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【摘要】由于测斜仪测量精度受到加速度计零偏、灵敏度误差和随机噪声等误差源的影响，本文进行了测斜误差机理分析与建模。在此基础上进行了数值仿真分析。结果表明各轴向加速度测量精度对测斜姿态解算影响不同，误差间也呈现出一定的对称关系。本文所采用的误差建模及分析方法对测斜仪传感器的选型以及测斜仪精度的提高具有一定的参考。
【关键词】测斜仪;加速度计;误差分析
Abstract：This paper introduces the principle of accelerometer inclinometer and builds the error model on analysis of error sources in detail.Simulation show that the model of inclinometer based on accelerometer.This model can provide the reference basis for Choice of Sensors and further Error Analysis.
Keywords：Inclinometer System;Accelerometer;Error Analysis
1.引言
测斜仪可以用于测量矿井施工中的钻孔倾角姿态信息，以便施工人员能够掌握钻孔姿态及时调整作业方案[1，2]。传统的测斜方法是基于水泡式原理，通过肉眼分辨水泡移动粗略地判断倾角大小[3]。目前，测斜仪大多采用基于电位器、电感或加速度计传感器作为敏感器件的数字式测斜仪。在实际测量时，通过上述传感器将倾角变换成相应的电信号输出，由相关的解算算法完成钻孔倾角姿态计算[4]。而基于加速度计的测斜仪是根据重力场投影原理进行倾角测量的仪器，是目前最为广泛应用测斜仪器之一，具有体积小、价格便宜、且测量精度较高等优点，但其测量精度受到加速度计传感器的零偏、灵敏度误差以及其它误差源的影响[5]。因此本文针对测斜仪的各种误差源进行误差影响分析，为进一步提高测斜仪测量精度寻找解决方案。
2.基于加速度计的测斜仪测量原理
2.1 测斜仪系统的组成结构
基于加速度计的测斜仪是根据重力场投影原理来进行倾角的测量，利用三轴加速计敏感测斜仪坐标系下的各重力加速度信息，再根据加速度信息完成倾角的计算。因此，基于加速度计的测斜仪系统主要由加速计传感器、信号调理和数据采集电路以及微处理器（MCU）等电路模块组成，测斜仪系统组成结构示意如图1所示。
图1 测斜仪系统组成结构
2.2 倾角计算基本公式
测斜仪坐标系定义如图2所示，选取东北天地理坐标系作为测斜仪水平参考坐标系，为图中标示为o-xyz坐标系，测斜仪载体坐标系为o-xmymzm坐标系。按上述定义坐标系可知图中标示角度即为测斜仪的俯仰角和横滚角，为方位角。
图2 测斜仪坐标系定义
若三轴加速度敏感方向与图中所示测斜仪载体坐标系为o-xmymzm坐标系完全一致时。则根据惯联惯导理论可知[6]，三轴向加速度计测量输出与重力加速度的投影关系可表示为：
（1）
上式中，即为x、y和z轴加速度计的测量输出;而矢量为测斜仪水平参考坐标系当地重力分量;为测斜仪姿态变换矩阵，其中：
（2）
因此，由式（1）可推导得到测斜仪俯仰角和横滚角的倾角基本解算公式为：
（3）
3.测斜仪测量误差分析与建模
由上述倾角基本解算公式（3）可知，所选三轴加速度计的测量误差很大程度上决定了测斜仪的倾角测量解算精度。而加速度计的测量误差源主要有传感器的零偏、安装误差和测量噪声等。在测斜仪系统设计时，通常借助其它高精度标定设置对各加速度计传感器进行校准工作，传感器的零偏误差和安装角误差能够在一定程度得到补偿，但在实际测量使用过程中，这些误差源不可避免的总是存在，因此，重点针对传感器的零偏误差和随机测量进行误差建模，分析各误差的传递关系。
