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一、归纳推理
1. 归纳推理的定义
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳推理. 它是由部分到整体，由个别到一般的推理；包括不完全归纳法和完全归纳法.归纳推理基于观察和实验，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．
2. 归纳推理的一般步骤
①观察个别情况，发现规律；②提出猜想；③检验猜想.
3. 归纳推理的思维过程
[实验、观察][概括、推广][猜测一般性结论]
例1 已知数列[an]的首项[a1=1]且[an+1=][an1+ann=1,2,3,⋅⋅⋅].
（1）写出数列[an]的前5项；
（2）试归纳出该数列的通项公式.
分析 分别令[n=1,2,3,4]，利用[an+1]与[an]之间的递推关系，进而求出[a2]，[a3]，[a4]，[a5]，再观察、分析、归纳，推测出[an]的表达式.
解 （1）[∵] [an+1=an1+ann=1,2,3,⋅⋅⋅]，
[∴] 令[n=1]时，[a2=a11+a1]，
又[∵][a1=1]， [∴] [a2=12].
同理，可求得：
[a3=13]，[a4=14]，[a5=15].
（2）依据（1）中数列前5项，归纳猜想：[an=1n.]
验证：由猜想知：[an+1=1n+1,]
又[∵][an1+an=1n1+1n=1n+1,]
[∴][an+1=an1+an.]
所以猜想结论正确，即[an=1n.]
点拨 在数列中常用归纳推理猜测数列的通项公式或前[n]项和的公式. 常规思路：对前几项结果的观察、归纳和提出猜想，再探究和发现问题，最后证明猜想结论的正确性. 注意：在得出前几项的结果后，要统一它们的表达式的结构形式，以便寻找规律.
例2 凸[n][n≥4]边形有多少条对角线？
分析 先从几个特殊的数值入手，再根据给出的数值进行归纳猜想.
解 设：凸[n][n≥4]边形的对角线有[fn]条
（1）[n=4]时，凸四边形有2条对角线，即：[f4=2]；
[n=5]时，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，即：[f5=5=2+3]；
[n=6]时，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，即：[f6=9=2+3+4]；
[n=7]时，凸七边形有14条对角线，比凸六边形多5条，即：[f7=14=2+3+4+5]；
（2）根据题意猜测：
凸[n][n≥4]边形的对角线条数
[fn=2+3+4+⋅⋅⋅+n-2=nn-32]
点拨 几何中随着点、线、面等元素的增加，探索研究相应的线段、交点、区域部分等增加的问题，常用归纳推理解决. 分析时，寻找递推关系是重点，注意观察相邻情况之间的关系，化几何问题为代数问题，最终回归到关于整数[n]的问题.
二、类比推理
1. 类比推理的定义
由特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．我们必须清楚类比并不是论证．
2. 类比推理的一般步骤
①找出两类对象的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③检验猜想.
3. 类比推理的思维过程
[观察、比较][联想、类推][猜测新的结论]
例3 如图所示，在[ΔABC]中，射影定理可表示为[a=b⋅cosC+c⋅cosB]，其中[a]、[b]、[c]分别为角[A]、[B]、[C]的对边，类比上述定理，写出关于空间四面体性质的猜想.
分析 这是一个由平面图形到空间图形的类比，可以联想到：边长[→]面积，平面角[→]二面角，边的射影[→]面的射影等.
解 如图所示，在四面体[P-ABC]中，[S1]、[S2]、[S3]、[S]分别表示[ΔPAB]、[ΔPBC]、[ΔPCA]、[ΔABC]的面积，[α]、[β]、[γ]分别表示平面[PAB]、平面[PBC]、平面[PCA]和底面[ABC]所成的二面角的大小. 猜想射影定理类比到空间中的表现形式为[S=S1cosα+][S2cosβ+][S3cosγ].
点拨 平面图形与空间几何最基本的类比原则：点类比线；线类比面；面积类比体积.三角形是最简单的平面图形，四面体是最简单的空间图形，所以可以由三角形的一些性质可以类比推出四面体的性质.例如：
①由“三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边”类比推出“四面体的中位面的面积等于第四个面的面积的[14]，且中位面平行于第四个面”；
②由“三角形的面积等于其周长与其内切圆半径乘积的[12] ”类比推出“四面体的体积等于其表面积与其内切球半径乘积的[13]”.
【小结】
1. 归纳推理和类比推理互相依赖：类比推理依赖于归纳所得的已知定律，归纳推理依赖于事例之间的形似性，所有的归纳论证都是类比的.
2. 归纳推理和类比推理的可靠性比较：类比推理要弱于归纳推理，它具有归纳推理所不具有的优点.本质上，类比推理不是探求因果关系的方法，主要是根据以相似性为基础建立起来的类比关系，导出最初的假设，并作出预测和解释的猜测性、创新性的推理方法.
【练习】
1. 在同一个平面内，两条直线相交，有一个交点，猜测，[n]条直线相交，最多有几个交点？
2. 在平面上,设[ha]，[hb]，[hc]是[△ABC]三条边上的高. [P]为三角形内任一点, [P]到相应三边的距离分别为[la]，[lb]，[lc]我们可以得到结论：[laha+lbhb+lchc=1].试通过类比,写出在空间中的类似结论.
【参考答案】
1. [nn-12]
2. 在四面体[A′B′C′D′]中，设[ha′]，[hb′]，[hc′]，[hd′]分别是四面体[A′B′C′D′]的四个顶点到对面的距离，[P′]为四面体[A′B′C′D′]内任意一点，[P′]到相应四个面的距离分别为[la′]，[lb′]，[lc′]，[ld′]，可以得到结论[la′ha′+lb′hb′+lc′hc′+ld′hd′=1].
