本文详细阐述离散对数问题，Brauer群和Tate-Lichtenbaum配对之间的密切关系.简言之，在绝大多数情况下计算局部域上Brauer群元素之Hasse不变量与离散对数问题密切关联；Tate-Lichtenbaum配对本身亦为构造Brauer群的一种显式方法；通过Tate-Lichtenbaum配对，椭圆曲线离散对数问题归约为通常有限域乘法群上的离散对数问题.本文尽可能刻画较多的数学方面的细节，以期望给密码学更多的有用信息。　　 首先，解离散对数的数域筛法中使用的技法是本文关注的重点。　　 通过从整体到局部的观点，本文定义一个新的Schirokauer映射并给出其计算公式.在一定条件下局部域的主单位同构于形式乘法群所关联的一个加法群，因此应用形式乘法群的形式对数可以用一个加法群来刻画单位群，于是运用这个思想改进Schirokauer映射.和原始的Schirokauer映射比较，新定义的Schirokauer映射输出数字位数刚刚是所需要的位数，因此不会产生不必要的运算，提高运算效率。　　 研究新定义的Schirokauer映射和域的自同构群之间的关系，提出一个新的概念筛法代表元，作为虚拟对数的延伸.一个筛法代表元是数域筛法所构造的代数数域中的具有指定的特殊性质的一个代数数.利用筛法代表元的概念，从筛法得到光滑数后比较容易得到离散对数的线性方程。　　 对于具有中等规模特征的有限域上的离散对数问题使用数域筛法，可以利用数域的自同构群来减少线性方程中未知的离散对数，从而减少所需要的线性方程数量，减少解线性方程组的时间.这种策略不需要进行额外的计算：无须预先求得数域的基本单位，类数和因子基中理想的幂次的生成元，从而改进了A.Joux等先前使用自同构群的方法。　　 其次，利用Kummer扩张来指定域的自同构，从而显式的表示循环代数和刻画Brauer群.在此种情况下计算Hasse不变量归约为Hilbert符号的计算.本文给出计算强分歧情况下（）上的Hilbert符号的显式公式和算法阐释。　　 另外，本文回顾Tate-Lichtenbaum配对的理论定义及其在密码学中的应用版本的定义，并仔细分析不同定义之间的关系.这样的分析是为一些在密码应用中快速计算配对的技巧提供严格的数学证明.同时对具有偶数嵌入次数的Ate配对用Jacobian坐标给出快速算法.本文还讨论用代数数的共轭向量表示计算代数数域上的Tate-Lichtenbaum配对的可行性。