3.1 零偏误差传递模型
由文献可知，三轴向加速度计的零偏误差对测斜仪倾角计算影响最为明显。为便以描述，将倾角基本解算公式（3）简写为函数的一般形式：
（4）
上式表明，俯仰角只与三轴加速度计测量误差相关，而测斜仪横滚角误差也受俯仰角测量误差间接影响。现假设测斜仪加速度计经校准后还存在零偏误差，分别为和，因此，对式（4）进行微分计算，可得零偏误差的传递模型为：
（5）
上式中：
从上式误差的模型可知，测斜仪倾角测量误差与各轴加速度计零偏误差之间接传递呈现出非线性变化的关系。因此，本文采用数值仿真方法来分析其间的误差传递关系。
3.2 随机测量噪声误差传递模型
测斜仪加速度计的随机测量噪声也是影响倾角计算精度的重要因素之一。现假设三轴向加速度计传感器随机测量噪声满足正态分布统计规律为：
（6）
其中、和表示为随机测量噪声的标准差，为加速度计传感器测量噪声。因此，可推导出到随机测量噪声误差的传递模型为：
（7）
上式中，和分别是俯仰角和横滚角测量误差标准差。相似于上述零偏误差的传递模型，随机测量噪声误差传递模型也呈现出极为复杂的非线性传播关系，接下来对测量误差进行仿真分析。
图3 俯仰角误差（Y轴0.1g测量误差）
图4 横滚角误差（Y轴0.1g测量误差）
图5 俯仰角误差（X轴0.1g测量误差）
4.数值仿真分析
为直观分析误差传递关系，利用Matlab进行数值仿真，仿真设置：方位全角测量范围0～360°;俯仰角测量范围-90～90°;横滚角测量范围-180～180°。本文针对X、Y和Z轴各轴单独存在0.1g测量误差时分别进行了数值仿真分析。图3～4、图5～6和图7～8所示分别为Y轴、X轴和Z轴各轴加速度计单独存在0.1g测量误差时仿真结果，图中俯仰角和横滚角姿态误差的大小用颜色图例来表示。 图6 横滚角误差（X轴0.1g测量误差）
在图6中，若把误差绝对值在<5°以内的区域视为可接收误差区，仿真时，将误差绝对值≥5°用误差5°来代替，以保持仿真图形的可观性。图中深颜色“平板”区域是误差≥5°的不可接受区域。在图8中作了相似的处理。从图5～图8的仿真结果来看，相比之俯仰姿态角误差，X轴与Z轴加速度的测量误差对横滚姿态解算影响比更为严重，在全测量范围内解算误差几乎大于5°，也即“平板”区域占了大部。此外，整个测量范围内倾角姿态解算误差以0°横滚角为中心对称。因此，Y轴加速度计测量精度是决定了俯仰角解算精度，而提高X轴和Z轴加速度测量精度是提高横滚角精度的关键所在。
图7 俯仰角误差（Z轴0.1g测量误差）
图8 横滚角误差（Z轴0.1g测量误差）
5.结论
本文首先介绍了基于加速度计的测斜仪原理，然后重点针对测斜仪倾角解算的误差机理进行了分析与建模，最后利用Matlab对误差传递情况进行数值仿真分析。从仿真结果来看，X轴与Z轴加速度的测量误差对横滚姿态解算影响比更为严重，而Y轴加速度计测量精度是决定了俯仰角解算精度，此外，整个测量范围内倾角姿态解算误差以0°横滚角或俯仰角为中心对称关系。本文所采用的误差建模及分析方法对测斜仪传感器的选型以及测斜仪精度的提高具有一定的参考。
参考文献
[1]田小芳，陆起涌，熊超.基于加速度传感器的倾角仪设计[J].传感技术学报，2006，4（19）：361-362.
[2]韩宏，吴嘉澍.基于加速度计的数字式倾角仪的设计[J].传感器技术，2005（24）：47-51.
[3]徐根德.一种检测物体倾斜角度的倾角仪[J].物理试验，1995，15（5）：227-228.
[4]龙达峰，刘俊，张晓明.陀螺测斜仪小角度井斜角测量的姿态提取方法[J].传感技术学报，2013，6：883-886.
[5]文香稳，潘明华，朱国力.倾角仪特性研究及其测量误差补偿[J].传感器与微系统，2011，30（3）：84-85.
