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【摘要】《鸡兔同笼》是一个经典的小学数学课例。《鸡兔同笼》情景有趣，解题方法多，符合小学生的认知特点。从国家到地方，大大小小的小学数学教材基本都设置了这个教学内容，不同教材的侧重点也不尽相同。一线教师通过研读教材、文本重构和教学实践，可以加深对数学学科知识的理解，提升教学设计能力，最大限度地实现小学数学课堂的深度学习。
【关键词】小学数学;教材整合;深度学习;列表法;畫图法
《小学数学新课程标准》提出：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。鉴于小学数学教学具有探究性、问题性等特点，尤为适合采用深度学习教学理念，以便学生在深度学习中自主学习。因此，数学教师要加强深度学习的教学研究，探索出有益的教学要点和教学策略，借深度学习优化小学数学课堂教学效果。
《鸡兔同笼》一课，通常安排在四年级或者五年级。使用北师大教材的教师，大多惯用的做法是，新授课上，先教教材中的列表法，然后在练习课上补充教材以外的假设法或者抬腿法。大部分学生喜欢的方法是假设法或抬腿法，列表法太麻烦，远不及假设法和抬腿法巧妙。问题是，感觉很妙，就意味着真的学会了吗？如此一节思考性足、趣味性浓的数学课，留给学生的学习体验却远远未达预期。在六年级的复习课上，面对“鸡兔同笼”问题，学生常常脱口而出，“假设全是鸡……”但接下来的解题思路却无法展开。这就说明，深度学习并没有真正实现。
如何规划学习路径，怎样才能实现这节课的深度学习呢？
一、教材对比，深化教学理解
苏教版的《鸡兔同笼》以练习题的方式呈现，内容设置在《解决问题的策略》这一单元中。练习题的解题思路是画图法和列表法。其中，画图法有具体的推理路径，假设法采用的是折中假设。学生根据推理路径和提示信息，展开思路，解决问题。
人教版的《鸡兔同笼》以课堂教学的主要问题情景呈现，依次设计了列表法、假设法和抬腿法。列表法采用半留白的形式，引导学生自行填表，解决问题;假设法则是直接给出完整解题思路，学生以“读懂思路”的方式学习;抬腿法则是设置成教材的阅读资料，给出完整的解题过程，并未对学生做具体要求。
北师大版的《鸡兔同笼》课题为“尝试与猜测”，也是以课堂教学的主要问题情景呈现，解题思路只有列表法。教材依次设计了逐一列表法，跳跃列表法和折中列表法。其中，逐一列表法出现两次。跳跃列表法有比较清晰的思考过程;折中列表法则是呈现了完整的折中列表的表格。
通过不同版本的教材对比不难看出，不同版本的教材对“鸡兔同笼”问题的重视程度不同，解决问题的策略也不同。更为重要的是，通过不同版本的教材对比，寻找不同的教学策略的联系与区别，才有更加深入的思考。
二、教学重构，优化学习路径
1.列表法要贯穿《鸡兔同笼》教学的始终
（1）列表法是基于假设的需要
北师大版教材中，列表法的表格是直接完整呈现的。在实际教学中，笔者认为，学生有必要积累完整的列表经验，只有这样，学生在面对类似的数学问题时才能够顺利地根据题目的数学信息列出表格，进行尝试与猜测。
（2）列表法是探索规律的利器
以简单问题“9头，26腿”为例，学生经过逐一地尝试与验证。不难发现，当鸡有5只，兔有4只的时候，总腿数刚好为26条，从而就解决了这个问题。显然，这种逐一列表法的思维含量是比较低的。笔者认为，它的价值更多在于无形中巩固了“鸡的腿数 兔的腿数=总腿数”的数量关系;沟通生活与数学信息，便于发现“鸡增加1只，兔减少1只，腿的数量就会减少2只”等规律，为课堂教学的后半阶段探究跳跃列表法和折中跳跃法埋下伏笔。
（3）列表法是数学思维的催化剂
