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摘 要：一道错题，引发了一场基于微信朋友圈的网络教研。面对不同观点和视角，我们既需要对其进行梳理，更需要明白，重要的不是我们是怎么想的，而是学生究竟是怎么想的。除了直接和学生交流以外，还可以设计一些“重复实验”“对比实验”，帮助我们更科学、理性地发现学生错误背后的真实思维，从而有的放矢地对学生的错误原因进行分析，并给出有针对性的引导。
关键词：网络教研 错题 理解学生
一日，贵阳的教研员王洪翠老师，通过微信发来一张截图（见图1）。留言里，她告诉我，面对这一错误，有一位初中老师认为，“这不是一般的粗心问题，而是缺乏严谨的分类思考的问题”。王老师表示不太能够理解这一观点，想和我探讨。
坦率地说，这位初中老师的观点，我并不是特别明白。毕竟跨了一个学段，思维方式与话语系统各自不同。
遗憾的是，不能和这位初中老师深入聊一聊。或许，对话才是澄清彼此观点、达成沟通与理解的关键。
看来，只能回到这道错题本身，试图借助自己的观察与思考，获得一些想法。
就在对这一问题有了初步的想法时，我突然想起2019年6月，在“‘求真悟道’2019全国小学数学教育论坛”上，我曾经说过的一句话：“每个人的独立思考，都包含着某种偏见。”
于是，我突发奇想，决定借助朋友圈，听听更多数学同仁的想法，权当是一次网络研修吧！很快，我便发布了消息：
圈里的数学同仁们，面对图（附图，略）中学生的错误，你会做出怎样的分析与解读？请留言，尽量说具体哦！
结果，“圈友”们的讨论热情远远超乎我的想象。
不到三个小时，在朋友圈给我留言或私信我的老师，多达60多位。其中，字数超过30字的“有效”留言数量，有40多条。
如火如荼的研讨氛围，迫使我在朋友圈做出承诺：“朋友圈教研，简直不要不要的！下午，争取写一篇小文发公众号，算是学习大家留言的体会！”于是，开始认真阅读每一条留言，并尝试分类。
通过阅读，我发现，对于这道错题的分析，大致分为三种情形。
情形1：主观解读型。
南京的学生家长周女士，给出了这样的解读：“这是加法与减法的混乱，这题孩子当成减法做了。碰到加减混合运算的时候，孩子不小心就会弄错。对策就是：让孩子认识到自己的问题，碰到这类题目时慢一点，看清楚加法还是减法再下笔。”
想必，在“母慈子孝”或“鸡飞狗跳”之时，周女士日常没少经历这样的场景。这样的解读一看就是经验之谈，甚至还“买一赠一”，给出了教学建议。先来点个“赞”！
镇江的江老师，“脑洞”有点大：“这个小孩对两个一位数之和超过十不会算。看到8就想到与10差2，然后不知道怎么办。他只能想到5加2，因为这个更容易想到。他有点记得老师说过十位要加1，于是這样做了。做完不放心，看看同桌，答案是82，于是就抄了过来。”
哈哈，谁告诉你“抄了过来”的？好吧，朋友圈里确有不少人提到了这样的想法。不过，他们的用词要更含蓄一些——向同桌借鉴了一下。
南京的陆老师，给出了更深入的解读：“从痕迹上来看，这娃留下了退位点，计算个位数时，当成了减法，跑偏了。计算十位数时，突然转向，又跑对了，跑回了加法的轨道。按照这个路子跑到终点86后，顺手在横式上写了82。诡异的是，这个82是正确的。”
陆老师是位校长，想必没有脱离课堂;否则，绝无可能分析得如此细致入微。也要点个“赞”！
南京的杨老师，则给出了更专业的分析：“我猜，从书写的情况看，是那种认真的感统失调儿童。他会学得比较累，但是考试成绩未必突出。不过，随着年龄的增长，情况或许会有所改观。”
专业性和学术性，满满溢出。此处须点两个“赞”！
类似的留言，还有重庆的樊老师、福建的梁老师、云南的田老师等。因观点类似，此处不一一列出。
情形2：证据分析型。
率先打破画风的，是北京的杨校长：“没问问孩子？”
