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摘 要：运算能力是数学中的一项基本能力，也是《义务教育数学课程标准》中要求的核心素养之一。运算能力在很大程度上影响着学生的数学成绩。尽管教师在提高学生的运算能力上花了不少的心思，但是现状总是不尽如人意，学生因计算错误或未采取有效的简便计算所造成的失分都令教师非常痛心。那么如何在摒弃题海战术的条件下促进学生有效学习，如何培养学生的运算能力？本文就笔者自身的教学实践，结合教学中的几个片段提出几点提高学生运算能力的策略。
关键词：运算能力 运算速度
《义务教育数学课程标准》中指出：“运算能力主要指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。数学运算是数学活动的基本形式，是初中数学的重要内容。一个初中生数学能力的高低，在运算能力上就有着充分的体现。运算不仅是数学课程中“代数与数”的重要内容，“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”也都与运算有着紧密的联系。因此，提高初中生数学运算能力，也成为当前初中数学教学改革亟待解决的难题。
1 中学生运算能力培养的重要性
数学运算能力是数学学科核心素养中最基本的能力之一，也是学生学好数学知识，形成其他数学能力的基础。在初中数学中，大部分内容都与运算有着密切联系，学生运算能力的高低，直接决定了他们学习数学的质量。在各次考试中，考察运算能力的题目占据很大的比重，因为运算能力它是重要的基础。运算能力有时候是独立考察的，比如嘉兴中考第17题，直接考察实数的运算。但是大多数时候是渗透进各类题型中，成为解题不可或缺的环节。一个小的运算失误很可能会导致满盘皆输。但是，我们在九年级中考复习的时候，总会发现大部分的学生运算能力欠佳，后进生掌握不了运算法则，中等生计算出错率高，优生缺乏整体思想和简便运算的能力。而最近几年的中考，对于学生的运算能力的要求却在不断提高。运算能力如此重要，它大大地影响着学生的解题速度从而影响学生的成绩。所以，想要学好数学，运算能力是基础，培养和提升中学生的运算能力至关重要。
2 中学生运算能力出现问题的原因
笔者发现造成学生运算能力不佳的原因有以下几点：
第一，忽略运算法则的生成过程，过早的机械化解题的步骤而忽略学生的内化过程。运算能力不是独立存在的，它的生成是有内在逻辑的。
第二，在学生学习新的知识的时候没有很准确地把握学生的学情，忽略学生已有的知识，达不到学习的有效迁移。
第三，九年级的综合题目经常考察的整体思想、设而不求等运算技巧，教师平时教学中缺乏方法和思想的渗透，等到碰到题目的时候教师才刻意而为之，学生难以在短时间内掌握这些运算的技巧和方法。
正因为如此，在教学中我们时常用大量的题目训练学生的运算能力，但总在部分学生身上看到“忘性大”和“粗心”。学生即便通过大量练习掌握了运算方法，也难灵活变通。这就违背了有效学习的初衷。如何用尽可能有效的办法提高学生的运算能力，笔者经过日常的教学实践积累，总结了以下几点策略。
3 中学生运算能力提高策略
3.1 重视法则生成 ，讲透算理——算中有思
学生学习运算法则的思维过程，主要分成四个步骤：具体例子、归纳法则、运用法则和推广法则。若学生不能很好的运用法则，那么一定是给出具体的例子和归纳法则没有做到位。在教学中，若过早对法则进行程序化机械步骤化的归纳或是简单推导就归纳出运算法则，缺少学生的自我操作、举例等过程，这就会使得学生缺乏法则生成的内化和理解。虽然在经过大量的练习，学生也能很好的运用法则，但是却不能灵活选择算法进行简便灵活的应用。
章建跃教授曾说过：“没有过程的教学是没有思想的”。运算法则生成并非简单一个步骤，在具体的问题情境下，运算条件分析、运算方法的选择，都是学生要经历的思维过程。在这过程中，要求学生思考并理清运算中的算理，只有透彻算理，才能发展学生的运算能力。
笔者在初入数学教学课堂的时候就曾经犯过这样的错误。
案例1： 浙教版八年级上册第三章第四节《一元一次不等式组》中的片段
（1）课上给出四个例子：
教师在黑板上演示过程，总结解一元一次不等式组的口诀：大大取大，小小取小。
（2）利用口诀解不等式组：
