【摘 要】
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小波在信号、生物化学、微积分方程求解等众多领域中发挥着极其重要的作用.本文从扩展小波种类的角度,构造了新的小波函数,即第五类Chebyshev小波.并从理论上证明该小波级数展开的收敛性与其逼近函数的截断误差估计,推导了该小波的分数阶积分公式与分数阶积分算子矩阵.在数值计算中,利用第五类Chebyshev小波求解一类线性与非线性分数阶微分方程,得到其高精度数值解.第一章概述小波和分数阶微积分的历史及
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小波在信号、生物化学、微积分方程求解等众多领域中发挥着极其重要的作用.本文从扩展小波种类的角度,构造了新的小波函数,即第五类Chebyshev小波.并从理论上证明该小波级数展开的收敛性与其逼近函数的截断误差估计,推导了该小波的分数阶积分公式与分数阶积分算子矩阵.在数值计算中,利用第五类Chebyshev小波求解一类线性与非线性分数阶微分方程,得到其高精度数值解.第一章概述小波和分数阶微积分的历史及小波在分数阶方程中的研究现状.第二章介绍了第一类至第四类Chebyshev小波和本文所需用到的第五类Chebyshev多项式及Block Pulse Function（BPF）函数组.第三章将第五类Chebyshev多项式作为小波母函数,通过对其伸缩平移,再将系数正交化处理,构造了具有正交性的第五类Chebyshev小波,并给出了该小波函数组的递推公式.第四章利用第五类Chebyshev多项式的递推公式,求出该多项式奇数项三角函数表达式.再结合分部积分法,柯西施瓦茨不等式,将第五类Chebyshev小波级数分奇偶项证明其在~2L空间上的一致收敛性.由于小波级数在实际数值应用中取有限项,故给出了第五类Chebyshev小波逼近函数的截断误差估计.第五章结合分数阶积分的定义与第五类Chebyshev小波表达式中自变量的范围,推导了该小波的分数阶积分公式.将该分数阶积分公式应用于求解一类线性分数阶微分方程,通过数值实验给出相应的误差图表,说明该方法具有较高精度.第六章借助BPF函数作为桥梁,推导了第五类Chebyshev小波的分数阶积分算子矩阵.利用BPF函数的性质与泰勒公式,推导了第五类Chebyshev小波分数阶积分算子矩阵在复合函数中的转化公式,并将其应用于一类线性与非线性的分数阶微分方程求解中,结合数值实验说明了该方法的有效性.通过同一数值算例,分析了第五类Chebyshev小波分数阶积分公式与积分算子矩阵这两种方法逼近原函数的误差,并从理论上说明了利用该小波分数阶积分公式求解的精度要高于其分数阶积分算子矩阵,而分数阶积分算子矩阵的实用性更强.第七章是对本文工作的总结,并对将来还需研究的相关问题做一个展望.
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