传统的信号理论是建立在Fourier分析基础上的，Fourier变换在信号分析中长期占据着十分重要的地位。上个世纪60年代快速Fourier变换算法的产生，使得它的应用更加广泛。在信息处理领域，Fourier变换是大家熟知并且重要的数学工具。然而Fourier变换作为一种全局性的变换，不能反映出频率随时间的变化，具有一定的局限性。为了解决Fourier变换的局部化问题，Gabor于1946年提出了窗口Fourier变换。其基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每一个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，从而达到时频局部化的目的。此后，窗口Fourier变换得到了广泛的研究与应用。关于这方面的研究，可以参考文献[1-4]。　　 对于窗口Fourier变换，一个很重要的问题是如何通过信号的窗口Fourier变换来重构原始信号。我们在第二章中考虑如下级数的收敛性，从上个世纪八十年代发展起来的小波分析是继一百多年前发明Fourier分析之后的又一个重大突破，对许多古老的自然学料和新兴的高新技术应用学科都产生了强烈的冲击。小波变换是一种信号的时间——频率分析方法，它具有多分辨分析（Multi-resolution Analysis）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可以改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。与窗口Fourier变换一样，如何通过小波变换重构原始信号同样是小波变换里的一个重要问题。对于离散小波变换，通常可以由小波框架及其对偶框架来重构原始信号。框架理论是由Duffin和Schaeffer在1952年研究非调和Fourier级数时引入的，1986年由Daubechies，Grossman和Meyer重新研究，并引起了学着的兴趣。由于框架有很多很好的性质，使得它在函数空间的刻画、信号处理和其它领域有着重要的应用，并且在过去的几十年间得到了快速的发展。尤其是Gabor框架理论和小波框架理论。然而，与Gabor框架不同的是，小波框架的对偶框架并不一定具有小波结构，也就是无法由一些函数的调制变换与伸缩变换所生成。在第三章里，我们首先考虑了利用连续小波逆变换的Riemann和来近似原函数。