教师顺势提出复杂问题——“20头，54腿”，引导学生利用已经发现的规律，研究更便捷的列表策略，解决问题。
课堂再现
生1：我觉得一个一个地列表太麻烦，所以，我两个两个地跳着列，跳到13个鸡，7个兔的时候，刚好是54。
生2：我也觉得一个一个地列太麻烦，我还发现1只鸡，19只兔子的时候，算出来一共78条腿，差太多了。所以，我五个五个地跳，发现差不多了，才一个一个地跳。
师：你跳到15只鸡的时候，又往回跳，才找到13只鸡的。你是怎么想的？
生2：因为15只鸡，5只兔的话，总共腿数是50条。腿数少了，我要增加兔子的数量，减少鸡的数量。
生4：我直接跳到中间，10只鸡，10只兔，发现总共的腿数是60条，然后我再一个一个地跳。
生5：我发现跳来跳去，感觉跟估算有关！
师：怎么个估算法？
生5：就是先跳1次，看腿数差多少，大概就知道怎么跳了。
生5：如果腿数差很多，就多跳一些，腿数差不多，就少跳一些。
生6：我补充，就是看78减去几个2，大概是54。
师：也就是说，如果知道78减去几个2，是54，就不用跳那么辛苦了，是吗？
生6：是的。
师：78减去几个2，是54？
生：12个。
师：说明一个一个地跳的话，我们要跳几次？
生：12次。
师：跳1次，鸡的数量就加上1，跳12次，鸡的数量就加上？
生：12，所以鸡有13只，兔有7只。
……
在列表解决问题的过程中，因思维层次的不同，对“鸡增加1只，兔减少1只，腿的数量就会减少2只”这个规律的理解也是不同的。表现在列表的策略上，有的学生还是会用逐一列表法，虽然麻烦，但最终也能解决问题;有的学生会尝试简单跳跃，比一般的同学速度快一些，窃喜不已;有的学生会尝试居中假设，发现更快解决问题，惊喜不断;还有的学生想到腿数与鸡兔数量的关系，选择估算来跳跃，或者直接计算来解决问题，豁然开朗。
笔者先呈现逐一列表法、跳跃列表法、折中列表法，通过学生的直接汇报交流，强化全体学生在列表过程中对腿数差距与鸡兔数量的理解。然后，才有了部分学生想到跳跃法，可能与估算有关的精彩生成。在笔者的追问下，估算逐渐清晰为精确计算，学生的思维层层递进，柳暗花明。这部分的教学路径可以用以下图示表达：
2.画图法是《鸡兔同笼》数学思想的升华
课的最后，教师看似不经意的提问，画图法闪亮登场，“一石激起千层浪”。
课堂再现：
师：通过列表，可以让我们的尝试和猜测变得容易。
师：除此之外，还有其它的方法吗？
生1：还可以画图。
师：请你上来画一画。（图略）
师：仔细看他画图的步骤，再看看列表的步骤，有什么发现？
生2：哦，我知道了，先画20个圈圈，每个圈圈画两个脚，相当于列表中，假设全是鸡。
生2：接下来的每一步都和一步列表法对应的。
师：大家觉得呢？
生3：没想到画图法，竟然和列表法有这么深的联系。鸡兔同笼问题的解法，实在太妙了。
师：是的，无论是列表，还是画图，都是为了便于我们进行尝试与猜测。
北师大版本教材将《鸡兔同笼》的教学内容命名为“尝试与猜测”，或许是为了凸显在问题解决过程中的尝试与猜测的数学思想方法。而教材中从一而终的列表法，也无可厚非。
列表分析问题、解决问题确实可以让学生的思维更有序。但这么经典的数学问题，如果学生只学到列表法，又总感觉欠缺了什么。考虑到小学生的年龄特点，笔者在充分研读各版本教材的基础上，重构了文本，定下了以列表为主，画图升华的教学策略。学生通过画图法与列表法的深层次对比，发现了两者之间的联系，领悟到画图法其实是另一种列表法。目的都是为了让解决问题过程中的尝试与猜测更直观、更清晰。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012：2.