“字数越少，问题越严重。”看了杨老师的提问，我心头一颤。
接着，是常州的潘老师：“有时过分解读学生的错误，也是老师的自以为是！学生就是在为把竖式写得更整洁时，把注意力都放在写上，而忽略怎么算了。原本学生就会算，并算对了！如果是那样，只当没有发生过，反而对学生更好。”
我心头又一沉。
再接着，是长沙的刘老师，他直接给出了教学策略：“我会让孩子板演出来，然后由同学们观察、发现，再去解决。全程，我只是个旁观者。”
殊途同归，仍是让学生展示自己的思维过程，并由同伴做出评判与研究。
重庆的王老师，则直接给出了她与学生交流的情况：“我的学生也容易犯类似的错误。与他们交流后，发现通常是这些原因：在教学‘100以内的加、减法’时，退位减法常被有意无意地放在非常重要的地位，而让学生经常练习。孩子潜意识里装了太多的减法，因此，这里计算个位时，不经意地就当减法了……”
由于没有更多的师生对话细节，所以，暂时默认王老师得出的结论，就是基于和学生的交流的。
情形3：纯属“打酱油”型。
这类留言因文字比较“辣眼睛”，此处就不一一呈现了。
至此，“圈友”们的观点基本呈现完毕。
那么，此时的你，又保留怎样的观点呢？是仍然坚守原来的想法？还是受他人想法的影响，试图改变自己的观点？
与此同时，我又坚持怎样的观点？
坦率地讲，在看到这道错题的前两分钟，我的确试图对其错因给出自己的解读。
但是，差不多就在将要给出解读的那一刻，另一个声音在我脑中回响——你的想法真的对吗？“子非鱼也。”不应该听听学生是怎么想的吗？在这个学生的头脑里，藏着这道错题唯一真实的思维过程啊！ 当然，我也相信，之前持其他想法的老师，倘若再思考几分钟，也不难想到这样的思考路径。
在当下的教学研究语境中，要想站稳儿童立场、选择儿童视角并不难。难就难在，在这之后，我们还要做点什么。
在立场和行动之间，我们还能做点什么？我决定，让思绪再飞一会儿：
除了直接和学生交流，借助语言了解学生真实的想法以外，是否还有其他探究路径？能不能再给学生提供两道结构与难度相近的习题，让学生试一试？“重复实验”过后，看看实验的结果，再下结论也不迟。如果这两题学生的解题思考与原題完全一致，那么，我们是否可以初步得出结论：这个学生在类似的加（减）法笔算过程中，已经形成了相对稳定的运算模型？此时，我们再去了解他真实的想法，是否也不迟？因为，“重复实验”还有可能有另一种结果，那就是：这两题，他都算对了。那么，作为“吃瓜群众”的我们，就应该赶紧散了，各回各家——忙了半天，人家只不过是粗心了一下而已。
再者，面对这些出错的学生（假定这样的学生不止一个），能不能通过调整原题中的变量，看看他们出错的原因在哪里？如果第一步加法中的个位相加不进位，比如把28改成24、23等，那么，是否还会出现类似的情况？可以相信，不同的“实验结果”一定可以带来不同的原因推断，具体的教学应对自然也就大相径庭了。
此外，尝试一下“对比实验”，是否也能够帮助我们形成一些新的思考？我们不妨找一些经常出现类似加减“融合运算”的学生，给他们计算一些两步计算的式题，再给他们计算一些难度系数相当的一步计算的式题，来看看这些学生在面对这两组算式时，出现错误的频次是否相近。如果两步运算中出现错误的频次显著增高，那么，我们是否可以得出另一种假设：两步运算的复杂性和程序的冗长，有可能会干扰到学生计算思路的正确？如此，我们的教学应对，是否又有了新的路径？假定通过交流，我们了解到这些学生的确如前文中的杨老师所言，存在感统失调的缺陷，那么，我们是否应该对他们多一些理解和宽容，进而在教学引导时，会朝向另一个方向？
……
当然，笔者已经离开教学一线颇久，对日常课堂尤其是学生的真实思维有了距离。所以，无论对学生的研究与了解，还是对后续教学实践的跟进与深究，终究少了一些切肤之感。
