马尔科夫过程大偏差理论是马尔科夫过程理论的重要发展，已逐步形成了丰富的理论结果并具有广泛的应用。迄今，这方面的结果大多建立在一定的强遍历条件下，而这些条件在实际应用中一般很难满足，从而大大限制了理论结果的应用。弱化对遍历性的要求既具有重要的理论意义，又有广泛的应用背景，也是大偏差理论中一个重要的公开问题。本文主要研究两类具体的马尔科夫过程――吸收马尔科夫过程和一类奇异扩散过程，它们都不是经典意义下的遍历过程。首先，本文给出了吸收马尔科夫过程在吸收之前的经验分布和经验过程的若干大偏差结果：证明了吸收马尔科夫过程在吸收之前的经验分布和经验过程满足弱大偏差。在一定的指数胎紧性条件下，我们得到了吸收之前的经验分布和经验过程完整的大偏差结果，并给出了速率函数的刻画。本文还得到了若干具有广泛适用性的结论。然后我们进一步研究了这些大偏差结果与吸收马尔科夫过程其它重要课题的联系，主要是与Dirichlet特征值、拟平稳分布的联系，给出了Dirichlet特征值和链的收敛参数的变分表示，建立了它们和拟平稳分布以及大偏差之间的联系。其次，对一维奇异系数扩散过程，本文证明了与之对应的哈密尔顿-雅克比（H-J）方程粘性解的比较原理，从而得到了大偏差结果，并求出了一个类似控制论中成本函数的速率函数的变分表示。研究结果表明：当H-J方程奇异时，传统距离函数无法适用，并且构造了新的具有几何不变性的距离函数，将其运用于比较原理的证明中。本文的创新点主要有：（1）弱化了强遍历性假设，得到吸收马尔科夫过程的大偏差。（2）应用大偏差工具，用概率方法给出了主特征值的变分表示。（3）建立了大偏差与Dirichlet型主特征值、拟平稳分布以及收敛参数之间的联系。（4）利用H-J方程的比较原理，得到了奇异系数扩散过程的大偏差。