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在动态数学问题中,最值问题无疑最具魅力和挑战性,中考试卷中至少命制一道最值问题已成为共识.最值问题触及初中数学的各个角落,与切线相关的最值问题是中考命题的热点之一,也是近年中考命题的一个亮点,值得关注.
图11切线明示型
例1(2012年黄石卷)如图1所示,直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D,并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时,则∠ABP的度数为()
A. 15°B. 30°C. 60°D. 90°
分析當P在圆外时,设PA(或PB)交圆于点M,则∠APB<∠AMB=∠ADB=90°,故点P和D重合时,∠APB的度数最大.
简解连接BD,因为直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D,所以∠ADB=90°,因为当∠APB的度数最大时,点P和D重合,所以∠APB=90°,因为AB=2,AD=1,所以sin∠DBP=ADAB=12,所以∠ABP=30°,所以当∠APB的度数最大时,∠ABP的度数为30°,故选B.
图2例2(2010年新疆卷)如图2是一个量角器和一个含30°角的直角三角形放置在一起的示意图,其中点B在半圆O的直径DE的延长线上,AB切半圆O于点F,且BC=OE.
(1)求证:DE∥CF;
(2)当OE=2时,若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,求OB的长.
(3)若OE=2,移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切,直角顶点B在直径DE的延长线上移动,求出点B移动的最大距离.
分析(1)、(2)略;
图11切线明示型
例1(2012年黄石卷)如图1所示,直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D,并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时,则∠ABP的度数为()
A. 15°B. 30°C. 60°D. 90°
分析當P在圆外时,设PA(或PB)交圆于点M,则∠APB<∠AMB=∠ADB=90°,故点P和D重合时,∠APB的度数最大.
简解连接BD,因为直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D,所以∠ADB=90°,因为当∠APB的度数最大时,点P和D重合,所以∠APB=90°,因为AB=2,AD=1,所以sin∠DBP=ADAB=12,所以∠ABP=30°,所以当∠APB的度数最大时,∠ABP的度数为30°,故选B.
图2例2(2010年新疆卷)如图2是一个量角器和一个含30°角的直角三角形放置在一起的示意图,其中点B在半圆O的直径DE的延长线上,AB切半圆O于点F,且BC=OE.
(1)求证:DE∥CF;
(2)当OE=2时,若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,求OB的长.
(3)若OE=2,移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切,直角顶点B在直径DE的延长线上移动,求出点B移动的最大距离.
分析(1)、(2)略;