【摘 要】
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由于能够很好地解释物理、化学、生物等领域的某些重要现象和规律,偏微分方程的理论与应用已成为重要的数学研究方向.这些理论包括方程解的存在性、唯一性、有界性、有限时刻爆破以及大时间渐近行为等.特别地,趋化性是细胞或生物体对化学刺激产生的定向运动,在胚胎发育、伤口愈合和肿瘤入侵等各种生物过程中发挥重要作用.本文研究如下三类趋化模型:（ⅰ）具有一般旋转灵敏性的吸引-排斥趋化模型（?）（ⅱ）具有一般旋转灵敏
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由于能够很好地解释物理、化学、生物等领域的某些重要现象和规律,偏微分方程的理论与应用已成为重要的数学研究方向.这些理论包括方程解的存在性、唯一性、有界性、有限时刻爆破以及大时间渐近行为等.特别地,趋化性是细胞或生物体对化学刺激产生的定向运动,在胚胎发育、伤口愈合和肿瘤入侵等各种生物过程中发挥重要作用.本文研究如下三类趋化模型:（ⅰ）具有一般旋转灵敏性的吸引-排斥趋化模型（?）（ⅱ）具有一般旋转灵敏性和间接信号产生机制的趋化模型（?）（ⅲ）在流体环境中具有间接信号产生的趋化-（Navier-）Stokes模型（?）其中,Ω（?）Rd是具有光滑边界的有界区域,矩阵值函数S1∈Rd×d,S2∈Rd×d和S∈Rd×d为旋转灵敏性,光滑函数f∈Wloc 1,∞（[0,∞）),重力势函数Φ∈W1,∞（Ω）.具体研究内容与所取得主要研究成果如下:1.对于模型（ⅰ）,在边界条件（▽n-nS1（x,n,c,v）·▽c+nS2（x,n,c,v）·▽）·v=▽c·v=▽v·v=0,下,其中v是边界（?）Ω上的单位外法向量,对于大初值和任意空间维数（d ≥1）,借助于Winkler（SIAM J.Math.Anal.,2015）提出的一种新能量方法建立了广义解的整体存在性.特别地,本文去掉了 Dong-Li（Math.Methods Appl.Sci.,2017）对初值小性条件的假设.2.对于模型（ⅱ）,令边界条件为（▽n-nS（x,n,c,v）·▽c）·v=▽c·v=▽v·v=0,并假设logistic增长项f满足f（0）≥0,f（s）≤r1-r2sα,s≥0,其中r1≥0,r2>0,α>1.当α>d/4+1/2（d ≥2）时,本文证明模型经典解的整体存在性和有界性,并分析间接信号产生、logistic源和旋转灵敏性的相互作用对趋化模型解的正则性产生的影响.3.对于模型（ⅲ）,假设边界条件为▽n·v=Vc·v=▽v·v=0,u=0.对于d=2且κ=1情形和d=3且κ=0情形,当r ≥ 0和μ>0时,利用Neumann热半群和Stokes算子的性质来证明经典解的整体存在性和有界性,并进一步证明了解的大时间渐近行为.这表明,间接信号产生机制能使任意小的细胞二次退化在一定程度上抑制爆破的发生.本文改进了 Tao-Winkler（Z.Angew.Math.Phys.,2015）要求μ>23 的结果.
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