非标准混合元方法分析及数值模拟

来源 :内蒙古大学 | 被引量 : 6次 | 上传用户:zilong2006min
下载到本地 , 更方便阅读
声明 : 本文档内容版权归属内容提供方 , 如果您对本文有版权争议 , 可与客服联系进行内容授权或下架
论文部分内容阅读
混合有限元方法在微分方程数值解法中扮演着重要的角色.本文主要围绕分裂正定混合有限元方法和H1-Galerkin混合有限元方法这两个方面开展研究工作.   羊丹平于2001年针对多孔介质中可压缩驱动问题的非线性抛物型压力方程提出新的分裂正定混合有限元方法.该方法具有如下优点:形成混合有限元系统的系数矩阵是对称正定的;流函数方程不依赖于压力方程,进而易于求得流函数的近似解.在这里,我们利用分裂正定混合元方法研究了一些发展方程,取得的主要结果如下:   ●研究一类二阶伪双曲方程的分裂正定混合有限元方法,依照不同的物理量,提出两种分裂混合格式.在所提出的程序中,辅助变量σ=a(x)()u或σ=a(x)(()ut+()u)的逼近解能够不依赖于未知纯量函数u的逼近解而独立求解,不需要求解方程组的耦合系统.证明了半离散混合有限元解的存在唯一性,并得到了空间半离散和全离散格式的误差估计.   ●通过引入两个变换q=ut和σ=a(x)()u+b(x)()ut,并求解关于()u的常微分方程,进而提出了粘弹性波动方程的一个新的分裂正定混合有限元方法.与传统的混合有限元相比有如下优势:所提出的格式能够将变量σ独立于u和q而求解;含有σ的方程的系数矩阵是对称正定的,易于程序实现.证明了半离散和全离散格式误差估计,并证明了半离散混合元解的存在唯一性.最后,数值结果表明所提出的格式是可行的.我们不难发现该格式具有普遍性,可以用来求解如Sobolev方程和伪双曲方程等重要的发展方程.   1998年Pani针对抛物型偏微分方程提出了H1-Galerkin混合有限元方法,该方法较传统的混合有限元方法有如下优势:避免了LBB相容性条件的限制;混合有限元空间Vh和Wh的选取比较自由,空间中的多项式次数可以不同;再者,对流量的L2模估计可以得到较好的阶数.本文中,我们将应用H1-Galerkin混合元方法求解一些重要的发展方程,同时基于H1-Galerkin混合元方法提出一些新的数值格式,获得以下一些结果:   ●利用H1-Galerkin混合有限元方法研究三类非线性发展方程(RLW—Burgers方程,Burgers-Huxley方程,SRLW方程).针对RLW-Burgers方程给出了完善的半离散和全离散格式的误差分析,证明了混合有限元解的存在唯一性.最后,一些数值结果表明H1-Galerkin混合有限元方法对于这三类非线性发展方程都是行之有效的.   ●引入时空辅助变量q-()ut,提出半线性强阻尼波动方程的新型H1-Galerkin混合有限元数值格式.该方法能够将原方程在时空两个方向同时降阶,得到一阶积分一微分混合系统.证明了一维情况下半离散格式和全离散格式的最优收敛阶误差估计,并将该数值格式推广应用到了多维情形.   ●到目前为止,H1-Galerkin混合有限元方法研究的问题仅局限于二阶发展方程问题.然而对于高阶发展方程,特别是重要的四阶发展方程问题的研究却没有出现.本文首次提出四阶发展方程的H1-Galerkin混合有限元方法,为了给出理论分析的需要,我们考虑四阶抛物型发展方程.通过引进三个适当的中间辅助变量,形成四个一阶方程组成的方程组系统,提出四阶抛物型方程的H1-Galerkin混合有限元方法.得到了一维情形下的半离散和全离散格式的最优收敛阶误差估计和多维情形的半离散格式误差估计,并采用迭代方法证明了全离散格式的稳定性.最后,通过数值例子验证了提出算法的可行性.在一维情况下我们能够同时得到未知纯量函数、一阶导数、二阶导数和三阶导数的最优逼近解,这一点是以往混合元方法所不能得到的,并且该算法可以应用于四阶双曲方程等高阶发展方程问题.   ●引入两个新的辅助变量,提出伪双曲方程的基于H1-Galerkin混合有限元方法的新的数值格式.所提出的格式能够形成三个微分子格式,不需要求解方程组的耦合系统.给出了一维情况下半离散和Crank-Nicolson-Galerkin全离散格式最优收敛阶误差估计.