这个教学片段，教师将一元一次不等式组的解法运算简单地看做一种技能，让学生在缺乏对一元一次不等式组的解的概念的时候，就让学生利用总结得到的口诀解不等式组，过早的程序化了运算，这是非常不利于学生掌握接受的。笔者认为应当给学生充分的时间亲自动手借助数轴去找出公共的部分，在这个过程中充分感受这种数形结合的方法，在此之后教师再做总结，会使得学生更好的理解和接受，进而在熟悉算理和口诀的前提下，感悟“运算中有思考”，潜移默化地提高自身的数学运算能力。
3.2 重视错题探究，吃透错题——算中能思
《义务教育数学课程标准》中指出：“在数学教学活动中，错误往往是教师在教学中和学生在学习过程中，反映在各方面，出现违反教学结论或数学方法的现象”。而认知心理学也认为：“错误是学习的必然产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达方式往往和成年人不同，他們在学习过程中出现各种各样的错误是十分正常的”。所有学生都容易犯运算错误，这是难以避免的。而我们教师希望学生犯同一个错误的次数仅一次就好。但事实却是我们总会发现部分学生长期犯同一个错误。运算能力的提高，需要一定的练习，但更重要的是：学生要通过习题，自我反思、总结、纠错，知道问题出在哪里？想出改错的方法，也就是吃透错题，真正提高运算能力。
案例2 浙教版七年级下册第三章第四节《乘法公式（1）》
学生犯的运算错误中，完全平方公式应该是顽疾。相信只要是数学老师都有体会，学生会将（a+b）2等于a2+b2，或者是将（a-b）2写作a2-b2，遗落中间项。这个错误从七年级一直到九年级，严重影响到学生后续对因式分解、一元二次方程、二次函数、分式方程求解等知识的掌握和应用。 笔者发现，如果九年级的学生还犯这个错误，教师只是做简单的更正，没有予以重视，基础薄弱的学生不清楚错误缘由，那么学生还会继续重复这个错误。鉴于此，教师有必要对学生及时辅导，引导学生先用举特殊值的方法否定这种算法，如（1+2）2 =32=9≠12+22，再让学生用具体的数据回忆幂的定义，如：23如何计算？那么学生自然能够得出（a+b）2 =（a+b）·（a+b），再接下来的推导中学生就得到了正确的公式。那么经历了这个过程，学生能够很好的认识的这个错误，在今后的学习中会有意识的规避这个错误。
学生是学习的主体，学生习得技能与知识，要建立在学生自我探索和思考的基础上。所以学生对待错误也是一样，教师不能流于表面的纠正学生的错误，而应该引导学生去研究这个错误，让学生从错误中有所思考，做到算中能思，从而达到改正错误提高计算率的目的。
3.3 重视知识迁移，看透联系——算中会思
初中的运算并不一块独立的知识，更不仅仅是一道实数的计算题，在做题过程中，不难发现，题目中存在很多知识间的联系。但是，很多学生往往因为观察能力不够、分析能力不够，不能看透知识点之间的联系，准确思考，教师若能给学生搭建起桥梁，就能够实现知识迁移，让学生在计算中学会思考，达到提高运算速度的功效。
案例3以三角形相似和勾股定理运算为例。
学完相似三角形后，学生就能明白相似的一些三角形，它的三边比例关系是不变的。借助这一点，可以帮助学生简化勾股定理的运算。我们知道中考题中，常出现的直角三角形的三边比有，等。
例如：如图这样的直角三角形，已知直角三角形的两直角边分别为和14，求斜边。
求斜边的时候，学生若老老实实的用勾股定理计算，计算量是比较大的，也非常费时。但是若教师平时有意识地向学生灌输常见的比例关系，学生容易发现，而，那么根据三边的关系，第三边就该是。这样的例子还有很多。当学生熟悉了这种技巧，就无形中加快的解题的速度。
让学生通过观察、思考、探究、归纳，主动进行学习，勤思考，会思考，学会看透题目中知识点之间的内在联系，从而提高运算速度，提升运算能力。
3.4 重视整体思想，渗透方法——算中巧思
数学思想是数学的灵魂，也是解题的法宝。整体思想是数学解题的重要思想方法之一。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。整体思想是初中解题中常常会涉及到的数学思想方法。笔者从往年的各地市的中考题中发现，在一些压轴题中命题人非常喜欢设计整体代入的计算陷阱。认真研究不难发现，这么命题是可以将不同层次的学生区分开来的，由此达到压轴题的功效。因此，在解题时，学会灵巧地思考，直观重要。