越往后写，就越有一种凌空舞蹈的心虚。
所以，期待能够有更多的同仁，在这样的一些小问题上多一些思考、研究、探索，有时包括实验与实证。
有人说，如今的大学已经不大。但我说，我们的小学从来不小！孩子虽小，题目虽易，但值得研究的话题，研究的价值与意义，从来就不逊于任何一个学段。
这里，特别分享金春平老师的留言：
齐华总是以敏锐的目光，去“揪”住问题，然后引导大家去思考。赞！
从错题看，该生在解题计划与方向上没有问题，只是第一小步计算出了差错，我们称之为“小零件”装配错了。如果这样，我们只需要重点弄清两个问题。第一个问题：“小零件”是怎么装错的？我们可以凭借教学经验去做判断，我去问问学生，或移位情境想一下一个汽车工人装错零件的直接原因是什么，当然还有其他。第一个问题的解决，是为了弄清事实。第二个问题：“小零件”为什么会装错？这是最重要的问题。我们习惯从技术层面和习惯养成方面去分析，这是必要的，但还不够，因为这类计算错误隐藏了思维方面的问题。试想：如果这个孩子单独做“5+8”，或做“65+8”，会发生这种“做加想减”的错误吗？有一个链条原理，是说链条在受力情况下，总是从最薄弱处断裂，从而危及整个链条的安全性。在做这道题目时，这个孩子的注意力、分配力、判断力，以及计算的速度及自动化的程度等综合能力，不足以支持他有序无错地完成整个计算过程，于是，他总会在某一步上出问题，把“小零件”弄错。这样的问题，一般是可以通过日常训练来解决的：尽可能提高学生计算自动化的程度。当然，必要的教育还是要的。第二个问题的解决，是为了明白道理。
齐华挖了这么大一个坑，让大家往里跳。我都是退出江湖的人了，也被他忽悠得跳进去了。呜呼，悲也！
按照惯例，最后仍然要敲一下黑板，画一下重点：
观点1：面对学生的错误，不要盲目主观下判断;多和学生深入沟通，或许能够找到更真实的错因。
观点2：研究是个技术活，尽管教学研究属于社会科学范畴，但是必要的实验、实证和基于数据的研究，也可以适当借鉴。
观点3：教学研究时，坚守儿童立场很重要，但立场坚守之后的实践跟进，可能是一个同样重要的命题。
期待，未来如果还有这样的网络教研，圈里、圈外的你，依然能够热情参与。
关键词：网络教研 错题 理解学生
一日，贵阳的教研员王洪翠老师，通过微信发来一张截图（见图1）。留言里，她告诉我，面对这一错误，有一位初中老师认为，“这不是一般的粗心问题，而是缺乏严谨的分类思考的问题”。王老师表示不太能够理解这一观点，想和我探讨。
坦率地说，这位初中老师的观点，我并不是特别明白。毕竟跨了一个学段，思维方式与话语系统各自不同。
遗憾的是，不能和这位初中老师深入聊一聊。或许，对话才是澄清彼此观点、达成沟通与理解的关键。
看来，只能回到这道错题本身，试图借助自己的观察与思考，获得一些想法。
就在对这一问题有了初步的想法时，我突然想起2019年6月，在“‘求真悟道’2019全国小学数学教育论坛”上，我曾经说过的一句话：“每个人的独立思考，都包含着某种偏见。”
于是，我突发奇想，决定借助朋友圈，听听更多数学同仁的想法，权当是一次网络研修吧！很快，我便发布了消息：
圈里的数学同仁们，面对图（附图，略）中学生的错误，你会做出怎样的分析与解读？请留言，尽量说具体哦！
结果，“圈友”们的讨论热情远远超乎我的想象。
不到三个小时，在朋友圈给我留言或私信我的老师，多达60多位。其中，字数超过30字的“有效”留言数量，有40多条。
如火如荼的研讨氛围，迫使我在朋友圈做出承诺：“朋友圈教研，简直不要不要的！下午，争取写一篇小文发公众号，算是学习大家留言的体会！”于是，开始认真阅读每一条留言，并尝试分类。
通过阅读，我发现，对于这道错题的分析，大致分为三种情形。
情形1：主观解读型。