并且该格式对LBB相容性条件不作要求.最后,通过数值算例验证了所提出算法的有效性.   ●利用扩展混合有限元方法和H1-Galerkin混合有限元方法相结合的技巧,研究一维RLW-Burgers方程的H1-Galerkin扩展混合有限元方法.该方法同时保持了扩展混合元方法和H1-Galerkin混合元方法的优点.证明了半离散混合有限元解的存在唯一性和格式的稳定性,并得到了未知纯量函数、梯度和流量的半离散和全离散格式最优收敛阶误差估计,最后,一些数值结果表明了算法的可行性.   本文结构安排如下:第一章简述了混合有限元方法发展状况和本文的主要结果;第二章我们研究了伪双曲方程的两类分裂正定混合元方法;第三章提出粘弹性波动方程的新型分裂正定混合有限元方法;第四章给出三类非线性发展方程(RLW-Burgers方程,Burgers-Huxley方程,SRLW方程)的一些H1-Galerkin混合元程序的数值结果;第五章通过引入一个新的辅助变量,研究四阶半线性强阻尼波方程的新型H1-Galerkin混合有限元方法;第六章我们首次提出四阶发展方程的H1-Galerkin混合有限元方法,并给出了一些数值结果.第七章提出伪双曲方程的新的分裂式H1-Galerkin混合有限元方法;最后,第八章我们利用H1-Galerkin.扩展混合元方法研究了RLW-Burgers方程问题.
其他文献
加强党的执政能力建设,核心是保持党同人民群众的血肉联系,基础在群众。公众信任是一个政党能否长期巩固执政地位的“基石”,赢得群众普遍拥护和广泛信任是我们加强党的执政
在南滨路慈云寺后的那一带老街名叫“黄家巷”,两旁青砖高墙森然,零星有几栋中西合璧别墅分外惹人注目,这就是重庆著名富豪黄锡滋避暑大院。在解放前重庆知名的本埠几大家族里,一个靠盐号暴富,并涉足煤矿、航运的富豪家族,黄锡滋的名声鹊起。见证了当年大家族的沉与浮。  20世纪初,黄锡滋集资数万两白银,开办“天锡生”商号,经营布匹、棉纱、油盐、山货等,生意越做越大。十年后,再创办福记航运部,购置3艘轮船跑川江
聚类分析是数据挖掘的重要技术之一,所处理的数据分为数值型、类别型和混合型。针对数值型数据,聚类算法已经取得了非常卓越的成果。而对于类别数据,由于不能进行传统意义上
常微分方程(组)的初值问题广泛出现在科学技术及经济等领域中,它们的数值求解已有许多好算法,比如差分法和有限元法。近年来,间断有限元法越来越受到学者们的关注,因为它不仅精度
临界点理论中的变分法是自然界中的一条普遍方法,它将自然界中的大量的问题都归结为某一泛函在一定条件下的临界点的问题,具p(t)-Laplace算子的微分系统当然也不例外,本文应用临
中部地区是中国重要的商品粮生产基地,承担着保障国家粮食安全和实现农产品有效供给的重任。降水是影响农作物生产重要因素之一,降水量的多寡及其时空变化特征直接影响着各地的
A finite element model for the supercavitating underwater vehicle was developed by employing 16-node shell elements of relative degrees of freedom.The nonlinear
图论和组合数学是近现代蓬勃发展的两个数学学科。它们的基本思想和方法已与计算机科学、信息科学、网络通讯理论乃至生物学和化学等学科相互交叉渗透。   图论和组合数学
著名的格尼斯堡七桥问题是图论问题的起源,随后图论便成为应用数学研究中的一个重要分支。图的Laplacian能量问题是图论研究领域的热点问题,最初是由IvanGutman、Bo Zhou等人将
今天,解放碑的“新世纪百货”等现代商业建筑人来人往。而八十多年前,这里是曾经的重庆柴家巷康公馆,即康心如的公馆。他是民国时期的金融大亨,亦是陪都时期的最大资本家。这里曾经是一个大家族繁华的见证。八十多年过去了,康心如之子康心如向我们诉说了很多这个私家公馆的故事。  我确实是“富二代”  康国雄的父亲是金融大亨康心如,他与杜月笙、何应钦、章士钊等熟识。因为收到宋美龄送的钢笔,他还被认为是蒋介石的干儿