关系.
结论1：如图1，在平行线中“外凸型”折线问题中，中间角加两个边角等于360度，即∠A+∠P+∠C=360°.
拓展题型
例2 细观察，找规律.下列图3①-3④中的MA1与NAn平行.
（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，
图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，
图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= .
（3）依图3②为例，写出证明过程.
分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到结论;（2）根据（1）中的规律，即可得到第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An的度数;（3）先过A2作A2B∥A1M，根据A2B∥A1M∥A3N，可得∠A1+∠1=180°，∠A3+∠2=180°，进而得出∠A1+∠A1A2A3+∠A3=360°.
解：（1）根据平行线的性质，可得图①中的∠A1+∠A2=180度，根据平行线的性质，可得图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360度，
根据平行线的性质，可得图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540度，
根据平行线的性质，可得图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720度，
故答案为：180，360，540，720;
（2）根据平行线的性质，可得第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°n﹣180°.
故答案为：180°n﹣180°.
（3）如图4②，过A2作A2B∥A1M，
∵MA1与NAn平行，
∴A2B∥A1M∥A3N，
∴∠A1+∠1=180°，∠A3+∠2=180°，
又∵∠1+∠2=∠A1A2A3，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3=180°+180°=360°.
点评：本题通过四个特殊的图形得到了一般性规律，运用了不完全归纳法，体现了由特殊到一般的数学思想，这是解决规律探索题时常用的方法.
结论2：对于平行线中有多个折点的“外凸型”的折线问题，有一般性结论：折线内角的和=（折点数+1）×180°.
二、“内凹型”折线问题
与平行线中的“外凸型”折线问题相对，平行线中也有“内凹型”折线问题.“内凹型”折线问题是指两条平行线之间被向内凹进去的折线所截，并有一个或多个折点.解答“内凹型”折线问题，通用的方法仍是过折点作原平行线的平行线，形成多组平行线，然后利用“两直线平行，内错角相等”的性质解答.
基本题型
例3 如图5：已知AB∥CD，∠B=38°，∠D=72°，则∠BED= °.
解析：过E作EF∥AB，如图6，
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∵∠B=38°，∠D=72°，
∴∠BEF=38°，∠DEF=72°，
∴∠BED=38°+72°=110°.
故答案为：110.
点评：此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行;两直线平行内错角相等.
结论3：如图5，在平行线中“内凹型”折线问题中，中间角等于两个边角的和，即∠E=∠B+∠D.
拓展题型
例4 （1）如图7，AB∥CD，∠BEC与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程;
（2）如图8，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系 ; （3）如图9，AB∥CD，直接写出∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的数量关系 .
分析：（1）首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，易得∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3;（2）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.（3）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行線的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
解：（1）∠BEC=∠1+∠3.
证明：过点E作EF∥AB，如图10，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3;
（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.
理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，如图11，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5;
（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，如图12，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，
∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
点评：本题主要考查平行线的性质，解题的关键是根据所求问题需要的条件，作出平行线，利用两直线平行，内错角相等的性质和等量代换来解题.
结论4：对于平行线中有多个折点的“内凹型”折线问题，有一般性结论：所有的凸角之和=所有的凹角之和.
关于平行线中的折线问题，还有一些其他类型，这里只是列举了其中比较常见且重要的两种类型，解答这类问题的通用方法就是过折点作辅助线，将线的关系转换成角的关系后，此类复杂模型就变得简单了.此外，同学们还可以记住这两类问题中的四个结论，将其直接应用于填空题、选择题的解答中.