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摘要：在文献的基础上，继续研究等间隔灰色模型病态性问题，结合文献[9]的思想，结合反向累积法、向量的数乘变换和旋转变换从系数矩阵条件数和模型预测精度两方面来改善灰色模型的病态性。实例表明对原始序列在反向累积法下做数乘变换和旋转变换可以更有效地降低模型参数矩阵的条件数，使其达到良态，且模型精度也比传统模型要高。本方法为其他灰色模型的病态性研究提供了一种参考。
关键词：灰色模型 反向累积法 数乘变换 旋转变换
灰色模型的病态性问题主要是由累加法和最小二乘法数乘法产生，初期主要采用数乘变换和仿射变换来解决病态性问题，该方法可从减小模型参数矩阵条件数方面来改善模型的病态性，但对模型的预测精度没有改变。后期，累积法和反向累计法（一种曲线拟合技术）被引入到GM模型的参数估计中，较好的改善了模型的病态性。近期，向量的数乘和旋转变换被用于解决离散GM模型的病态性问题，通过齐次指数序列的实例验证，得出较好的结论。
灰色模型是含有时滞项目的模型，对陡变数据建模效果非常好，但有时候也会存在精度波动较大的病态性问题，目前关于该模型病态性的改善方法主要是通过对原始数乘变换和反向累积法来修正，虽能对病态性有一定程度改善，但模型系数矩阵仍存在轻微病态性。目前对这一具体模型病态性的研究较少，本文基于文献和的思想，结合反向累积法、向量的数乘变换和旋转变换从系数矩阵条件数和模型预测精度两方面来改善灰色模型的病态性，得出结论：（1）对原始序列数乘变换后进行反向累积法一般可使得矩阵条件数小于10;（2）若（1）中矩阵条件数大于10，再通过旋转变换可进一步降低参数矩阵条件数，使其变为良态。
一、模型的定义与矩阵条件数
（一）定义
定义1令为原始序列，，则称 （1）
为模型的定义型。其中表示系统的延迟时间，为具有时间变化灰输入的次数。显然，当时模型即为经典模型[10]，故规定;因此模型为模型的进一步推广。模型的参数列记为，可表示为如下：
其中
（二）矩阵条件数
定义2在线性方程组中，设，为非奇异矩阵，为定义在上的矩阵，称
为关于范数的条件数。
若矩陣的条件数大，则称对于求解的线性方程组而言是病态的，反之为良态。实践中一般认为：若，则矩阵为良态;若，则矩阵为轻度病态;若，则矩阵为中等程度或较强病态;若，则矩阵为严重的病态;为分析便利，本文采用最常见的谱条件数，即为谱范数，即
当为实对称矩阵时，有
其中和分别为矩阵的模最大和最小特征根。
二、数乘变换下反向累积法建模机理
根据反向累积法和数乘变换，此处给出数乘变换下基于反向累积法模型的参数如下：
对反向累积法模型的原始序列进行数乘变换得到变换后序列，即可知，
其中由可得
基于反向累积法和数乘变换的等间隔模型的一级参数包矩阵计算公式如下
其中。
定理2.1[1]当时，
数乘变换序列的模型的参数矩阵条件数达到最小，且条件数最小值为
（7）
三、向量旋转变换的建模机理
若为非零向量，模型的参数矩阵文献指出，矩阵的条件数由列向量和长度比值和夹角确定。当且仅当向量和的夹角，数乘变换才可将矩阵降为良态矩阵。若夹角不属于上述范围，可以借助向量的旋转变换来将矩阵降为良态。
引理3.1[9]已知为非零向量，矩阵，，，为向量和的夹角，则有：
1）当向量夹角时，即且，
取常数，则，矩阵的列向量与的长度相等，夹角。为良态矩阵，条件数，其中。
2）当向量夹角时，即且，
取常数，则，矩阵的列向量与的长度相等，夹角，为良态矩阵，条件数，其中。
四、模型病态性的处理步骤
（1）通过数乘变换数乘变换和反向累积法建立模型，其中若参数矩阵的条件数小于10，则为良态，由（6）计算出参数，为简化计算，取模型中的参数，回代模型可以得出解。如果条件数大于10，那么可以继续第（2）步，对变换后的进行旋转变换。
（2）通过旋转变换可得系数矩阵，其
中常数，的条件数小于10，为良态矩阵
由（6）计算出参数，取模型中的参数，回代模型可以得出解。
五、实例分析
选取文献[7]中的数据进行模拟比较，即某省SO2排放量的时间序列为原始数据进行建模分析。
采用文献[8]中的反向累积法建立为模型一，采用数乘变换下的反向累积法建立为模型二，采用数乘变换和旋转变换下的反向累积法建立为模型三，取模型中的参数，最终得出三种模型的时间响应序列如下
三种模型条件数及精度比较见表1所示
从表1可知，模型二和模型三的参数矩阵的条件数有所降低。针对本案例，虽在精度上三个模型没变化，但通过数乘变换和旋转变换下的反向累积法建立的模型三的效果最好，将矩阵直接降到了良态，根据模型病态性理论，此方法有效地改善了模型的病态性。
六、结论
运用数乘变换、旋转变换和反向累积法研究模型的病态性问题，发现病态性与序列夹角有关，运用反向累积法和数乘变换下的反向累积法均可在一定程度上降低参数矩阵条件数，若有需要，同时使用反向累积法、数乘变换、旋转变换效果会更好。
参考文献：
[1]范献胜.非等间隔灰色模型的稳定性和病态性研究[D].武汉理工大学，2013.
