论文部分内容阅读
数学概念课是数学基础知识和基础技能教学的核心,任何一部分内容的教学,都离不开概念教学。如何高效实施数学概念教学,值得我们思考。下文笔者以“平方根”的教学设计为例,对概念课教学进行阐述。
一、教学设计
1.学习目标。
知识与技能:
(1)了解平方根的概念,会用根号表示正数的平方根;
(2)了解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根。
过程与方法:
(l)通过学习平方根,进一步建立数感和符号感,发展抽象思维;
(2)通过对正数平方根特点的探究,了解平方根与算术平方根的区别和联系,体验类比、化归等数学思想方法的运用,提高对问题的迁移能力。
2.教学流程。
(1)问题与情境。
师:我们学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算,在这五种运算中哪些是互为逆运算的呢?
加法←→ 减法,乘法←→ 除法,乘方←→ ?
师:正方形面积为25平方厘米,那么它的边长是多少呢?
生:5厘米。
师:如果把面积改为2呢?那么它的边长是多少呢?我们在已学过的数的范围内找不到这个数,那么今天便来学习“平方根”。
设計意图:回顾几种运算,一方面为引进平方根的概念起到借鉴作用,另一方面为弄清楚开平方运算做铺垫。通过引入,学生感受到今天是一节概念课,同时也是一种运算的呈现。
(2)探索规律,揭示新知。
师:在已知正方形面积25,求正方形的边长的问题上,我们实际上在思考哪个正数的平方是25。大家易想到5。那如果老师写出以下式子,括号里应该填什么数呢?( )2=25;( )2=4。
生:5和-5;2和-2。
师:很好,我们知道25是正负5的平方,4是正负2的平方,那么反过来,正负5是25的什么呢?正负2是4的什么呢?
生:平方根。
师:很好,大家能感受到平方和平方根的联系与区别吗?你能举出类似的式子吗?互相问答并分小组讨论平方根的定义。
小结:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫作a的平方根(或二次方根)。就是说,如果x2=a,那么x叫a的平方根,记作x=±√a。
师:知道了平方根的概念和表示方法,请问( )2=2?
生:±√2。
师:也就是说2的平方根是±√2。那是不是所有数都有平方根?而且都有两个?
设计意图:情境问题的延续,对平方根的本质进行探讨,学生能够较快地接受平方根的概念。学生在活动中初步体会一个数的平方根的个数与这个数的性质有关。
师:你能编几个求平方根的题目,考考你周同的同学吗?
接着教师提问:( )2=9;( )2=1/4;( )2=5;( )2=0;( )2=-4。
师:同学们发现了什么?
生:一个正数有两个平方根,它们互为相反数。因为只有0的平方得0,所以0只有一个平方根,是本身。因为任何数的平方都不可能是负数,所以负数没有平方根。
设计意图:学生通过对具体的数的平方根进行讨论交流,总结出正数、0、负数的平方根的情况。学生亲自探索规律过程,加深对规律的理解。
师:我们通过探讨得到了正数a有两个平方根,其中正的平方根叫作a的算术平方根,记作√a。而求一个数a的平方根的运算,叫作开平方(a≥0)。
师:请同学们说说平方根和算术平方根的联系与区别。
生1:平方根有两个;算术平方根有一个,是正的那个。
生2:不对。应该说正数的平方根有两个;正数的算术平方根有一个,是两个平方根里正的平方根。
师:很好,也就是说我们求某个正数的平方根,应该写出两个,而求某个正数的算术平方根只能写出一个。那么0有没有算术平方根呢?
生:是0。
师:对,0的平方根只有1个,规定0的算术平方根也是0。
师:请同学们说说,√7、-√7、±√7各表示什么意义?
思考:√(-7)2的平方根是___。
设计意图:指明概念,给出相应问题,层层辨析,再转化成符号语言,培养学生的数感和符号感,让学生弄清楚平方根和算术平方根的区别和联系。提问中再现概念,思考本质,巩固深化。
(3)学以致用。
例1 判断下列各数有没有平方根,如果有平方根,试求出它的平方根;如果没有平方根,说明理由。
(1)81;(2)-81;(3)0;(4)(-7)2;(5)-72。
例2 求下列各数的平方根。
(1)100;(2)1.44;(3)16/49;(4)27/9。
请你说出上述各数的算术平方根。
例3 (1)若√a-1有意义,则a的取值范围是____。
(2)若√a-1+(a+b)2=0,则a2007+b2008=____。
设计意图:围绕教学目标,明晰概念。学生通过例1判断有没有平方根,关键看所求的数是不是非负数;学生通过例2再次感受到非负数的算术平方根的唯一性。而例3用字母代替数字,让本节课提升到一定的高度。根据算术平方根的意义,有隐含条件,根号下的式子必须大于等于0,学生能更深刻地理解被开方数的非负性,也为以后二次根式的学习做铺垫。
二、教学反思
数学概念都有其本质特征,教学过程中应注重概念的分析,一步步揭示概念的本质。在平方根的教学中,笔者创设了恰当的背景引入概念,通过问题再现,引导学生观察、分析并尝试概括平方根的真正内涵与实质。教师在教学中主要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,在探索中逐步理解概念的本质,同时有效的数学概念教学不是以让学生学会概念为终极目标,而是让学生在参与活动中生成和构建数学概念,更要让学生体悟概念蕴含的丰富的实际意义,理解它的生活价值,获得对知识的整体认知。
(作者单位:苏州高新区实验初级中学)
一、教学设计
1.学习目标。
知识与技能:
(1)了解平方根的概念,会用根号表示正数的平方根;
(2)了解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根。
过程与方法:
(l)通过学习平方根,进一步建立数感和符号感,发展抽象思维;
(2)通过对正数平方根特点的探究,了解平方根与算术平方根的区别和联系,体验类比、化归等数学思想方法的运用,提高对问题的迁移能力。
2.教学流程。
(1)问题与情境。
师:我们学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算,在这五种运算中哪些是互为逆运算的呢?
