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摘 要：在高中物理的力学学习中，活用三角解题往往能更加直观快捷地把握题目，作者将自己在高三一轮复习中使用的三角知识解决的物理问题进行了分类总结，以期帮助学生准确解题。
关键词：高中物理；三角和三角函数；解决物理问题
物理是一门精密科学，与数学有着密切的关系。无论是在物理学习的过程中，还是应用物理知识解决问题的过程中，或多或少要进行数学推导和数学运算。在《考试大纲》中关于物理学科要考察的“应用数学处理物理问题的能力”有这样的一段叙述：能够运用几何图形、函数图像进行表达、分析。其中应用最为广泛的图形便是三角形。以下是笔者总结的一些用三角形知识解决物理问题的典例，希望大家有所收获。
一、 三角形在“速度的合成与分解”中的应用
（一） 在“速度的合成”方面
速度作为最基本的矢量之一，在进行运算的时候经常用三角形定则来进行计算，在速度的合成过程中代表着两个分速度的有向线段首尾相连组成矢量三角形的第三边即为合速度。
最典型的例子就是小船过河问题。小船过河的问题涉及两种情况，第一是船速大于水速，当小船以最短位移过河的时候，如图一所示，将船速作为斜边，水速作为一个直角边，另一条直角边作为合速度，垂直于河对岸行驶，使得渡河位移最短。但当船速小于水速的时候，由于三角形的斜边永远大于两个直角边，所以船速不能作为斜边合成三角形，也就意味着小船在河中的位移不能垂直于河对岸。解决这个问题的时候，就要将水速作为斜边，然后以船速大小为半径以水速的矢量端点为圆心画弧，此时过另一个矢量端点的圆弧的切线就是最短位移时的合速度。（如图二所示）
（二） 在“速度的分解”方面
在进行速度分解的时候，通常要根据物体的实际运动状况，将物体的速度进行合理的分解，组成矢量三角形，如下面这道例题。
（2018·湖北龙泉中学、宜昌一中联考）某人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，人以速度v0匀速向下拉绳，当物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是（ ）
A. v0cosθB. v0cosθ
C. v0sinθD. v0sinθ
解析：将A的速度以运动效果分解为沿绳方向（改变速度的大小）和垂直于绳方向（改变速度的方向）的速度，如图所示，拉绳的速度等于A沿绳方向的分速度，根据三角形定则得，实际速度v=v0cosθ。
二、 三角形在“力的合成与分解”中的应用
（一） 三角函数的使用
在力学问题的研究过程中，使用最多的就是三角函数。三角函数经常用于对物体进行受力分析和最值的求解，在受力分析以后进行正交分解，将未知力用已知力和三角函数表示出来，在进行最值求解的时候要利用“一角一函数”对力的表达式进行化简，然后求出最值，如下面这道例题。
（2011·上海二模）如图五所示，水平地面上放置一个质量为m的物体，在与水平方向成θ角的斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面运动，物体与地面间的动摩擦因数为μ。若物体以恒定加速度a=5m/s2向右做匀加速直线运动，求维持这一加速度的拉力F的最小值。（已知m=10kg、μ=0.5）
解析：对物体进行受力分析，可得：Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=ma
整理得F=μmg macosθ μsinθ=μmg ma1 μ2sin（θ α），利用“一角一函数”化简得
α=sin-111 μ2，当sin（θ α）=1时，F有最小值，Fmin=μmg ma1 μ2=405N。
（二） 相似三角形的使用
在进行动态分析的时候经常使用三角形的相似来解决问题。若题目已知一个力的大小和方向以及另一个力的大小，求解剩余一个力的变化过程，此时要利用三力合成的矢量三角形与几何三角形有相似关系，得出结果，如下面这道例题。
如图六所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端與竖直墙用铰链连接，一个滑轮固定在A点正上方，C端吊一个重物.现施加拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（ ）
