本文研究时滞微分动力系统的Hopf分支分析及周期解存在性问题.在自然科学与社会科学的许多具体应用中，例如，生物学、医学、物理学、经济学等许多领域中都有时滞问题的产生，可以说时滞对现实生活的影响无处不在，忽略了时滞等同于忽略了真实现象的描述[1].因此，研究这类微分动力系统就具有极大的理论意义与现实背景.　　 许多关于时滞微分方程的研究都是从其某些特解的局部稳定性分析开始的.Hopf分支问题是时滞微分方程研究中的一个重要的课题，其研究对象是结构不稳定系统，即当参数变化并经过某些临界值时，系统的某些结构属性发生根本的变化，即产生分支周期解的现象.本文讨论了一类具有年龄阶段结构的捕食食饵模型，得到了正平衡点的稳定性与Hopf分支存在的条件，并研究了Hopf分支的方向与稳定性.最后我们给出具体数值模拟来说明我们得到的理论结果.并且指出食饵种群密度的反馈时间延迟会扰动系统的稳定性.　　 关于时滞微分方程的研究另一个方面就是周期解存在性.本文运用著名的Leggett-Williams多重锥不动点定理.讨论了如下n-维泛函微分方程三个正周期解的存在性：