南京的学生家长周女士，给出了这样的解读：“这是加法与减法的混乱，这题孩子当成减法做了。碰到加减混合运算的时候，孩子不小心就会弄错。对策就是：让孩子认识到自己的问题，碰到这类题目时慢一点，看清楚加法还是减法再下笔。”
想必，在“母慈子孝”或“鸡飞狗跳”之时，周女士日常没少经历这样的场景。这样的解读一看就是经验之谈，甚至还“买一赠一”，给出了教学建议。先来点个“赞”！
镇江的江老师，“脑洞”有点大：“这个小孩对两个一位数之和超过十不会算。看到8就想到与10差2，然后不知道怎么办。他只能想到5加2，因为这个更容易想到。他有点记得老师说过十位要加1，于是這样做了。做完不放心，看看同桌，答案是82，于是就抄了过来。”
哈哈，谁告诉你“抄了过来”的？好吧，朋友圈里确有不少人提到了这样的想法。不过，他们的用词要更含蓄一些——向同桌借鉴了一下。
南京的陆老师，给出了更深入的解读：“从痕迹上来看，这娃留下了退位点，计算个位数时，当成了减法，跑偏了。计算十位数时，突然转向，又跑对了，跑回了加法的轨道。按照这个路子跑到终点86后，顺手在横式上写了82。诡异的是，这个82是正确的。”
陆老师是位校长，想必没有脱离课堂;否则，绝无可能分析得如此细致入微。也要点个“赞”！
南京的杨老师，则给出了更专业的分析：“我猜，从书写的情况看，是那种认真的感统失调儿童。他会学得比较累，但是考试成绩未必突出。不过，随着年龄的增长，情况或许会有所改观。”
专业性和学术性，满满溢出。此处须点两个“赞”！
类似的留言，还有重庆的樊老师、福建的梁老师、云南的田老师等。因观点类似，此处不一一列出。
情形2：证据分析型。
率先打破画风的，是北京的杨校长：“没问问孩子？”
“字数越少，问题越严重。”看了杨老师的提问，我心头一颤。
接着，是常州的潘老师：“有时过分解读学生的错误，也是老师的自以为是！学生就是在为把竖式写得更整洁时，把注意力都放在写上，而忽略怎么算了。原本学生就会算，并算对了！如果是那样，只当没有发生过，反而对学生更好。”
我心头又一沉。
再接着，是长沙的刘老师，他直接给出了教学策略：“我会让孩子板演出来，然后由同学们观察、发现，再去解决。全程，我只是个旁观者。”
殊途同归，仍是让学生展示自己的思维过程，并由同伴做出评判与研究。
重庆的王老师，则直接给出了她与学生交流的情况：“我的学生也容易犯类似的错误。与他们交流后，发现通常是这些原因：在教学‘100以内的加、减法’时，退位减法常被有意无意地放在非常重要的地位，而让学生经常练习。孩子潜意识里装了太多的减法，因此，这里计算个位时，不经意地就当减法了……”
由于没有更多的师生对话细节，所以，暂时默认王老师得出的结论，就是基于和学生的交流的。
情形3：纯属“打酱油”型。
这类留言因文字比较“辣眼睛”，此处就不一一呈现了。
至此，“圈友”们的观点基本呈现完毕。
那么，此时的你，又保留怎样的观点呢？是仍然坚守原来的想法？还是受他人想法的影响，试图改变自己的观点？
与此同时，我又坚持怎样的观点？
坦率地讲，在看到这道错题的前两分钟，我的确试图对其错因给出自己的解读。
但是，差不多就在将要给出解读的那一刻，另一个声音在我脑中回响——你的想法真的对吗？“子非鱼也。”不应该听听学生是怎么想的吗？在这个学生的头脑里，藏着这道错题唯一真实的思维过程啊！ 当然，我也相信，之前持其他想法的老师，倘若再思考几分钟，也不难想到这样的思考路径。
在当下的教学研究语境中，要想站稳儿童立场、选择儿童视角并不难。难就难在，在这之后，我们还要做点什么。
在立场和行动之间，我们还能做点什么？我决定，让思绪再飞一会儿：
