二十世纪中期数学物理界的一个重大进展是反散射变换方法(Inverse Scattering Trans-formation-IST)的发现.正是反散射变换方法引起了人们对被遗忘多年的可积系统的研究兴趣.随着计算机技术以及众多符号计算系统的迅猛发展,人们不断在新的水平上重新认识可积系统,从而取得了许多进展,进而形成研究非线性现象普遍规律的学科:非线性动力学,它主要包含六个方面:分岔、混沌、孤立子、图、元胞自动机和复杂系统.对这些非线性现象的分析和理解大部分可归结为对非线性方程(非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性微分-差分方程和函数方程等等)的求解问题.因而在当代非线性科学中,非线性方程的精确求解及其可积性质的研究成为广大研究者的两大重要研究课题.本文将著名数学家吴文俊的数学机械化思想应用于非线性科学的构造性研究中,并以符号计算系统Maple为工作平台研究非线性偏微分方程的守恒可积性、对称可积性和精确解.本文主要工作包括如下四个部分:第一部分主要建立了微分几何理论和微分方程之间的一种有机联系.在二维和三维欧氏空间上,我们从空间曲线运动出发,推导出了mKdV方程以及它的用以生成高阶对称的递归算子;推导出了多元mKdV方程以及二元和多元WKI方程,并证明了WKI系统和mKdV系统的规范等价性;尔后,通过考虑特征值问题,并引入一个恰当变换,给出了二元WKI方程的用以计算无穷多守恒密度的递归公式,从而证明了二元WKI方程的守恒可积性;系统地分析了两种mKdV方程的Painleve性质,并分别给出了两种不同形式的二元和n元mKdV方程的共振点出现的规律.第二部分主要研究微分方程的精确解.目前,已经存在许多获得非线性微分方程精确解的方法,如IST方法、Backlund变换和达布变换方法、对称群与微分约化方法、Painleve奇性分析方法、Hirota方法、齐次平衡方法、双曲正切函数及扩展的双曲正切函数方法等.但这些方法仅仅是一些求解技巧的融合,而且是分散的、不系统的、不具有普适性. Lie对称群方法为微分方程的求解提供了一种普适而又行之有效的方法.该方法为常微分方程的闭合形式的求解提供了广泛的应用技巧.应用到偏微分方程,Lie方法能够导出对称.一旦偏微分方程的对称被获得,便可以由此对方程进行约化,继而获得其群不变解.基于对称群理论,这一部分主要研究包括WKI系统在内的几个微分方程的对称及其在对称下的相似解.对于二元WKI方程,我们利用Lie对称群方法研究了它最一般的对称(即优化系统),并基于这些对称对它进行约化,从而系统地获得了它所有可能的群不变解.势对称也是研究微分方程不变解的有效方法之一,利用该方法,我们对Fokker-Planck方程进行了研究,从而获得了它的若干势对称以及在相应势对称下的相似解.除了Lie对称方法外,还利用直接代数方法-REQs方法求解了WKI系统和mKdV系统,从而获得了它们的包括孤立波解,圈孤立子解在内的若