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有限群为群论中非常重要的内容，其结构与性质有着广泛的应用于.但由于这类研究的高度抽象性，在解决问题时往往需要从某些特殊的小阶群入手.小阶群由于结构相对简单，易于用相对浅显和直观的性质来刻画.本文用图和次数分别对几类小阶群进行了研究. 首先，利用状态空间图刻画单群A5:设G为有限群，图ΓG,α的顶点集为群G对点集中的元素x,y,可以确定一条由x指向y的一条边当且仅当α(x)=y.此时群G关于自同态α的状态空间图，记作ΓG,α.利用状态空间图进行讨论，本文得到的主要结论如下： 命题3.1 A5不能由它的二阶自同构诱导的状态空间图唯一刻画. 命题3.2 A5不能由它的四阶自同构诱导的状态空间图唯一刻画. 定理3.3 设G是有限群，f为它的自同态，δ是A5的三阶自同构，若ΓG,f≌ΓA5,δ，则G≌A5. 推论3.4 设G是有限群，f为它的自同态，θ是A5的六阶自同构，若ΓG,f≌ΓA5,θ，则G≌A5. 其次，主要研究了最小置换表示次数.如果存在适当的正整数d,使得G＜Sd但G＜Sd-1,则称d为G的最小置换表示次数，记作d(G).我们讨论了56阶及60阶群到置换群的最小置换表示次数. 定理4.1根据56阶群的分类[引理2.6]得到所有56阶群的最小置换表示次数如下: d(G1)=15,d(G2)=13,d(G3)=13,d{G4)=15,d{G5)=11,d{G6)=15,d(G7)=11,d(G8)=15,d(G9)=11,d(G10)=7,d(G11)=15,d(G12)=13,d(G13)=8. 定理4.2根据60阶群的分类[引理2.7]得到所有60阶群的最小置换表示次数如下: d(H1)=12,d(H2)=10,d(H3)=10,d(H4)=10,d(H5)=9,d(H6)=8,d(H7)=5,d(H8)=9,d(H9)=10,d(H10)=12,d(H11)=9.