案例4 温州2018年中考题第10题：
我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）
A.20 B. 24
B. D.
这个题虽然有很多解法，但学生用的最多的还是以下这种解法：
设小正方形的边长为x，那么矩形的两边分别表示为3+x和4+x，由题容易知道图中矩形的对角线长为7。
由勾股定理，得（3+x）2+（4+x）2=72。
化简后得到x2+7x=12。
所以矩形的面积。
在笔者给班级里成績不错的学生做这个题的时候，发现做对的还是挺多，但是做题的速度却大有不同。因为很多学生在由勾股得到这个结果的时候，是画时间解这个一元二次方程的，而这个方程的解是比较复杂的。然后在将解代入求矩形的面积的时候就花了大量的时间。殊不知，可以设而不求。这种“设而不求”其实就是一种代数中的整体代入的方法。设而不求在这个题目里面可以为学生节省下来非常多的时间，大大减小解题运算量。
其实，设未知数然后求出来是学生的思维定势，笔者认为若因为九年级学生遇到了这样的一些题目，教师这时候才刻意和学生灌输整体思想是来不及的。整体思想方法应在从七年级开始就不断的渗透在日常的教学中，帮助学生搭建知识结构和思维框架，学会思考，并学会“巧思”，才能切实提高学生的运算能力。总之，要提高学生运算能力是一个长期的过程。学生运算能力的培养不仅仅是实现技能熟练，也伴随学生数学思维的提高。笔者认为需要从养成习惯入手，让学生在运算中有思考、能思考、会思考、巧思考。通过技能固化，实现运算相关知识融会贯通，应用自如，从而潜移默化式提高初中生的运算能力。
参考文献：
[1] 《义务教育数学课程标准》[M].北京师范大学出版社，中华人民共和国教育部，2011.
[2] 庞彦福，徐彬.视“错误”为拐点，提高学生运算能力[J].江苏教育.2018（11）.
[3] 温州数学2018年中考卷.
[4] 徐健.关注运算能力 培养核心素养[J].中学数学教学参考.2018（8）.
[5] 马奇.整体意识：完善思维结构的一剂良方[J].数学教学通讯.2019（11）.
[6] 陈力生.核心素养视角下初中数学教学中学生运算能力的培养[J].考试周刊，2018（85）.
海宁市许村中学 （浙江省海宁市 314409）
关键词：运算能力 运算速度
《义务教育数学课程标准》中指出：“运算能力主要指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。数学运算是数学活动的基本形式，是初中数学的重要内容。一个初中生数学能力的高低，在运算能力上就有着充分的体现。运算不仅是数学课程中“代数与数”的重要内容，“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”也都与运算有着紧密的联系。因此，提高初中生数学运算能力，也成为当前初中数学教学改革亟待解决的难题。
1 中学生运算能力培养的重要性
数学运算能力是数学学科核心素养中最基本的能力之一，也是学生学好数学知识，形成其他数学能力的基础。在初中数学中，大部分内容都与运算有着密切联系，学生运算能力的高低，直接决定了他们学习数学的质量。在各次考试中，考察运算能力的题目占据很大的比重，因为运算能力它是重要的基础。运算能力有时候是独立考察的，比如嘉兴中考第17题，直接考察实数的运算。但是大多数时候是渗透进各类题型中，成为解题不可或缺的环节。一个小的运算失误很可能会导致满盘皆输。但是，我们在九年级中考复习的时候，总会发现大部分的学生运算能力欠佳，后进生掌握不了运算法则，中等生计算出错率高，优生缺乏整体思想和简便运算的能力。而最近几年的中考，对于学生的运算能力的要求却在不断提高。运算能力如此重要，它大大地影响着学生的解题速度从而影响学生的成绩。所以，想要学好数学，运算能力是基础，培养和提升中学生的运算能力至关重要。
2 中学生运算能力出现问题的原因
笔者发现造成学生运算能力不佳的原因有以下几点：
第一，忽略运算法则的生成过程，过早的机械化解题的步骤而忽略学生的内化过程。运算能力不是独立存在的，它的生成是有内在逻辑的。
第二，在学生学习新的知识的时候没有很准确地把握学生的学情，忽略学生已有的知识，达不到学习的有效迁移。
