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本文考虑积分边值问题
{y"(t)+2λy(t)+λ2y(t)=f(t,y(t)),t∈(0,1),y(0)-ay(0)=∫01go(s)y(s)ds，y(1)-by(1)=∫01g1(s)y(s)ds，(1.1)
和
{y"(t)+2λy(t)+λ2y(t)=-f(t,y(t)),t∈(0,1),y(0)-ay(0)=∫01go(s)y(s)ds,y(1)-by(1)=∫01g1(s)y(s)ds，(1.2)
的正解存在性，其中常数λ，a，b和函数f，g0，g1满足下列条件：
(H1)1-λ-aλ2≥0，并且以下两条件之一满足
(H1-1)a>0;
(H1-2)1+a+aλ<0.
(H2)1+λ+bλ2≥0，并且以下两条件之一满足
(H2-1)b-1-bλ>0;
(H2-2)b<0.
(H3)κ=1+a-b+abλ2+(a+b)λ>0.
(H4)g0,g1：[0，1]→(-∞,+∞)是连续函数，并且
min{φ(t,s)：t,s∈[0，1]≥0，maxt,∈[0,1]∫01φ(t,s)ds<1,
其中
φ(t,s)=e-λt/k[(a+t+aλt)eλg1(s)-(bλ-1+t+bλt)g0(s)].
(H5)f：[0，1]×[0，∞)→[0，∞)是非负连续函数.
记
w1(t)=e-λ(t+a+aλt)，
w2(t)=e-λt(b-1-bλ+t+bλt)，
m=(mint,∈[0，1]γ0(t)/1-∫01φ(t,s)ds)(mint,∈[0，1]γ1(t)/1-∫01φ(t,s)ds,)-1，
其中函数γ0(t)与γ1(t)的定义分别为：
当条件(H1-1)和(H2-1)满足时，
γ0(t)=w1(t)/w1(1),γ1=w2(t)/w2(0).
当条件(H1-1)和(H2-2)满足时，
γ0(t)=min{w1(t)/w1(1),w2(t)/w2(0)}，γ1(t)≡1.
当条件(H1-2)和(H2-1)满足时，
γ0(t)≡1，γ1(t)=max{w1(t)/w1(1),w2(t)/w2(0)}
当条件(H1-2)和(H2-2)满足时，
γ0(t)=w2(t)w/w2(0),γ1(t)=w1(t)/w1(1).
本文的主要结论是：
设条件(H1)-(H5)满足，并且存在L1>L0>0使得
L0≤(mint∈[0,1]γ0(t)/1-m∫01φ(t,s)ds)∫01｜w1(s)w2(s)/l｜e2λs(minz∈[mL0,L0]f(s,z))ds;
L1≥(maxt∈[0,1]γ1(t)/1-m∫01φ(t,s)ds)∫01｜w1(s)w2(s)/l｜e2λs(minz∈[mL1,L1]f(s,z))ds;
(Ⅰ)如果条件(H1-1)和(H2-1)满足，或者条件(H1-2)和(H2-2)满足，则边值问题(1.1)至少存在一个正解.
(Ⅱ)如果条件(H1-1)和(H2-2)满足，或者条件(H1-2)和(H2-1)满足，则边值问题(1.2)至少存在一个正解.