加法←→ 减法,乘法←→ 除法,乘方←→ ?
师:正方形面积为25平方厘米,那么它的边长是多少呢?
生:5厘米。
师:如果把面积改为2呢?那么它的边长是多少呢?我们在已学过的数的范围内找不到这个数,那么今天便来学习“平方根”。
设計意图:回顾几种运算,一方面为引进平方根的概念起到借鉴作用,另一方面为弄清楚开平方运算做铺垫。通过引入,学生感受到今天是一节概念课,同时也是一种运算的呈现。
(2)探索规律,揭示新知。
师:在已知正方形面积25,求正方形的边长的问题上,我们实际上在思考哪个正数的平方是25。大家易想到5。那如果老师写出以下式子,括号里应该填什么数呢?( )2=25;( )2=4。
生:5和-5;2和-2。
师:很好,我们知道25是正负5的平方,4是正负2的平方,那么反过来,正负5是25的什么呢?正负2是4的什么呢?
生:平方根。
师:很好,大家能感受到平方和平方根的联系与区别吗?你能举出类似的式子吗?互相问答并分小组讨论平方根的定义。
小结:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫作a的平方根(或二次方根)。就是说,如果x2=a,那么x叫a的平方根,记作x=±√a。
师:知道了平方根的概念和表示方法,请问( )2=2?
生:±√2。
师:也就是说2的平方根是±√2。那是不是所有数都有平方根?而且都有两个?
设计意图:情境问题的延续,对平方根的本质进行探讨,学生能够较快地接受平方根的概念。学生在活动中初步体会一个数的平方根的个数与这个数的性质有关。
师:你能编几个求平方根的题目,考考你周同的同学吗?
接着教师提问:( )2=9;( )2=1/4;( )2=5;( )2=0;( )2=-4。
师:同学们发现了什么?
生:一个正数有两个平方根,它们互为相反数。因为只有0的平方得0,所以0只有一个平方根,是本身。因为任何数的平方都不可能是负数,所以负数没有平方根。
设计意图:学生通过对具体的数的平方根进行讨论交流,总结出正数、0、负数的平方根的情况。学生亲自探索规律过程,加深对规律的理解。
师:我们通过探讨得到了正数a有两个平方根,其中正的平方根叫作a的算术平方根,记作√a。而求一个数a的平方根的运算,叫作开平方(a≥0)。
师:请同学们说说平方根和算术平方根的联系与区别。
生1:平方根有两个;算术平方根有一个,是正的那个。
生2:不对。应该说正数的平方根有两个;正数的算术平方根有一个,是两个平方根里正的平方根。
师:很好,也就是说我们求某个正数的平方根,应该写出两个,而求某个正数的算术平方根只能写出一个。那么0有没有算术平方根呢?
生:是0。
师:对,0的平方根只有1个,规定0的算术平方根也是0。
师:请同学们说说,√7、-√7、±√7各表示什么意义?
思考:√(-7)2的平方根是___。
设计意图:指明概念,给出相应问题,层层辨析,再转化成符号语言,培养学生的数感和符号感,让学生弄清楚平方根和算术平方根的区别和联系。提问中再现概念,思考本质,巩固深化。
(3)学以致用。
例1 判断下列各数有没有平方根,如果有平方根,试求出它的平方根;如果没有平方根,说明理由。
(1)81;(2)-81;(3)0;(4)(-7)2;(5)-72。
例2 求下列各数的平方根。
(1)100;(2)1.44;(3)16/49;(4)27/9。
请你说出上述各数的算术平方根。
例3 (1)若√a-1有意义,则a的取值范围是____。
(2)若√a-1+(a+b)2=0,则a2007+b2008=____。
设计意图:围绕教学目标,明晰概念。学生通过例1判断有没有平方根,关键看所求的数是不是非负数;学生通过例2再次感受到非负数的算术平方根的唯一性。而例3用字母代替数字,让本节课提升到一定的高度。根据算术平方根的意义,有隐含条件,根号下的式子必须大于等于0,学生能更深刻地理解被开方数的非负性,也为以后二次根式的学习做铺垫。
二、教学反思
数学概念都有其本质特征,教学过程中应注重概念的分析,一步步揭示概念的本质。在平方根的教学中,笔者创设了恰当的背景引入概念,通过问题再现,引导学生观察、分析并尝试概括平方根的真正内涵与实质。教师在教学中主要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,在探索中逐步理解概念的本质,同时有效的数学概念教学不是以让学生学会概念为终极目标,而是让学生在参与活动中生成和构建数学概念,更要让学生体悟概念蕴含的丰富的实际意义,理解它的生活价值,获得对知识的整体认知。
(作者单位:苏州高新区实验初级中学)