第三，九年级的综合题目经常考察的整体思想、设而不求等运算技巧，教师平时教学中缺乏方法和思想的渗透，等到碰到题目的时候教师才刻意而为之，学生难以在短时间内掌握这些运算的技巧和方法。
正因为如此，在教学中我们时常用大量的题目训练学生的运算能力，但总在部分学生身上看到“忘性大”和“粗心”。学生即便通过大量练习掌握了运算方法，也难灵活变通。这就违背了有效学习的初衷。如何用尽可能有效的办法提高学生的运算能力，笔者经过日常的教学实践积累，总结了以下几点策略。
3 中学生运算能力提高策略
3.1 重视法则生成 ，讲透算理——算中有思
学生学习运算法则的思维过程，主要分成四个步骤：具体例子、归纳法则、运用法则和推广法则。若学生不能很好的运用法则，那么一定是给出具体的例子和归纳法则没有做到位。在教学中，若过早对法则进行程序化机械步骤化的归纳或是简单推导就归纳出运算法则，缺少学生的自我操作、举例等过程，这就会使得学生缺乏法则生成的内化和理解。虽然在经过大量的练习，学生也能很好的运用法则，但是却不能灵活选择算法进行简便灵活的应用。
章建跃教授曾说过：“没有过程的教学是没有思想的”。运算法则生成并非简单一个步骤，在具体的问题情境下，运算条件分析、运算方法的选择，都是学生要经历的思维过程。在这过程中，要求学生思考并理清运算中的算理，只有透彻算理，才能发展学生的运算能力。
笔者在初入数学教学课堂的时候就曾经犯过这样的错误。
案例1： 浙教版八年级上册第三章第四节《一元一次不等式组》中的片段
（1）课上给出四个例子：
教师在黑板上演示过程，总结解一元一次不等式组的口诀：大大取大，小小取小。
（2）利用口诀解不等式组：
这个教学片段，教师将一元一次不等式组的解法运算简单地看做一种技能，让学生在缺乏对一元一次不等式组的解的概念的时候，就让学生利用总结得到的口诀解不等式组，过早的程序化了运算，这是非常不利于学生掌握接受的。笔者认为应当给学生充分的时间亲自动手借助数轴去找出公共的部分，在这个过程中充分感受这种数形结合的方法，在此之后教师再做总结，会使得学生更好的理解和接受，进而在熟悉算理和口诀的前提下，感悟“运算中有思考”，潜移默化地提高自身的数学运算能力。
3.2 重视错题探究，吃透错题——算中能思
《义务教育数学课程标准》中指出：“在数学教学活动中，错误往往是教师在教学中和学生在学习过程中，反映在各方面，出现违反教学结论或数学方法的现象”。而认知心理学也认为：“错误是学习的必然产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达方式往往和成年人不同，他們在学习过程中出现各种各样的错误是十分正常的”。所有学生都容易犯运算错误，这是难以避免的。而我们教师希望学生犯同一个错误的次数仅一次就好。但事实却是我们总会发现部分学生长期犯同一个错误。运算能力的提高，需要一定的练习，但更重要的是：学生要通过习题，自我反思、总结、纠错，知道问题出在哪里？想出改错的方法，也就是吃透错题，真正提高运算能力。
案例2 浙教版七年级下册第三章第四节《乘法公式（1）》
学生犯的运算错误中，完全平方公式应该是顽疾。相信只要是数学老师都有体会，学生会将（a+b）2等于a2+b2，或者是将（a-b）2写作a2-b2，遗落中间项。这个错误从七年级一直到九年级，严重影响到学生后续对因式分解、一元二次方程、二次函数、分式方程求解等知识的掌握和应用。 笔者发现，如果九年级的学生还犯这个错误，教师只是做简单的更正，没有予以重视，基础薄弱的学生不清楚错误缘由，那么学生还会继续重复这个错误。鉴于此，教师有必要对学生及时辅导，引导学生先用举特殊值的方法否定这种算法，如（1+2）2 =32=9≠12+22，再让学生用具体的数据回忆幂的定义，如：23如何计算？那么学生自然能够得出（a+b）2 =（a+b）·（a+b），再接下来的推导中学生就得到了正确的公式。那么经历了这个过程，学生能够很好的认识的这个错误，在今后的学习中会有意识的规避这个错误。
