本博士论文针对非紧正线性算子的主特征值理论有关的两个课题进行了深入讨论:第一部分是部分退化的周期抛物系统的主特征值的研究及应用;第二部分是抽象时滞微分方程的研究及应用.在准备工作中,我们讨论了正线性算子的基本性质并给出了强广义Krein-Rutman定理的证明.Krein-Rutman定理对紧的正线性算子建立了主特征值理论.Edmunds,Potter及Stuart与Nussbaum将主特征值理论发展到非紧情形,其条件是谱半径大于本质谱半径.我们称之为弱广义Krein-Rutman定理.此外,当算子强正时,Krein-Rutman定理也给出了更多重要的性质.我们给出强广义Krein-Rutman定理的证明,即在算子强正且谱半径大于本质谱半径的情形下,得到相同的性质.在第一部分中,我们对部分扩散系数为零的周期抛物系统的主特征值理论进行了研究.该问题的主要难点在于系统的Poincare映射失去紧性.在理论部分,我们使用广义Krein-Rutman定理得到主特征值的存在性.这一过程可以分解为以下两个步骤.第一步是对该系统的Poincare映射的本质谱点进行细致的分析.第二步是找到系统的Poincare映射谱半径大于本质谱半径的充分条件.在应用部分中,我们还利用以上结果对Benthic-Drift模型的动力学进行了研究.在第二部分中,我们对抽象的周期时滞微分方程的基本再生数(R0)理论进行了研究.针对非紧系统我们给出一系列合适的假设,并且利用正线性算子的主特征值理论建立了R0与相应的线性系统零解稳定性的关系.值得指出的是,当系统拥有紧性时,以上假设可以自然满足.此外我们还给出R0的数值计算方法,该方法对于无穷维的周期系统可以显示出很高的效率.最后又将R0作为阈值得到莱姆(Lyme)病模型的动力学.