[2]郭素玲.小学数学课堂深度学习教学策略[J].当代家庭教育，2020（29）：105-106.
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【关键词】小学数学;教材整合;深度学习;列表法;畫图法
《小学数学新课程标准》提出：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。鉴于小学数学教学具有探究性、问题性等特点，尤为适合采用深度学习教学理念，以便学生在深度学习中自主学习。因此，数学教师要加强深度学习的教学研究，探索出有益的教学要点和教学策略，借深度学习优化小学数学课堂教学效果。
《鸡兔同笼》一课，通常安排在四年级或者五年级。使用北师大教材的教师，大多惯用的做法是，新授课上，先教教材中的列表法，然后在练习课上补充教材以外的假设法或者抬腿法。大部分学生喜欢的方法是假设法或抬腿法，列表法太麻烦，远不及假设法和抬腿法巧妙。问题是，感觉很妙，就意味着真的学会了吗？如此一节思考性足、趣味性浓的数学课，留给学生的学习体验却远远未达预期。在六年级的复习课上，面对“鸡兔同笼”问题，学生常常脱口而出，“假设全是鸡……”但接下来的解题思路却无法展开。这就说明，深度学习并没有真正实现。
如何规划学习路径，怎样才能实现这节课的深度学习呢？
一、教材对比，深化教学理解
苏教版的《鸡兔同笼》以练习题的方式呈现，内容设置在《解决问题的策略》这一单元中。练习题的解题思路是画图法和列表法。其中，画图法有具体的推理路径，假设法采用的是折中假设。学生根据推理路径和提示信息，展开思路，解决问题。
人教版的《鸡兔同笼》以课堂教学的主要问题情景呈现，依次设计了列表法、假设法和抬腿法。列表法采用半留白的形式，引导学生自行填表，解决问题;假设法则是直接给出完整解题思路，学生以“读懂思路”的方式学习;抬腿法则是设置成教材的阅读资料，给出完整的解题过程，并未对学生做具体要求。
北师大版的《鸡兔同笼》课题为“尝试与猜测”，也是以课堂教学的主要问题情景呈现，解题思路只有列表法。教材依次设计了逐一列表法，跳跃列表法和折中列表法。其中，逐一列表法出现两次。跳跃列表法有比较清晰的思考过程;折中列表法则是呈现了完整的折中列表的表格。
通过不同版本的教材对比不难看出，不同版本的教材对“鸡兔同笼”问题的重视程度不同，解决问题的策略也不同。更为重要的是，通过不同版本的教材对比，寻找不同的教学策略的联系与区别，才有更加深入的思考。
二、教学重构，优化学习路径
1.列表法要贯穿《鸡兔同笼》教学的始终
（1）列表法是基于假设的需要
北师大版教材中，列表法的表格是直接完整呈现的。在实际教学中，笔者认为，学生有必要积累完整的列表经验，只有这样，学生在面对类似的数学问题时才能够顺利地根据题目的数学信息列出表格，进行尝试与猜测。
（2）列表法是探索规律的利器
以简单问题“9头，26腿”为例，学生经过逐一地尝试与验证。不难发现，当鸡有5只，兔有4只的时候，总腿数刚好为26条，从而就解决了这个问题。显然，这种逐一列表法的思维含量是比较低的。笔者认为，它的价值更多在于无形中巩固了“鸡的腿数 兔的腿数=总腿数”的数量关系;沟通生活与数学信息，便于发现“鸡增加1只，兔减少1只，腿的数量就会减少2只”等规律，为课堂教学的后半阶段探究跳跃列表法和折中跳跃法埋下伏笔。
（3）列表法是数学思维的催化剂
教师顺势提出复杂问题——“20头，54腿”，引导学生利用已经发现的规律，研究更便捷的列表策略，解决问题。
课堂再现
生1：我觉得一个一个地列表太麻烦，所以，我两个两个地跳着列，跳到13个鸡，7个兔的时候，刚好是54。
