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本文主要利用变分法研究了几类非线性椭圆方程的解的存在性及其相关性质.全文分九章.在第一章，我们给出了关于Orlicz空间理论和临界点理论的基本知识。 在第二章，我们在Orlicz-Sobolev空间中考虑了下面拟线性方程不同观念的解-div(a(|▽u|)▽u)=0.通过运用一个比较原理，我们证明了粘性上解与关于非线性位势理论的P-上调和函数是一致的.这意味着弱解和粘性解是同一函数类，并且关于Dirichlet问题的粘性解是唯一的。 在第三章，我们考虑了下面的边值问题{-div(a(|▽u|)▽u)=f(x，u),inΩ,u=0，on(e)Ω，通过假设非线性项f(x，t)是相应的次临界增长，我们证明了关于这类方程弱解正则性结果.利用这个正则性结果，我们证明相应的泛函在C1意义下的局部极小也是泛函在Orlicz-Sobolev空间中的局部极小.因此，类似p-laplace方程的做法，可以发展上述方程的上下解方法.利用这些结果，我们在Orlicz-Sobolev空间中证明这类方程解的存在性和多重性。 在第四章，我们研究了下面拟线性椭圆方程解的存在性和多重性{-div(a(|▽u|)▽u)+a(|u|)u=f(x，u),inRN,u→0,asx→∞.通过分别利用亏格理论、对称山路定理、喷泉定理和对偶的喷泉定理获得了解的存在性和多重性。 在第五章，假设Ω是R2中具有光滑的边界(e)Ω有界区域.我们考虑了下面的二维的具有Dichlet边值的Laplace方程{-△u=f(x，u)，inΩ，u=0,on(e)Ω.(1)我们假设非线性项f(x，t)是次临界增长.事实上，我们能够证明映射f(x，.):LA(Ω)(H)LA(Ω)是连续的，其中LA(Ω)和LA(Ω)是Orlicz函数类.利用这个结果可以证明相应的泛函满足紧性条件.因此，可以借用山路定理获得这一类方程的非平凡解的存在性。 在第六章，我们在有界域上研究下面的p(x)-Laplace方程{-△p(x)u=f(x，u)，inΩ，u=0,on（e）Ω.方程的非线性项f(x,u）是超线性的但在无穷远附近不满足通常的Ambrosetti-Rabinowitz条件，或者在零点附近对偶的形式.通过使用Morse理论和修正泛函方法可以获得解的存在性和多重性结果.在某种意义上，我们丰富和发展了近来L.Gasi(n)ski与N.S.Papageorgiou的结果[L.Gasi(n)skiandN.S.Papageorgiou,AnisotropicnonlinearNeumannproblems,Calc.Var.PartialDifferentialEquations2011]。 在第七章，我们研究带有Dirchlet边值的椭圆方程组.我们将次临界的观念从多项式增长拓展为变指数增长.在这种变指数增长条件下，利用变分方法和变指数Sobolev空间理论获得了这一类方程的非平凡解的存在性。在本章的最后，我们作了一个注记解释了我们的结果是近来D.G.deFigueiredo，J.M.do(ó)和B.Ruf的结果的一个拓展[D.G.deFigueiredo,J.M.doO,B.Ruf,AnOrlicz-spaceapproachtosuperlinearellipticsystems,J.Funct.Anal.224(2005)471-496]。 在第八章，我们继续研究带有Dirchlet边值的椭圆方程组.我们将次临界的观念从多项式增长拓展为N-函数增长.在N-函数增长条件下，利用变分方法和Orlicz-Sobolev空间理论获得了这一类方程的非平凡解的存在性。值得注意是第八章所采用的做法是不同于第七章的做法.本章的做法是将椭圆方程组转换一类四阶是椭圆方程来考虑，那么这类四阶椭圆方程刚好可以一个Olicz-Sobolev空间背景来刻画。 在第九章，我们研究下面具有周期位势的非线性Schr(o)dinger方程，{-△u+V(x)u=f(x，u)，inRN，(2)u→0，as|x|→+∞.假设零是Schr(o)dinger算子的连续谱的端点.在弱超线性条件下，我们使用M.Willem和W.M.Zou的环绕定理以及M.Schechter的方法证明了这一类方程的非平凡解的存在性。在某种意义下，我们丰富和发展了M.Willem和W.M.Zou的结果[M.WillemandW.M.Zou，OnaSchr(o)dingerEquationwithPeriodicPotentialandSpectrumPointZero,IndianaUniv.Math.J.2003]。