【摘 要】
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李代数有三个较大的研究方向：特征零域上有限维李代数,模李代数以及Kac-Moody李代数及其他无限维李代数.众所周知,有限维李代数和特征零域上无限维李代数已经获得了巨大的发展.例如：一般有限维单李代数的分类以及有限维限制单李代数的分类,Kac-Moody李代数,Virasoro李代数,Witt李代数等一些无限维李代数理论.然而,无限维李代数的许多问题仍没有解决,例如：无限维单李代数的分类,素特征域
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李代数有三个较大的研究方向：特征零域上有限维李代数,模李代数以及Kac-Moody李代数及其他无限维李代数.众所周知,有限维李代数和特征零域上无限维李代数已经获得了巨大的发展.例如：一般有限维单李代数的分类以及有限维限制单李代数的分类,Kac-Moody李代数,Virasoro李代数,Witt李代数等一些无限维李代数理论.然而,无限维李代数的许多问题仍没有解决,例如：无限维单李代数的分类,素特征域上无限维李代数的结构和表示等等.导子代数是研究李代数结构的重要工具,近年来,交换环上矩阵代数的导子代数的研究引起很多研究者的注意,很多研究者也将导子概念推广得出更多包含导子代数的李代数.导子代数与上同调群紧密联系着,而上同调群又与中心扩张相联系,李代数上同调和扩张的丰富结果促使人们讨论李超代数的上同调和扩张理论.本文主要研究复数域上李代数和交换环上矩阵代数的李三导子和广义李三导子,仿射模李代数及其表示以及Z-阶化李超代数的斜超导子和P-结合型.第一章绪论介绍了本文的一些背景知识,相关主题的发展状况和论文框架.第二章利用根系研究了复半单李代数的Borel子代数b以及典型复单李代数的极大幂零子代数n上广义李三导子.对于n上李三导子,我们构造了其上几种标准李三导子,给出了其上任意李三导子的分解,李三导子代数的可解性以及导子代数在李三导子代数中的余维数.第三章在Benkoric和D.Y.Wang工作基础上给出了交换环上由所有上三角矩阵构成的李代数到其2-非挠双模的李三导子以及一般线性李代数的抛物子代数上李三导子的分解.第四章利用限制李代数的知识讨论了特殊线性李代数L=sl（l+1,K）对应的仿射李代数L.证明了L是限制李代数并且给出了其限制模的一些结果.第五章研究了Z-阶化李超代数的斜超导子和P-结合型,给出了其上斜超导子与相对于某个子代数P结合的结合型之间的关系.
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