生2：我也觉得一个一个地列太麻烦，我还发现1只鸡，19只兔子的时候，算出来一共78条腿，差太多了。所以，我五个五个地跳，发现差不多了，才一个一个地跳。
师：你跳到15只鸡的时候，又往回跳，才找到13只鸡的。你是怎么想的？
生2：因为15只鸡，5只兔的话，总共腿数是50条。腿数少了，我要增加兔子的数量，减少鸡的数量。
生4：我直接跳到中间，10只鸡，10只兔，发现总共的腿数是60条，然后我再一个一个地跳。
生5：我发现跳来跳去，感觉跟估算有关！
师：怎么个估算法？
生5：就是先跳1次，看腿数差多少，大概就知道怎么跳了。
生5：如果腿数差很多，就多跳一些，腿数差不多，就少跳一些。
生6：我补充，就是看78减去几个2，大概是54。
师：也就是说，如果知道78减去几个2，是54，就不用跳那么辛苦了，是吗？
生6：是的。
师：78减去几个2，是54？
生：12个。
师：说明一个一个地跳的话，我们要跳几次？
生：12次。
师：跳1次，鸡的数量就加上1，跳12次，鸡的数量就加上？
生：12，所以鸡有13只，兔有7只。
……
在列表解决问题的过程中，因思维层次的不同，对“鸡增加1只，兔减少1只，腿的数量就会减少2只”这个规律的理解也是不同的。表现在列表的策略上，有的学生还是会用逐一列表法，虽然麻烦，但最终也能解决问题;有的学生会尝试简单跳跃，比一般的同学速度快一些，窃喜不已;有的学生会尝试居中假设，发现更快解决问题，惊喜不断;还有的学生想到腿数与鸡兔数量的关系，选择估算来跳跃，或者直接计算来解决问题，豁然开朗。
笔者先呈现逐一列表法、跳跃列表法、折中列表法，通过学生的直接汇报交流，强化全体学生在列表过程中对腿数差距与鸡兔数量的理解。然后，才有了部分学生想到跳跃法，可能与估算有关的精彩生成。在笔者的追问下，估算逐渐清晰为精确计算，学生的思维层层递进，柳暗花明。这部分的教学路径可以用以下图示表达：
2.画图法是《鸡兔同笼》数学思想的升华
课的最后，教师看似不经意的提问，画图法闪亮登场，“一石激起千层浪”。
课堂再现：
师：通过列表，可以让我们的尝试和猜测变得容易。
师：除此之外，还有其它的方法吗？
生1：还可以画图。
师：请你上来画一画。（图略）
师：仔细看他画图的步骤，再看看列表的步骤，有什么发现？
生2：哦，我知道了，先画20个圈圈，每个圈圈画两个脚，相当于列表中，假设全是鸡。
生2：接下来的每一步都和一步列表法对应的。
师：大家觉得呢？
生3：没想到画图法，竟然和列表法有这么深的联系。鸡兔同笼问题的解法，实在太妙了。
师：是的，无论是列表，还是画图，都是为了便于我们进行尝试与猜测。
北师大版本教材将《鸡兔同笼》的教学内容命名为“尝试与猜测”，或许是为了凸显在问题解决过程中的尝试与猜测的数学思想方法。而教材中从一而终的列表法，也无可厚非。
列表分析问题、解决问题确实可以让学生的思维更有序。但这么经典的数学问题，如果学生只学到列表法，又总感觉欠缺了什么。考虑到小学生的年龄特点，笔者在充分研读各版本教材的基础上，重构了文本，定下了以列表为主，画图升华的教学策略。学生通过画图法与列表法的深层次对比，发现了两者之间的联系，领悟到画图法其实是另一种列表法。目的都是为了让解决问题过程中的尝试与猜测更直观、更清晰。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012：2.
[2]郭素玲.小学数学课堂深度学习教学策略[J].当代家庭教育，2020（29）：105-106.
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