自同构群方程Aut（X）≌G的解,即那些能充当有限群自同构群的有限群,近年来引起了众多群论专家的兴趣.关于这个问题,首先需要解决的是交换群作为有限群自同构群的问题,这是有希望完全解决的.其次需要研究对于一个给定的正整数n,满足自同构群方程|Aut（G）|=n的有限群G结构的问题.一般来说,这个问题的彻底解决是有趣但很困难的.对于n的某些情形,已有一些文献进行了研究,得到了许多有意义的结果.Iyer在1979年证明了满足自同构群方程Aut（X）≌G的解至多有有限个,对于方程|Aut（G）|=n也满足上述结论.1981年,Flannery和MacHale得到了|Aut（G）|= pn（n=1,2,3,4）及pq的有限群G的构造,并证明了没有满足自同构群阶为pn（n=5,6,7）的有限交换群,其中p为奇素数.1988年,Curran证明：对任意奇素数p,|Aut（G）|=pn（n=1,2,3,4,5）无解.随后,Flym给出了|Aut（G）|=25的全部解.陈贵云给出了自同构群的阶为p1p2…pn或pq2的有限群,其中p1,p2,…,pn及p,q分别为互异素数.李世荣完整地研究了|Aut（G）|=p2q2,23p或p3q的有限群,其中p,q为素数.钟祥贵得到了|Aut（G）|=2pq2（p>g>2）的全部解,杜妮解决了|Aut（G）|=4pq的情形,其中p,q为互异素数.本文讨论的是|Aut（G）|=2pqr2的情形.从G幂零和非幂零两个大方面着手来逐一分析,得到了关于G的一些结论.对于G为幂零的情形,我们通过利用文献[16]中的一个较深刻的结果得到了有限群G的分类结果.定理2.1若G为幂零群,且满足|Aut（G）|=2pqr2其中p,q,r是不同的奇素数,则当且仅当G为下列群之一（a）C2pqr2+1,C2（2pqr2+1）,其中2pqr2+1为素数；（b）C（2qr2+1）2,C2（2qr2+1）2,其中2qr2+1为素数：（c）C（2pr2+1）2,C2（2pr2+1）2,其中2pr2+1为素数；（d）C（2pq+1）3,C2（2pq+1）3其中2pq+1为素数.对于G为非幂零的情形,我们主要通过G的内自同构群的阶进行分类讨论.这时问题研究的关键是G无非平凡直因子的情形.关于这种情形,我们得到了满足条件的一些解.定理2.2具有2pqr2阶自同构群的有限群G非幂零且无非平凡交换直因子时,G有以下性质：G=TPQR其中T∈Syl2（G）,P∈sylp（G）,Q∈Sylq（G）,R∈Sylr（G）因为|Aut（G）|=2pqr2无立方因子,得到G为可解群且有Sylow塔,从而P（?）G,PQ（?） G,PQR（?）G.（Ⅰ）|Cen（G）|r≤r,|Cen（G）|2,p,q=1.（Ⅱ）|P|=p,|Q|=q,|T|=2,且Z（G）为r-群.（a）D2（2qr2+1）,其中2qr2+1为素数；（b）G1=<a,b|ap=bq=1,ab=ar,rq≡1（mod p）>（c）G2=<a,b|ap=br=1,ab=at,tr≡1（mod p）（d）G3=<a,b|apq=b2=1,ab=ar,r2≡1（mod pq）>;（e）G4=<a,b,c|ap=bq=c2=[b,c]=1,ab=ar,ac=a-1,δp（r）=g>;（f）G5:<a,b,c|ap=br=c2=[b,c]=1,ab=at,ac=a-1,δp（t）=r