论文部分内容阅读
长期以来,利用子群的各种性质来研究群结构一直都是有限群理论研究的重要课题之一.子群的正规性是有限群论中的基本性质,由此引出了许多的广义正规性,并且获得了大量有意义的研究成果.近年来,通过少数子群的某些特殊性质来研究有限群的性质愈加热门.本文从广义正规性出发,主要通过有限群的自中心化子群来研究群,得到了一些有趣的结果,推广了一些已知的重要结论.本文由四个章节组成.第一章为引言,主要介绍了研究背景和前人的研究成果.第二章为预备知识,主要介绍了本文所需的一些基本概念与基本引理.第三章共分为三个部分:第3.1节,提出了SCCN-群的概念,得到了有限群可解、超可解的若干充分条件.具体结果如下:定义3.1.1设G是有限群.若G的自中心化子群都是G的C-正规子群,称G是SCCN-群.显然,CN-群和SCN-群都是SCCN-群.定理3.1.1设G是SCCN-群,则(1)N(?)G,则G/N是SCCN-群.且若N是G的正规的自中心化子群,则G/N是CN-群;(2)G是可解群.反之,若有限群G可解,且C-正规性在G中传递,则G是SCCN-群;(3)若 Φ(G)≠ 1,则 nl(G)≤2.第3.2节,提出了 NSST-群的概念,得到以下结果:定义3.2.1设G为有限群.若G的非交换自中心化子群皆是次正规子群或TI-子群,称G 是 NSST-群.定理3.2.1设G是NSST-群.则G的非交换子群都是次正规子群.定理3.2.2设G是NSST-群.则G是下述情况之一:(1)G是幂零群;(2)G=N(?)M是Frobenius群,M为G的F-补,N为G的F-核,且M是幂零群,N是G的极小正规幂零子群.第3.3节,主要研究了自中心化子群的共轭类个数对有限群可解性的影响,用r(G)代表自中心化子群的共轭类个数,得到以下结果:定理3.3.1设G是有限群.则r(G)=1当且仅当G是交换群.定理3.3.3设G是有限群.若r(G)≤5,则G可解.定理3.3.4不存在恰含3个自中心化子群共轭类的非交换p-群.定理3.3.7设G是有限群.且r(G)=3.则G的结构是下列情况之一:(1)G为q-基本群,并且|G|=pαqβ,p,q为素数,α,β为正整数,G恰有两个极大子群共轭类,其中一个极大子群正规,另一类极大子群非正规.(2)G=Q(?)H,|Q|=qβ,(q,|H|)=1,H(?)G,H是幂零群,并且[Q,H(?)Φ(G),其中Q是Q的极大G-容许子群.(3)G=Q×H,|Q|=qβ,(q,|H|)=1,H是幂零群,[Q,H]在G/Φ(Q)中的像是极小正规子群.(4)G=P× H,|P|=pα,(p,|H|)=1,H(?)G,H 是幂零群,并且[P,H]Φ(P)/Φ(P)是两个非H-同构的极小H-容许子群的直积.(5)G=P(Q(?)F),|P|=pα,|Q|=qβ,(q,|H|)=1,H是幂零群,P/P∩Φ(G)是G/P∩Φ(G)的一个非中心极小正规子群,[Q,H]Φ(Q)/Φ(Q)是QH/Φ(Q)的极小正规子群.第四章包括对本文所做工作的小结,以及对本文的研究的展望.