A. BC绳中的拉力FT越来越大
B. BC绳中的拉力FT越来越小
C. AC杆中的支撑力FN越来越大
D. AC杆中的支撑力FN越来越小
解析：如图七所示，做出C点的受力示意图，由图可知力的矢量三角形与几何三角形相似。由此可得FTBC=FNAC=GAB，解得BC绳中的拉力为FT=GBCAB，AC杆中的支撑力为FN=GACAB，由于重物P向上运动时，AB、AC长度不变，BC长度变小，故FT减小，FN不变。选项B正确。
（三） 正弦定理的使用
正弦定理在使用的时候，题目中往往会给出一个大小方向确定的力和两个有固定夹角的力，由于两个力的大小方向都在改变，所以要利用正弦定理找出确定力和不确定力之间的关系从而得出结论，如下面这道例题。
（2017·全国卷Ⅰ）如图八，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>π2）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（ ）
A. MN上的张力逐渐增大
B. MN上的张力先增大后减小
C. MO上的张力逐渐增大
D. OM上的张力先增大后减小
解析：将重物向右上方缓慢拉起，重物处于动态平衡状态。将重物的重力沿两绳方向分解，画出分解的动态图，如图九所示。在三角形中，根据正弦定理有G/sinγ1=FOM1/sinβ1=FMN1/sinθ1，由平行关系得，γ=180°-α不变。
因sinβ（β为FMN与G的夹角）先增大后减小，故OM上的张力先增大后减小。
因sinθ（θ为FOM与G的夹角）逐渐增大，故MN上的张力逐渐增大，故选项A、D正确。
三、 结语
以上是笔者为大家简单总结的一些利用三角形有关知识解决物理问题的方法，希望能给大家带来一些帮助。
参考文献：
[1]教育部考试中心.2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲[M].北京：高等教育出版社，2017.12.
[2]弼盛，优化探究.高考总复习[M].物理.济南：济南出版社，2018.1.
作者简介：
董越洋，王洪娜，山东省青岛市，山东省青岛第五十八中学。
关键词：高中物理；三角和三角函数；解决物理问题
物理是一门精密科学，与数学有着密切的关系。无论是在物理学习的过程中，还是应用物理知识解决问题的过程中，或多或少要进行数学推导和数学运算。在《考试大纲》中关于物理学科要考察的“应用数学处理物理问题的能力”有这样的一段叙述：能够运用几何图形、函数图像进行表达、分析。其中应用最为广泛的图形便是三角形。以下是笔者总结的一些用三角形知识解决物理问题的典例，希望大家有所收获。
一、 三角形在“速度的合成与分解”中的应用
（一） 在“速度的合成”方面
速度作为最基本的矢量之一，在进行运算的时候经常用三角形定则来进行计算，在速度的合成过程中代表着两个分速度的有向线段首尾相连组成矢量三角形的第三边即为合速度。
最典型的例子就是小船过河问题。小船过河的问题涉及两种情况，第一是船速大于水速，当小船以最短位移过河的时候，如图一所示，将船速作为斜边，水速作为一个直角边，另一条直角边作为合速度，垂直于河对岸行驶，使得渡河位移最短。但当船速小于水速的时候，由于三角形的斜边永远大于两个直角边，所以船速不能作为斜边合成三角形，也就意味着小船在河中的位移不能垂直于河对岸。解决这个问题的时候，就要将水速作为斜边，然后以船速大小为半径以水速的矢量端点为圆心画弧，此时过另一个矢量端点的圆弧的切线就是最短位移时的合速度。（如图二所示）
（二） 在“速度的分解”方面
在进行速度分解的时候，通常要根据物体的实际运动状况，将物体的速度进行合理的分解，组成矢量三角形，如下面这道例题。
（2018·湖北龙泉中学、宜昌一中联考）某人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，人以速度v0匀速向下拉绳，当物体A到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是（ ）
A. v0cosθB. v0cosθ
