Atiyah-Singer指标定理是数学宝库的一颗璀璨的明珠,它在微分几何,偏微分方程,算子代数以及理论物理等众多领域建立联系。如此优美并显然有重要意义的定理在数学中的地位自然举足轻重.例如它就包含了当时微分几何学、拓扑学以及代数几何学中的诸多大定理。指标定理是在不断的发展和推广中的,它的证明方法按先后顺序分为下面三种1.配边理论证明(文献1)2.K-理论证明(文献5,6)3.热方程证明(文献10)。整体指标定理给出了椭圆算子的Fredholm指标解释,作为特殊的椭圆算子Dirac算子,它的指标是局部得到的,而Dirac算子的指标形式被称为局部指标定理。我国著名数学家虞言林教授在八十年代给出了局部指标定理的一个证明。本文中第一章介绍指标定理,第二章引入示性类和重要的椭圆微分算子等基础知识,第三章介绍高斯一博内特一陈省身(Gauss-Bonnet-Chern)定理、希策布鲁赫(Hirzebruch)符号差定理、希策布鲁赫-黎曼-洛赫(Hirzebruch-Riemann-Roeh)定理,第四章简单介绍指标定理的热方程证明方法。