1. 归纳推理的定义
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳推理. 它是由部分到整体，由个别到一般的推理；包括不完全归纳法和完全归纳法.归纳推理基于观察和实验，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．
2. 归纳推理的一般步骤
①观察个别情况，发现规律；②提出猜想；③检验猜想.
3. 归纳推理的思维过程
[实验、观察][概括、推广][猜测一般性结论]
例1 已知数列[an]的首项[a1=1]且[an+1=][an1+ann=1,2,3,⋅⋅⋅].
（1）写出数列[an]的前5项；
（2）试归纳出该数列的通项公式.
分析 分别令[n=1,2,3,4]，利用[an+1]与[an]之间的递推关系，进而求出[a2]，[a3]，[a4]，[a5]，再观察、分析、归纳，推测出[an]的表达式.
解 （1）[∵] [an+1=an1+ann=1,2,3,⋅⋅⋅]，
[∴] 令[n=1]时，[a2=a11+a1]，
又[∵][a1=1]， [∴] [a2=12].
同理，可求得：
[a3=13]，[a4=14]，[a5=15].
（2）依据（1）中数列前5项，归纳猜想：[an=1n.]
验证：由猜想知：[an+1=1n+1,]
又[∵][an1+an=1n1+1n=1n+1,]
[∴][an+1=an1+an.]
所以猜想结论正确，即[an=1n.]
点拨 在数列中常用归纳推理猜测数列的通项公式或前[n]项和的公式. 常规思路：对前几项结果的观察、归纳和提出猜想，再探究和发现问题，最后证明猜想结论的正确性. 注意：在得出前几项的结果后，要统一它们的表达式的结构形式，以便寻找规律.
例2 凸[n][n≥4]边形有多少条对角线？
分析 先从几个特殊的数值入手，再根据给出的数值进行归纳猜想.
解 设：凸[n][n≥4]边形的对角线有[fn]条
（1）[n=4]时，凸四边形有2条对角线，即：[f4=2]；
[n=5]时，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，即：[f5=5=2+3]；
[n=6]时，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，即：[f6=9=2+3+4]；
[n=7]时，凸七边形有14条对角线，比凸六边形多5条，即：[f7=14=2+3+4+5]；
（2）根据题意猜测：
凸[n][n≥4]边形的对角线条数
[fn=2+3+4+⋅⋅⋅+n-2=nn-32]
点拨 几何中随着点、线、面等元素的增加，探索研究相应的线段、交点、区域部分等增加的问题，常用归纳推理解决. 分析时，寻找递推关系是重点，注意观察相邻情况之间的关系，化几何问题为代数问题，最终回归到关于整数[n]的问题.
二、类比推理
1. 类比推理的定义
由特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．我们必须清楚类比并不是论证．
2. 类比推理的一般步骤
①找出两类对象的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③检验猜想.
3. 类比推理的思维过程
[观察、比较][联想、类推][猜测新的结论]
例3 如图所示，在[ΔABC]中，射影定理可表示为[a=b⋅cosC+c⋅cosB]，其中[a]、[b]、[c]分别为角[A]、[B]、[C]的对边，类比上述定理，写出关于空间四面体性质的猜想.
分析 这是一个由平面图形到空间图形的类比，可以联想到：边长[→]面积，平面角[→]二面角，边的射影[→]面的射影等.
解 如图所示，在四面体[P-ABC]中，[S1]、[S2]、[S3]、[S]分别表示[ΔPAB]、[ΔPBC]、[ΔPCA]、[ΔABC]的面积，[α]、[β]、[γ]分别表示平面[PAB]、平面[PBC]、平面[PCA]和底面[ABC]所成的二面角的大小. 猜想射影定理类比到空间中的表现形式为[S=S1cosα+][S2cosβ+][S3cosγ].
点拨 平面图形与空间几何最基本的类比原则：点类比线；线类比面；面积类比体积.三角形是最简单的平面图形，四面体是最简单的空间图形，所以可以由三角形的一些性质可以类比推出四面体的性质.例如：
①由“三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边”类比推出“四面体的中位面的面积等于第四个面的面积的[14]，且中位面平行于第四个面”；
②由“三角形的面积等于其周长与其内切圆半径乘积的[12] ”类比推出“四面体的体积等于其表面积与其内切球半径乘积的[13]”.
【小结】
1. 归纳推理和类比推理互相依赖：类比推理依赖于归纳所得的已知定律，归纳推理依赖于事例之间的形似性，所有的归纳论证都是类比的.
2. 归纳推理和类比推理的可靠性比较：类比推理要弱于归纳推理，它具有归纳推理所不具有的优点.本质上，类比推理不是探求因果关系的方法，主要是根据以相似性为基础建立起来的类比关系，导出最初的假设，并作出预测和解释的猜测性、创新性的推理方法.
【练习】
1. 在同一个平面内，两条直线相交，有一个交点，猜测，[n]条直线相交，最多有几个交点？
2. 在平面上,设[ha]，[hb]，[hc]是[△ABC]三条边上的高. [P]为三角形内任一点, [P]到相应三边的距离分别为[la]，[lb]，[lc]我们可以得到结论：[laha+lbhb+lchc=1].试通过类比,写出在空间中的类似结论.
【参考答案】
1. [nn-12]
2. 在四面体[A′B′C′D′]中，设[ha′]，[hb′]，[hc′]，[hd′]分别是四面体[A′B′C′D′]的四个顶点到对面的距离，[P′]为四面体[A′B′C′D′]内任意一点，[P′]到相应四个面的距离分别为[la′]，[lb′]，[lc′]，[ld′]，可以得到结论[la′ha′+lb′hb′+lc′hc′+ld′hd′=1].