[6]秦永元.惯性导航[M].北京：科学出版社，2006：294-301.
项目来源：山西省研究生优秀创新基金（20123091）。
作者简介：龙达峰（1979—），男，讲师，研究方向：惯性与组合导航技术。
【关键词】测斜仪;加速度计;误差分析
Abstract：This paper introduces the principle of accelerometer inclinometer and builds the error model on analysis of error sources in detail.Simulation show that the model of inclinometer based on accelerometer.This model can provide the reference basis for Choice of Sensors and further Error Analysis.
Keywords：Inclinometer System;Accelerometer;Error Analysis
1.引言
测斜仪可以用于测量矿井施工中的钻孔倾角姿态信息，以便施工人员能够掌握钻孔姿态及时调整作业方案[1，2]。传统的测斜方法是基于水泡式原理，通过肉眼分辨水泡移动粗略地判断倾角大小[3]。目前，测斜仪大多采用基于电位器、电感或加速度计传感器作为敏感器件的数字式测斜仪。在实际测量时，通过上述传感器将倾角变换成相应的电信号输出，由相关的解算算法完成钻孔倾角姿态计算[4]。而基于加速度计的测斜仪是根据重力场投影原理进行倾角测量的仪器，是目前最为广泛应用测斜仪器之一，具有体积小、价格便宜、且测量精度较高等优点，但其测量精度受到加速度计传感器的零偏、灵敏度误差以及其它误差源的影响[5]。因此本文针对测斜仪的各种误差源进行误差影响分析，为进一步提高测斜仪测量精度寻找解决方案。
2.基于加速度计的测斜仪测量原理
2.1 测斜仪系统的组成结构
基于加速度计的测斜仪是根据重力场投影原理来进行倾角的测量，利用三轴加速计敏感测斜仪坐标系下的各重力加速度信息，再根据加速度信息完成倾角的计算。因此，基于加速度计的测斜仪系统主要由加速计传感器、信号调理和数据采集电路以及微处理器（MCU）等电路模块组成，测斜仪系统组成结构示意如图1所示。
图1 测斜仪系统组成结构
2.2 倾角计算基本公式
测斜仪坐标系定义如图2所示，选取东北天地理坐标系作为测斜仪水平参考坐标系，为图中标示为o-xyz坐标系，测斜仪载体坐标系为o-xmymzm坐标系。按上述定义坐标系可知图中标示角度即为测斜仪的俯仰角和横滚角，为方位角。
图2 测斜仪坐标系定义
若三轴加速度敏感方向与图中所示测斜仪载体坐标系为o-xmymzm坐标系完全一致时。则根据惯联惯导理论可知[6]，三轴向加速度计测量输出与重力加速度的投影关系可表示为：
（1）
上式中，即为x、y和z轴加速度计的测量输出;而矢量为测斜仪水平参考坐标系当地重力分量;为测斜仪姿态变换矩阵，其中：
（2）
因此，由式（1）可推导得到测斜仪俯仰角和横滚角的倾角基本解算公式为：
（3）
3.测斜仪测量误差分析与建模
由上述倾角基本解算公式（3）可知，所选三轴加速度计的测量误差很大程度上决定了测斜仪的倾角测量解算精度。而加速度计的测量误差源主要有传感器的零偏、安装误差和测量噪声等。在测斜仪系统设计时，通常借助其它高精度标定设置对各加速度计传感器进行校准工作，传感器的零偏误差和安装角误差能够在一定程度得到补偿，但在实际测量使用过程中，这些误差源不可避免的总是存在，因此，重点针对传感器的零偏误差和随机测量进行误差建模，分析各误差的传递关系。
3.1 零偏误差传递模型
由文献可知，三轴向加速度计的零偏误差对测斜仪倾角计算影响最为明显。为便以描述，将倾角基本解算公式（3）简写为函数的一般形式：