[2]郑照宁，武玉英，包涵龄.GM模型的病态性问题[J].中国管理科学，2001，9（5）：38-44.
[3]徐永高.采油工程中模型的病态性诊断[J].武汉理工大学学报（交通科学与工程版），2004，28（5）：702-705.
[4]李福琴.灰色模型的稳定性和建模精度研究[D].武汉理工大学，2006.
[5]毛树华.灰色预测控制模型的病态性研究[D].武汉理工大学硕士学位论文，2006.
[6]吴正朋，刘思峰，等.再论离散GM（1，1）模型的病态问题研究[J].系统工程理论与实践，2011，31（1）：108～112.
[7]曾祥艳.累积法GM模型及其病态性研究[D].武汉理工大学硕士学位论文，2006.
[8]刘圣保，张公让等.反向累积法GM（2，1）模型及其病态性研究[J].合肥工业大学学报（自然科学版），2011，34（4）：603～608.
[9]郭金海，杨锦伟等.基于向量变换的离散GM（1，1）模型病态性[J].控制与决策，2017，32（1）：181-186.
[10]刘思峰，党耀国，方志根，等.灰色系统理论及其应用[M].北京：科学出版社，2010.
[11]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现[M].北京：高等教育出版社，2007.
关键词：灰色模型 反向累积法 数乘变换 旋转变换
灰色模型的病态性问题主要是由累加法和最小二乘法数乘法产生，初期主要采用数乘变换和仿射变换来解决病态性问题，该方法可从减小模型参数矩阵条件数方面来改善模型的病态性，但对模型的预测精度没有改变。后期，累积法和反向累计法（一种曲线拟合技术）被引入到GM模型的参数估计中，较好的改善了模型的病态性。近期，向量的数乘和旋转变换被用于解决离散GM模型的病态性问题，通过齐次指数序列的实例验证，得出较好的结论。
灰色模型是含有时滞项目的模型，对陡变数据建模效果非常好，但有时候也会存在精度波动较大的病态性问题，目前关于该模型病态性的改善方法主要是通过对原始数乘变换和反向累积法来修正，虽能对病态性有一定程度改善，但模型系数矩阵仍存在轻微病态性。目前对这一具体模型病态性的研究较少，本文基于文献和的思想，结合反向累积法、向量的数乘变换和旋转变换从系数矩阵条件数和模型预测精度两方面来改善灰色模型的病态性，得出结论：（1）对原始序列数乘变换后进行反向累积法一般可使得矩阵条件数小于10;（2）若（1）中矩阵条件数大于10，再通过旋转变换可进一步降低参数矩阵条件数，使其变为良态。
一、模型的定义与矩阵条件数
（一）定义
定义1令为原始序列，，则称 （1）
为模型的定义型。其中表示系统的延迟时间，为具有时间变化灰输入的次数。显然，当时模型即为经典模型[10]，故规定;因此模型为模型的进一步推广。模型的参数列记为，可表示为如下：
其中
（二）矩阵条件数
定义2在线性方程组中，设，为非奇异矩阵，为定义在上的矩阵，称
为关于范数的条件数。
若矩陣的条件数大，则称对于求解的线性方程组而言是病态的，反之为良态。实践中一般认为：若，则矩阵为良态;若，则矩阵为轻度病态;若，则矩阵为中等程度或较强病态;若，则矩阵为严重的病态;为分析便利，本文采用最常见的谱条件数，即为谱范数，即
当为实对称矩阵时，有
其中和分别为矩阵的模最大和最小特征根。
二、数乘变换下反向累积法建模机理
根据反向累积法和数乘变换，此处给出数乘变换下基于反向累积法模型的参数如下：
对反向累积法模型的原始序列进行数乘变换得到变换后序列，即可知，
其中由可得