C. v0sinθD. v0sinθ
解析：将A的速度以运动效果分解为沿绳方向（改变速度的大小）和垂直于绳方向（改变速度的方向）的速度，如图所示，拉绳的速度等于A沿绳方向的分速度，根据三角形定则得，实际速度v=v0cosθ。
二、 三角形在“力的合成与分解”中的应用
（一） 三角函数的使用
在力学问题的研究过程中，使用最多的就是三角函数。三角函数经常用于对物体进行受力分析和最值的求解，在受力分析以后进行正交分解，将未知力用已知力和三角函数表示出来，在进行最值求解的时候要利用“一角一函数”对力的表达式进行化简，然后求出最值，如下面这道例题。
（2011·上海二模）如图五所示，水平地面上放置一个质量为m的物体，在与水平方向成θ角的斜向右上方的拉力F的作用下沿水平地面运动，物体与地面间的动摩擦因数为μ。若物体以恒定加速度a=5m/s2向右做匀加速直线运动，求维持这一加速度的拉力F的最小值。（已知m=10kg、μ=0.5）
解析：对物体进行受力分析，可得：Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=ma
整理得F=μmg macosθ μsinθ=μmg ma1 μ2sin（θ α），利用“一角一函数”化简得
α=sin-111 μ2，当sin（θ α）=1时，F有最小值，Fmin=μmg ma1 μ2=405N。
（二） 相似三角形的使用
在进行动态分析的时候经常使用三角形的相似来解决问题。若题目已知一个力的大小和方向以及另一个力的大小，求解剩余一个力的变化过程，此时要利用三力合成的矢量三角形与几何三角形有相似关系，得出结果，如下面这道例题。
如图六所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端與竖直墙用铰链连接，一个滑轮固定在A点正上方，C端吊一个重物.现施加拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（ ）
A. BC绳中的拉力FT越来越大
B. BC绳中的拉力FT越来越小
C. AC杆中的支撑力FN越来越大
D. AC杆中的支撑力FN越来越小
解析：如图七所示，做出C点的受力示意图，由图可知力的矢量三角形与几何三角形相似。由此可得FTBC=FNAC=GAB，解得BC绳中的拉力为FT=GBCAB，AC杆中的支撑力为FN=GACAB，由于重物P向上运动时，AB、AC长度不变，BC长度变小，故FT减小，FN不变。选项B正确。
（三） 正弦定理的使用
正弦定理在使用的时候，题目中往往会给出一个大小方向确定的力和两个有固定夹角的力，由于两个力的大小方向都在改变，所以要利用正弦定理找出确定力和不确定力之间的关系从而得出结论，如下面这道例题。
（2017·全国卷Ⅰ）如图八，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>π2）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（ ）
A. MN上的张力逐渐增大
B. MN上的张力先增大后减小
C. MO上的张力逐渐增大
D. OM上的张力先增大后减小
解析：将重物向右上方缓慢拉起，重物处于动态平衡状态。将重物的重力沿两绳方向分解，画出分解的动态图，如图九所示。在三角形中，根据正弦定理有G/sinγ1=FOM1/sinβ1=FMN1/sinθ1，由平行关系得，γ=180°-α不变。
因sinβ（β为FMN与G的夹角）先增大后减小，故OM上的张力先增大后减小。
因sinθ（θ为FOM与G的夹角）逐渐增大，故MN上的张力逐渐增大，故选项A、D正确。
三、 结语
以上是笔者为大家简单总结的一些利用三角形有关知识解决物理问题的方法，希望能给大家带来一些帮助。
参考文献：
[1]教育部考试中心.2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲[M].北京：高等教育出版社，2017.12.
[2]弼盛，优化探究.高考总复习[M].物理.济南：济南出版社，2018.1.
作者简介：
董越洋，王洪娜，山东省青岛市，山东省青岛第五十八中学。