除了直接和学生交流，借助语言了解学生真实的想法以外，是否还有其他探究路径？能不能再给学生提供两道结构与难度相近的习题，让学生试一试？“重复实验”过后，看看实验的结果，再下结论也不迟。如果这两题学生的解题思考与原題完全一致，那么，我们是否可以初步得出结论：这个学生在类似的加（减）法笔算过程中，已经形成了相对稳定的运算模型？此时，我们再去了解他真实的想法，是否也不迟？因为，“重复实验”还有可能有另一种结果，那就是：这两题，他都算对了。那么，作为“吃瓜群众”的我们，就应该赶紧散了，各回各家——忙了半天，人家只不过是粗心了一下而已。
再者，面对这些出错的学生（假定这样的学生不止一个），能不能通过调整原题中的变量，看看他们出错的原因在哪里？如果第一步加法中的个位相加不进位，比如把28改成24、23等，那么，是否还会出现类似的情况？可以相信，不同的“实验结果”一定可以带来不同的原因推断，具体的教学应对自然也就大相径庭了。
此外，尝试一下“对比实验”，是否也能够帮助我们形成一些新的思考？我们不妨找一些经常出现类似加减“融合运算”的学生，给他们计算一些两步计算的式题，再给他们计算一些难度系数相当的一步计算的式题，来看看这些学生在面对这两组算式时，出现错误的频次是否相近。如果两步运算中出现错误的频次显著增高，那么，我们是否可以得出另一种假设：两步运算的复杂性和程序的冗长，有可能会干扰到学生计算思路的正确？如此，我们的教学应对，是否又有了新的路径？假定通过交流，我们了解到这些学生的确如前文中的杨老师所言，存在感统失调的缺陷，那么，我们是否应该对他们多一些理解和宽容，进而在教学引导时，会朝向另一个方向？
……
当然，笔者已经离开教学一线颇久，对日常课堂尤其是学生的真实思维有了距离。所以，无论对学生的研究与了解，还是对后续教学实践的跟进与深究，终究少了一些切肤之感。
越往后写，就越有一种凌空舞蹈的心虚。
所以，期待能够有更多的同仁，在这样的一些小问题上多一些思考、研究、探索，有时包括实验与实证。
有人说，如今的大学已经不大。但我说，我们的小学从来不小！孩子虽小，题目虽易，但值得研究的话题，研究的价值与意义，从来就不逊于任何一个学段。
这里，特别分享金春平老师的留言：
齐华总是以敏锐的目光，去“揪”住问题，然后引导大家去思考。赞！
从错题看，该生在解题计划与方向上没有问题，只是第一小步计算出了差错，我们称之为“小零件”装配错了。如果这样，我们只需要重点弄清两个问题。第一个问题：“小零件”是怎么装错的？我们可以凭借教学经验去做判断，我去问问学生，或移位情境想一下一个汽车工人装错零件的直接原因是什么，当然还有其他。第一个问题的解决，是为了弄清事实。第二个问题：“小零件”为什么会装错？这是最重要的问题。我们习惯从技术层面和习惯养成方面去分析，这是必要的，但还不够，因为这类计算错误隐藏了思维方面的问题。试想：如果这个孩子单独做“5+8”，或做“65+8”，会发生这种“做加想减”的错误吗？有一个链条原理，是说链条在受力情况下，总是从最薄弱处断裂，从而危及整个链条的安全性。在做这道题目时，这个孩子的注意力、分配力、判断力，以及计算的速度及自动化的程度等综合能力，不足以支持他有序无错地完成整个计算过程，于是，他总会在某一步上出问题，把“小零件”弄错。这样的问题，一般是可以通过日常训练来解决的：尽可能提高学生计算自动化的程度。当然，必要的教育还是要的。第二个问题的解决，是为了明白道理。
齐华挖了这么大一个坑，让大家往里跳。我都是退出江湖的人了，也被他忽悠得跳进去了。呜呼，悲也！
按照惯例，最后仍然要敲一下黑板，画一下重点：
观点1：面对学生的错误，不要盲目主观下判断;多和学生深入沟通，或许能够找到更真实的错因。
观点2：研究是个技术活，尽管教学研究属于社会科学范畴，但是必要的实验、实证和基于数据的研究，也可以适当借鉴。
观点3：教学研究时，坚守儿童立场很重要，但立场坚守之后的实践跟进，可能是一个同样重要的命题。
期待，未来如果还有这样的网络教研，圈里、圈外的你，依然能够热情参与。