（4）
上式表明，俯仰角只与三轴加速度计测量误差相关，而测斜仪横滚角误差也受俯仰角测量误差间接影响。现假设测斜仪加速度计经校准后还存在零偏误差，分别为和，因此，对式（4）进行微分计算，可得零偏误差的传递模型为：
（5）
上式中：
从上式误差的模型可知，测斜仪倾角测量误差与各轴加速度计零偏误差之间接传递呈现出非线性变化的关系。因此，本文采用数值仿真方法来分析其间的误差传递关系。
3.2 随机测量噪声误差传递模型
测斜仪加速度计的随机测量噪声也是影响倾角计算精度的重要因素之一。现假设三轴向加速度计传感器随机测量噪声满足正态分布统计规律为：
（6）
其中、和表示为随机测量噪声的标准差，为加速度计传感器测量噪声。因此，可推导出到随机测量噪声误差的传递模型为：
（7）
上式中，和分别是俯仰角和横滚角测量误差标准差。相似于上述零偏误差的传递模型，随机测量噪声误差传递模型也呈现出极为复杂的非线性传播关系，接下来对测量误差进行仿真分析。
图3 俯仰角误差（Y轴0.1g测量误差）
图4 横滚角误差（Y轴0.1g测量误差）
图5 俯仰角误差（X轴0.1g测量误差）
4.数值仿真分析
为直观分析误差传递关系，利用Matlab进行数值仿真，仿真设置：方位全角测量范围0～360°;俯仰角测量范围-90～90°;横滚角测量范围-180～180°。本文针对X、Y和Z轴各轴单独存在0.1g测量误差时分别进行了数值仿真分析。图3～4、图5～6和图7～8所示分别为Y轴、X轴和Z轴各轴加速度计单独存在0.1g测量误差时仿真结果，图中俯仰角和横滚角姿态误差的大小用颜色图例来表示。 图6 横滚角误差（X轴0.1g测量误差）
在图6中，若把误差绝对值在<5°以内的区域视为可接收误差区，仿真时，将误差绝对值≥5°用误差5°来代替，以保持仿真图形的可观性。图中深颜色“平板”区域是误差≥5°的不可接受区域。在图8中作了相似的处理。从图5～图8的仿真结果来看，相比之俯仰姿态角误差，X轴与Z轴加速度的测量误差对横滚姿态解算影响比更为严重，在全测量范围内解算误差几乎大于5°，也即“平板”区域占了大部。此外，整个测量范围内倾角姿态解算误差以0°横滚角为中心对称。因此，Y轴加速度计测量精度是决定了俯仰角解算精度，而提高X轴和Z轴加速度测量精度是提高横滚角精度的关键所在。
图7 俯仰角误差（Z轴0.1g测量误差）
图8 横滚角误差（Z轴0.1g测量误差）
5.结论
本文首先介绍了基于加速度计的测斜仪原理，然后重点针对测斜仪倾角解算的误差机理进行了分析与建模，最后利用Matlab对误差传递情况进行数值仿真分析。从仿真结果来看，X轴与Z轴加速度的测量误差对横滚姿态解算影响比更为严重，而Y轴加速度计测量精度是决定了俯仰角解算精度，此外，整个测量范围内倾角姿态解算误差以0°横滚角或俯仰角为中心对称关系。本文所采用的误差建模及分析方法对测斜仪传感器的选型以及测斜仪精度的提高具有一定的参考。
参考文献
[1]田小芳，陆起涌，熊超.基于加速度传感器的倾角仪设计[J].传感技术学报，2006，4（19）：361-362.
[2]韩宏，吴嘉澍.基于加速度计的数字式倾角仪的设计[J].传感器技术，2005（24）：47-51.
[3]徐根德.一种检测物体倾斜角度的倾角仪[J].物理试验，1995，15（5）：227-228.
[4]龙达峰，刘俊，张晓明.陀螺测斜仪小角度井斜角测量的姿态提取方法[J].传感技术学报，2013，6：883-886.
[5]文香稳，潘明华，朱国力.倾角仪特性研究及其测量误差补偿[J].传感器与微系统，2011，30（3）：84-85.
[6]秦永元.惯性导航[M].北京：科学出版社，2006：294-301.
项目来源：山西省研究生优秀创新基金（20123091）。
作者简介：龙达峰（1979—），男，讲师，研究方向：惯性与组合导航技术。