本学位论文的研究内容隶属于凸几何分析理论,致力于研究Orlicz Brunn-Minkowski理论中的不等式和极值问题.本文主要利用Orlicz Brunn-Minkowski理论的基本概念,基本知识,研究凸体几何的理论,几何体的度量不等式和极值问题.本文第二章的主要内容是针对著名的未解决问题Mahler猜想展开研究,结合最近迅速发展的Orlicz Brunn-Minkowski理论,首先给出了Orlicz带胞形的定义, Orlicz带胞形是Lp带胞形的更一般化.在证明我们的主要定理的过程中,影子系统起到了至关重要的作用.影子系统的概念由Rogers和Shephard给出.凸体的影子系统,我们可以把它看成是点的影子系统的凸包.我们证明了下述重要的引理:设φ∈C, Λt, t∈[t1, t2]是一个沿着方向v的关于向量的影子系统,则Zφ（Λt）是一个沿着相同方向的关于凸体的影子系统.基于这个引理,我们证明了两个关于Orlicz带胞形的体积不等式.在第三章中,我们研究了一种新的Sylvester型泛函的极值问题.极值问题一直是凸几何分析中的重要课题,关于极值问题的研究结果众多.随着Orlicz Brunn-Minkowski理论的发展,在这个框架下的极值问题的研究也显现出来.首先我们给出了Orlicz-Sylvester型泛函A（K）的定义.运用影子系统的概念,我们研究了A（K）的极值问题,并得到了如下结论:当K为椭球时A（K）取得最小值.在平面上,当K为三角形时A（K）取得最大值,对称情形的极值凸体是平行四边形.本文第四章研究了Orlicz-Brunn Minkowski理论的对偶问题,我们给出了对偶的Orlicz-Brunn Minkowski混合体积的定义,它是对偶Lp混合体积的推广.我们还给出了星体的对偶调和组合的定义,并研究了对偶Orlicz混合体积的性质.经典的John定理描述的是一个凸体和椭球的接近程度.本文第五章中,我们给出了双John基的定义,它是原来的John定理的更一般化.通过一种新的方法,我们建立了在双John基下的Loomis-Whitney不等式.这个结果也推广了著名数学家Ball的结果.作为双John基的应用,我们给出了另一种形式的Loomis-Whitney不等式.在第六章中,我们建立了关于p-凸体的Busemann不等式,运用这个Buse-mann不等式,我们得到了扩张径向q平均凸体的γ-凸性以及在实、复空间的截面体不等式.