基于反向累积法和数乘变换的等间隔模型的一级参数包矩阵计算公式如下
其中。
定理2.1[1]当时，
数乘变换序列的模型的参数矩阵条件数达到最小，且条件数最小值为
（7）
三、向量旋转变换的建模机理
若为非零向量，模型的参数矩阵文献指出，矩阵的条件数由列向量和长度比值和夹角确定。当且仅当向量和的夹角，数乘变换才可将矩阵降为良态矩阵。若夹角不属于上述范围，可以借助向量的旋转变换来将矩阵降为良态。
引理3.1[9]已知为非零向量，矩阵，，，为向量和的夹角，则有：
1）当向量夹角时，即且，
取常数，则，矩阵的列向量与的长度相等，夹角。为良态矩阵，条件数，其中。
2）当向量夹角时，即且，
取常数，则，矩阵的列向量与的长度相等，夹角，为良态矩阵，条件数，其中。
四、模型病态性的处理步骤
（1）通过数乘变换数乘变换和反向累积法建立模型，其中若参数矩阵的条件数小于10，则为良态，由（6）计算出参数，为简化计算，取模型中的参数，回代模型可以得出解。如果条件数大于10，那么可以继续第（2）步，对变换后的进行旋转变换。
（2）通过旋转变换可得系数矩阵，其
中常数，的条件数小于10，为良态矩阵
由（6）计算出参数，取模型中的参数，回代模型可以得出解。
五、实例分析
选取文献[7]中的数据进行模拟比较，即某省SO2排放量的时间序列为原始数据进行建模分析。
采用文献[8]中的反向累积法建立为模型一，采用数乘变换下的反向累积法建立为模型二，采用数乘变换和旋转变换下的反向累积法建立为模型三，取模型中的参数，最终得出三种模型的时间响应序列如下
三种模型条件数及精度比较见表1所示
从表1可知，模型二和模型三的参数矩阵的条件数有所降低。针对本案例，虽在精度上三个模型没变化，但通过数乘变换和旋转变换下的反向累积法建立的模型三的效果最好，将矩阵直接降到了良态，根据模型病态性理论，此方法有效地改善了模型的病态性。
六、结论
运用数乘变换、旋转变换和反向累积法研究模型的病态性问题，发现病态性与序列夹角有关，运用反向累积法和数乘变换下的反向累积法均可在一定程度上降低参数矩阵条件数，若有需要，同时使用反向累积法、数乘变换、旋转变换效果会更好。
参考文献：
[1]范献胜.非等间隔灰色模型的稳定性和病态性研究[D].武汉理工大学，2013.
[2]郑照宁，武玉英，包涵龄.GM模型的病态性问题[J].中国管理科学，2001，9（5）：38-44.
[3]徐永高.采油工程中模型的病态性诊断[J].武汉理工大学学报（交通科学与工程版），2004，28（5）：702-705.
[4]李福琴.灰色模型的稳定性和建模精度研究[D].武汉理工大学，2006.
[5]毛树华.灰色预测控制模型的病态性研究[D].武汉理工大学硕士学位论文，2006.
[6]吴正朋，刘思峰，等.再论离散GM（1，1）模型的病态问题研究[J].系统工程理论与实践，2011，31（1）：108～112.
[7]曾祥艳.累积法GM模型及其病态性研究[D].武汉理工大学硕士学位论文，2006.
[8]刘圣保，张公让等.反向累积法GM（2，1）模型及其病态性研究[J].合肥工业大学学报（自然科学版），2011，34（4）：603～608.
[9]郭金海，杨锦伟等.基于向量变换的离散GM（1，1）模型病态性[J].控制与决策，2017，32（1）：181-186.
[10]刘思峰，党耀国，方志根，等.灰色系统理论及其应用[M].北京：科学出版社，2010.
[11]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现[M].北京：高等教育出版社，2007.