学生是学习的主体，学生习得技能与知识，要建立在学生自我探索和思考的基础上。所以学生对待错误也是一样，教师不能流于表面的纠正学生的错误，而应该引导学生去研究这个错误，让学生从错误中有所思考，做到算中能思，从而达到改正错误提高计算率的目的。
3.3 重视知识迁移，看透联系——算中会思
初中的运算并不一块独立的知识，更不仅仅是一道实数的计算题，在做题过程中，不难发现，题目中存在很多知识间的联系。但是，很多学生往往因为观察能力不够、分析能力不够，不能看透知识点之间的联系，准确思考，教师若能给学生搭建起桥梁，就能够实现知识迁移，让学生在计算中学会思考，达到提高运算速度的功效。
案例3以三角形相似和勾股定理运算为例。
学完相似三角形后，学生就能明白相似的一些三角形，它的三边比例关系是不变的。借助这一点，可以帮助学生简化勾股定理的运算。我们知道中考题中，常出现的直角三角形的三边比有，等。
例如：如图这样的直角三角形，已知直角三角形的两直角边分别为和14，求斜边。
求斜边的时候，学生若老老实实的用勾股定理计算，计算量是比较大的，也非常费时。但是若教师平时有意识地向学生灌输常见的比例关系，学生容易发现，而，那么根据三边的关系，第三边就该是。这样的例子还有很多。当学生熟悉了这种技巧，就无形中加快的解题的速度。
让学生通过观察、思考、探究、归纳，主动进行学习，勤思考，会思考，学会看透题目中知识点之间的内在联系，从而提高运算速度，提升运算能力。
3.4 重视整体思想，渗透方法——算中巧思
数学思想是数学的灵魂，也是解题的法宝。整体思想是数学解题的重要思想方法之一。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。整体思想是初中解题中常常会涉及到的数学思想方法。笔者从往年的各地市的中考题中发现，在一些压轴题中命题人非常喜欢设计整体代入的计算陷阱。认真研究不难发现，这么命题是可以将不同层次的学生区分开来的，由此达到压轴题的功效。因此，在解题时，学会灵巧地思考，直观重要。
案例4 温州2018年中考题第10题：
我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）
A.20 B. 24
B. D.
这个题虽然有很多解法，但学生用的最多的还是以下这种解法：
设小正方形的边长为x，那么矩形的两边分别表示为3+x和4+x，由题容易知道图中矩形的对角线长为7。
由勾股定理，得（3+x）2+（4+x）2=72。
化简后得到x2+7x=12。
所以矩形的面积。
在笔者给班级里成績不错的学生做这个题的时候，发现做对的还是挺多，但是做题的速度却大有不同。因为很多学生在由勾股得到这个结果的时候，是画时间解这个一元二次方程的，而这个方程的解是比较复杂的。然后在将解代入求矩形的面积的时候就花了大量的时间。殊不知，可以设而不求。这种“设而不求”其实就是一种代数中的整体代入的方法。设而不求在这个题目里面可以为学生节省下来非常多的时间，大大减小解题运算量。
其实，设未知数然后求出来是学生的思维定势，笔者认为若因为九年级学生遇到了这样的一些题目，教师这时候才刻意和学生灌输整体思想是来不及的。整体思想方法应在从七年级开始就不断的渗透在日常的教学中，帮助学生搭建知识结构和思维框架，学会思考，并学会“巧思”，才能切实提高学生的运算能力。总之，要提高学生运算能力是一个长期的过程。学生运算能力的培养不仅仅是实现技能熟练，也伴随学生数学思维的提高。笔者认为需要从养成习惯入手，让学生在运算中有思考、能思考、会思考、巧思考。通过技能固化，实现运算相关知识融会贯通，应用自如，从而潜移默化式提高初中生的运算能力。
参考文献：
[1] 《义务教育数学课程标准》[M].北京师范大学出版社，中华人民共和国教育部，2011.
[2] 庞彦福，徐彬.视“错误”为拐点，提高学生运算能力[J].江苏教育.2018（11）.
[3] 温州数学2018年中考卷.
[4] 徐健.关注运算能力 培养核心素养[J].中学数学教学参考.2018（8）.
[5] 马奇.整体意识：完善思维结构的一剂良方[J].数学教学通讯.2019（11）.
[6] 陈力生.核心素养视角下初中数学教学中学生运算能力的培养[J].考试周刊，2018（85）.
海宁市许村中学 （浙江省海宁市 314409）